40
BAB III METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Pada bab ini akan dibahas mengenai pengantar singkat Persamaan Diferensial Biasa, masalah syarat awal dan syarat batas, deret Taylor, metode
iterasi Picard The Method of Successive Approximations, hubungan antara deret Taylor dengan metode iterasi Picard, contoh-contoh solusi metode iterasi Picard,
penjelasan metode iterasi variasional dan contoh-contoh solusinya, contoh pengali Lagrange metode iterasi untuk PDB serta metode iterasi variasional untuk PDB
secara umum berderajat satu.
A. Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial PD adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan suatu fungsi dengan derivatif-derivatifnya. Jika fungsi yang dicari
mempunyai satu variabel bebas, maka persamaannya disebut Persamaan Diferensial Biasa PDB. Shepley L Ross, 2004
1. Masalah syarat awal dan syarat batas
Pada bagian ini akan disajikan teori tentang masalah syarat awal dan syarat batas yang mendukung pembahasan dari metode iterasi Picard dengan
referensi dari buku karangan Kartono 2012. Perhatikanlah persamaan diferensial linear orde dua,
2 ′′
+
1 ′
+ = ,
3.1 dengan
2
,
1
, dan dinamakan koefisien-koefisien yang dapat
sebagai fungsi dari x atau konstanta dan merupakan fungsi-fungsi
kontinu di dalam suatu interval dengan
2
≠ 0. Jika persamaan 3.1 mempunyai syarat awal
= dan
′ =
1
, 3.2
maka persamaan 3.1 dan 3.2 dinamakan masalah syarat awal. Jadi masalah syarat awal sering disajikan dalam bentuk
2 ′′
+
1 ′
+ = ,
= dan
′ =
1
. 3.3
Jika persamaan 3.1 dilengkapi dengan kondisi di ujung-ujung pada interval
, misalkan = dan = maka dinamakan
masalah syarat batas. Jadi masalah syarat batas disajikan dalam bentuk
2 ′′
+
1 ′
+ = ,
= dan = . 3.4
Secara prinsip, ada perbedaan yang mencolok antara masalah syarat awal dan batas terkait dengan ada atau tidaknya solusi. Masalah syarat awal
selalu mempunyai solusi dan solusi ini pasti tunggal seperti yang dijamin oleh teorema eksistensi dan ketunggalan solusi masalah syarat awal,
sedangkan untuk masalah syarat batas mempunyai tiga kemungkinan solusi yaitu solusi tunggal, solusi banyak, bahkan tidak ada solusi. Hal ini dapat
dijelaskan demikian. Misalkan bahwa
1
dan
2
merupakan dua buah
solusi yang bebas linear dari persamaan 3.1, serta merupakan solusi
khususnya maka solusi umum persamaan 3.1 berbentuk =
1 1
+
2 2
+ , 3.5
dengan mengenakan syarat batasnya, maka =
1 1
+
2 2
+ ↔
1 1
+
2 2
+ = , =
1 1
+
2 2
+ ↔
1 1
+
2 2
+ = dari sini,
1 1
+
2 2
= − ,
1 1
+
2 2
= − . 3.6
Persamaan 3.6 merupakan sistem persamaan linear nonhomogen dalam
1
dan
2
, oleh karena itu sesuai konsep solusi sistem persamaan linear dalam Aljabar Linear maka sistem 3.6 mempunyai tiga kemungkinan
solusinya yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau bahkan tidak ada solusi. Masalah syarat batas sering dipakai untuk memodelkan fenomena
perubahan akibat adanya perubahan terhadap variabel posisinya. Setelah mendapatkan model matematika yang berbentuk persamaan
diferensial, baik berbentuk masalah syarat awal atau masalah syarat batas, langkah selanjutnya adalah bagaimana mendapatkan solusinya, serta apa
sifat atau interpretasi solusi persamaan diferensial tersebut.
B. Deret Taylor
Kategori