Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
20
A. Bilangan Pangkat
Tahukah Anda, berapa jarak antara matahari dan bumi? Ternyata jarak antara matahari dan bumi adalah 150.000.000 km. Penulisan jarak antara matahari
dan bumi dapat ditulis dengan bilangan pangkat. Bagaimana caranya? Pangkat bilangan bulat dapat berupa bilangan bulat positif, nol, atau
negatif.
1. Pangkat Bulat Positif
a. Pengertian Pangkat Bulat Positif
Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka a
n
dibaca a pangkat n adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya
adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk a
a a a a
n n
=
× × ×
a a a a a a
×
...
sebanyak faktor
dengan: a = bilangan pokok basis; n = pangkat atau eksponen;
a
n
= bilangan berpangkat.
Dengan menggunakan konsep bilangan pangkat penulisan jarak antara matahari dan bumi, yaitu 150.000.000 km dapat ditulis dengan cara yang lebih
ringkas, yang dikenal sebagai notasi ilmiah, yaitu 1,5 × 10
8
km.
Contoh Soal 2.1
Tentukan nilai dari pemangkatan berikut.
a. 3
4
b.
2 5
3
3
c. –1
7
Jawab: a. 3
4
= 3 × 3 × 3 × 3 = 81 b.
2 5
3
3
=
2 5
2 5
2 5
× × × ×
=
8 125
c. –1
7
= –1 × –1 × –1 × –1 × –1 × –1 × –1 = –1
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Sederhanakanlah bentuk pangkat berikut:
a. 4a
–2
× 2a
3
c.
3 9
3 4
6 2
2
⋅
− −
−
m n p m np
b. 2a
2 3
: 4a
3
2. Hitunglah nilai dari: a.
81 8
7
1 4
2 3
1
+
−
b.
125 4
3 3
2 3
2 2
5 7
5
− +
− −
3. Jika a
= +
2 3
2
dan b =
− 2 1
3
maka hitunglah nilai dari:
a. 2a + b b. a · b 4. Tentukan nilai x dari persamaan eksponen berikut:
5 25
3 5
4 x
x +
+
=
5. Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut: a.
2
log 48 +
5
log 50 –
2
log3 –
5
log 2
b.
a a
a
a a
log log
3
×
c. 3
5 4 3
4 3
3 2
16 3
log log
log log
+ −
Di unduh dari : Bukupaket.com
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
21
b. Sifat-Sifat Operasi Pemangkatan
1 Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
Untuk a ∈R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku:
a
m
× a
n
= a
m + n
Bukti: a
m
× a
n
= a a a a a a a
a
m n
× × ×
a a a a a a
× × × × ×
a a a a a a a a
× ...
...
sebanyak faktor sebanyak
fakt ff
or
= a a a
a a a a a
m n
× × ×
a a a a a a
× × × × ×
a a a a a a a a
×
+ m n
m n
... ...
sebanyak faktor
= a
m + n
terbukti
2 Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
Untuk a ∈R, a ≠ 0 dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m n.
a a
a a
a
m n
m n
m n
: a
a a
a
m n
m n
= =
= =
m n m n
Bukti: a
m
: a
n
= a a a
a a a a
a
m
n
× × ×
a a a a a a
× × × ×
a a a a a a
×
... ...
sebanyak faktor
sebanyak f
akto f
faa f
f f
f r
= a a a a
m n
× × ×
a a a a a a
×
m n m n
...
sebanyak faktor
= a
m – n
terbukti
3 Sifat Pangkat dari Bilangan Berpangkat
Untuk a ∈R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku:
a
m n
= a
m · n
Bukti: a
m n
= a a
a a
m m
m m
n
× ×
×
a a
a a
a a
×
...
sebanyak faktor
= ...
... ...
a a a
a a
a ...
... a a
a
m n
× ×
a a a a
× ×
×
a a
a a
a a
a a
... ...
... ...
× ×
... ...
× ×
a a a a
×
×
m n m n
sebanyak faktor
= a
m · n
terbukti
4 Sifat Pangkat dari Perkalian Bilangan
Untuk a, b ∈R dan n bilangan bulat positif, berlaku:
a · b
n
= a
n
· b
n
Bukti: a · b
n
= ab ab ab ab
n
× ×
×
ab ab ab
ab
×
...
sebanyak faktor
= ...
... a a a
a b b b
b
n
× × ×
a a a a a a
× ×
aa
× × ×
b b b b b b
×
sebanyak faktor sebanya
kk faktor n
= a
n
· b
n
terbukti
5 Sifat Pangkat dari Pembagian Bilangan
Untuk a, b ∈R, b ≠ 0 dan n bilangan bulat positif, berlaku:
a b
a b
n n
n
nn
=
Bukti: a
b a
b a
b a
b a
b
n
nn
=
× × × × × × ×
...
= a a a
a b b b
b
n
n
× × ×
a a a a a a
× × × ×
b b b b b b
×
... ...
sebanyak faktor
sebanyak f
akto f
faa f
f f
f r
= a
b
n n
terbukti
Solusi
Bentuk sederhana dari 2
3
× 2
2 3
adalah ....
a. 2
7
d. 2
12
b. 2
8
e. 2
18
c. 2
9
Jawab:
2
3
× 2
2 3
= 2
3
× 2
6
= 2
3 + 6
= 2
9
Jawaban: c
Sumber: UN SMK 2005
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
22
Contoh Contoh
Contoh Contoh Soal
Soal 2.3
Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut. Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut.
Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut. Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut.
a.
6 b.
2a c.
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
Jawab Jawab:
a.
6 = 1
b.
2a = 1, dengan syarat
dengan syarat a ≠ 0
c.
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
x y
3 4
4
= 1, dengan syarat
dengan syarat x ≠ 0 dan y ≠ 0
Contoh Soal 2.2
Sederhanakanlah bentuk pemangkatan berikut. a. p
5
× p
10
× p
4
d. 3x
2
y
2
b. x
2 4
e.
a b a b
7 5
a b a b
5 2
a b a b
2
a b a b
a b a b
22
c. 2
6
: 2
4
Jawab: a. p
5
× p
10
× p
4
= p
19
sifat perkalian bilangan pangkat
b. x
2 4
= x
2 ·
4
= x
8
sifat pangkat dari bilangan berpangkat
c. 2
6
: 2
4
= 2
6 – 4
= 2
2
= 2 × 2 = 4 sifat pembagian bilangan pangkat d. 3x
2
y
2
= 3
2
x
2 2
y
2
sifat pangkat dari perkalian bilangan = 3
2
x
4
y
2
sifat pangkat dari bilangan pangkat
= 9x
4
y
2
e.
a b a b
a b
a b a
b
7 5
5 2
2 7 5
5 2 2
2 3
2 2
2 3
2
æ è
çç çç
ö ø
÷÷÷ ÷
= =
= =
- -
a b
4 6
sifat pangkat dari bilangan pangkat sifat pangkat dari perkalian bilangan
sifat pembagian bilangan pangkat
2. Pangkat Bulat Negatif dan Nol
Kategori