B. Materi Pembelajaran
1. Tujuan Pembelajaran
Melalui pembelajaran garis singgung lingkaran ini, diharapkan siswa: i.
Memahami konsep garis singgung lingkaran ii.
Memahami konsep garis singgung persekutuan dalam iii.
Memahami konsep garis singgung persekutuan luar
2. Materi Pembelajaran
1 Garis Singgung Lingkaran
Gambar berikut merupakan lingkaran yang berpusat di O.
Gambar 2. 1 Contoh dan Non Contoh Garis Singgung Lingkaran
Lingkaran tersebut bersinggungan dengan garis
g
dan
h
. garis
g
memotong lingkaran di titik A. sedangkan, garis
h
memotong lingkaran di satu titik yaitu titik B. garis
g
dan
h
ini yang dinamakan garis singgung. Jadi, garis singgung lingkaran
adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Perhatikan garis
g
dan
h
tegak lurus dengan OB dan OA, sedangkan OB dan OA merupakan jari-jari lingkaran. Dengan kata
lain, garis singgung lingkaran akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya. Hal tersebut
menyebabkan hanya ada satu garis singgung yang melalui satu titik pada sebuah lingkaran.
Sedangkan garis
j
dan
l
tidak dapat disebut sebagai garis singgung lingkaran karena garis
j
memotong lingkaran di dua titik sekaligus dan garis
l
tidak memotong lingkaran dititik manapun. Karena alasan tersebut, kedua garis itu tidak memenuhi syarat dari
garis singgung lingkaran.
2 Panjang Garis Singgung Lingkaran
Perhatikan gambar berikut,
Gambar 2. 2 Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
Garis PQ merupakan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan OR, dimana OR merupakan jari-jari lingkaran, dan
OQ merupakan jarak antara titik pusat lingkaran dengan titik yang berada di luar lingkaran.
Perhatikan ∆ORQ yang merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di P. berdasarkan teorema Pythagoras, dapat
dinyatakan sebagai berikut: =
+ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= −
Jadi, dapat disimpulkan bahwa panjang garis singgung lingkaran adalah:
� = � − Dengan:
g
: panjang garis singgung
p
: jarak antara titik pusat dengan titik yang berada di luar lingkaran
r
: jari-jari lingkaran 3
Kedudukan Dua Lingkaran Dari dua buah lingkaran, kita dapat mengetahui beberapa
kemungkinan kedudukan dari lingkaran-lingkaran tersebut. Misalkan terdapat dua buah lingkaran, yaitu lingkaran yang
berpusat di titik A atau lingkaran A dengan jari-jari dan
lingkaran yang berpusat di titik B atau lingkaran B dengan jari-jari . Apabila ditarik sebuah garis yang menghubungkan kedua titik
pusat tersebut, maka akan terbentuk sebuah garis yang dikenal sebagai garis pusat. Berikut merupakan beberapa kemungkinan
kedudukan dua buah lingkaran, yaitu: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2. 3 Contoh Berbagai Macam Posisi Lingkaran
4 Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
Garis singgung persekutuan dua lingkaran merupakan garis yang memotong dua buah lingkaran sekaligus tepat disatu titik
pada setiap lingkaran. Contoh dari garis singgung dua buah lingkaran dapat dilihat pada gambar berikut:
i ii
iii
iv v
vi
Gambar 2. 4 Contoh Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
Gambar diatas menunjukkan bahwa dari dua buah lingkaran hanya dapat dibuat empat buah garis singgung yang
menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Garis-garis tersebut adalah garis
g,
garis
h,
garis
i,
dan garis
j.
selanjutnya, garis singgung persekutuan dua lingkaran dapat dibedakan menjadi dua
macam, yaitu: a.
Garis Singgung Persekutuan Dalam Garis singgung persekutuan dalam merupakan garis
yang memotong dua buah lingkaran sekaligus tepat di satu titik pada setiap lingkaran dan garis tersebut memotong suatu titik
pada ruas garis yang menghubungkan kedua titik pusat lingkaran tersebut.
Dari berbagai macam kedudukan lingkaran, garis singgung persekutuan dalam dapat dibuat jika kedua lingkaran
bersinggungan disatu titik atau kedua lingkaran tersebut saling PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
lepas. Hal tersebut dikarenakan garis singgung persekutuan dalam yang terbentuk melalui tepat satu titik pada setiap
lingkaran dan suatu titik pada garis perpusatan.
i ii Gambar 2. 5 Garis Singgung Persekutuan Dalam dengan Posisi
Lingkaran i Berpotongan Disatu Titik dan ii Saling Lepas
Selanjutnya untuk mengetahui panjang garis singgung lingkaran, perhatikan gambar berikut.
Gambar 2. 6 Ilustrasi Konsep Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
Lingkaran A berpusat di titik A dengan jari-jari AD =
r dan lingkaran B berpusat di titik B dengan jari-jari BE = r . AB adalah jarak kedua titik pusat lingkaran dan CE adalah
r
b
garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, dimana CE ⊥
AC. Melalui titik B, dapat ditarik garis BD yang sejajar dengan garis CE. Karena
BD ⫽ CE, maka CD = BE = r dan ∠ADB = 9 . Maka ∆ADB adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku
teorema Pythagoras, yaitu: �
= � +
= � − �
= � − � +
= −
+ Karena
⫽ dan
∠� = ∠�
= 9 , maka =
. Jadi,
= −
+ . Sehingga, dapat disimpulkan bahwa
panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah:
� = −
+ Dengan
, dan
d
: panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
s
: jarak antara kedua pusat dua lingkaran
r
a
: jari-jari lingkaran pertama
r
b
: jari-jari lingkaran kedua b.
Garis Singgung persekutuan Luar Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
merupakan garis yang memotong dua buah lingkaran sekaligus PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
tepat di satu titik pada setiap lingkaran tanpa melalui titik lainnya.
Dari berbagai macam kedudukan lingkaran, garis singgung persekutuan luar dapat dibuat jika kedua lingkaran
bersinggungan disatu titik, saling berpotongan atau kedua lingkaran tersebut saling lepas. Hal tersebut dikarenakan garis
singgung persekutuan luar yang terbentuk melalui tepat satu titik pada setiap lingkaran dan suatu titik pada ruas garis yang
ujungnya merupakan titik pusat kedua lingkaran.
Gambar 2. 7 Garis Singgung Persekutuan Dalam dalam Berbagai Posisi Lingkaran
Selanjutnya untuk mengetahui panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, perhatikan gambar berikut.
i Dua lingkaran yang saling memotong
ii Dua lingkaran yang saling berpotongan tepat di satu titik
ii Dua lingkaran yang saling lepas PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 2. 8 Ilustrasi Konsep Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar
Lingkaran A berpusat di A dengan jari-jari � = dan
lingkaran B berpusat di B dengan jari jari-jari = . AB
merupakan jarak kedua titik pusat lingkaran
s
. DE adalah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran dimana
⊥ � . Melalui titik B, dapat ditarik garis BC yang sejajar dengan
garis DE ⫽
, sehingga =
= , dan ∠� =
9 . Maka ∆� adalah segitiga siky-siku, sehingga berlaku teorema Pythagoras,
� = � +
= � − �
= � − � −
= −
− Karena
⫽ dan
∠� = ∠�
= 9 , makaa DE=BC. Jadi,
= −
− . Maka panjang garis singgung
persekutuan luar dua lingkaran dirumuskan: � =
− −
Dengan , dan
d
: panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
s
: jarak antara kedua pusat dua lingkaran
r
a
: jari-jari lingkaran pertama
r
b
: jari-jari lingkaran kedua
3. Kerangka Berpikir