Persamaan dan Pertidaksamaan
65
Jadi nilai k = –5.
3. Jika salah satu akar persamaan x
2
– 10x + k – 2 = 10 adalah empat kali akar yang lain maka tentukan nilai k dan akar-akar tersebut.
Jawab:
x
2
– 10x + k – 2 = 10 Dengan nilai a = 1, b = –10, c = k – 2 dan salah satu akar = empat kali
akar yang lain x
x x x
c a
x x
b a
k x
x k
x
1 2
1 2
1 2
2 2
2
4 8 2
2 4
10 1
10 16
2 5
10 1
= ⋅ =
+ = −
⋅ = − +
= − − =
= − =
6 6 2
2 18
4 4 2
8
2 1
2
+ = =
= =
= ⋅ = k
x k
x x
Jadi, nilai k = 18 serta x
1
= 8 dan x
2
= 2.
5. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
a. Menyusun Persamaan Kuadrat jika Diketahui Akar- Akarnya
Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x
1
dan x
2
maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk:
x – x
1
x – x
2
= 0
Latihan Soal
3.2
1. Jika p dan q adalah akar dari persamaan kuadrat
x
2
– 4x + 6 = 0, tentukan nilai dari
a.
3 3
p q
+
c.
p q
2 2
+
b.
p q
q p
+
d.
p q
q p
2 2
+
2. Jika x
1
dan x
2
akar persamaan kuadrat 2x
2
– 5x – 7 = 0, maka tentukanlah nilai dari:
a. x
1 3
+x
2 3
c. 2x
1 2
+ 2x
2 2
b.
2 2
1 2
2 1
x x
x x
+ d.
3 3
1 2
2 2
1 2
x x
x x
+
3. Salah satu akar persamaan x
2
– 3x + 3n – 2 = 0 adalah 3 kurangnya dari 2 kali akar yang lain. Tentukan nilai
dari n.
4. Akar-akar persamaan kuadrat x
2
– ax + 2x – 2a = 0 adalah p dan q. Jika p
2
+ q
2
= 20, hitunglah nilai a.
5. Diketahui x
1
dan x
2
adalah akar dari persamaan kuadrat 2x
2
+ 3x – n + 1 = 0. Jika x
x
1 2
2 2
27 4
– = −
, tentukanlah nilai n.
Kerjakanlah soal-soal berikut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
66
Contoh Soal 3.11
Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya: a. –2 dan 3
b.
5 5
dan −
c.
1 4
3 dan
−
Jawab: a. x
1
= –2 dan x
2
= 3 x – –2 x – 3 = 0
x + 2 x – 3 = 0 x
2
– 3x + 2x – 6 = 0 x
2
– x – 6 = 0, yaitu dengan mengambil a = 1 b.
x x
x x
x x
1 2
5 5
5 5
5 5
= = −
− − −
= +
= dan
– 5
x
2
– 5 = 0
c.
x x
x x
x x
x x
1 2
1 4
3 1
4 3
1 4
3 4
1 =
= − −
− − =
−
+
= +
dan
– 3
3 4
12 3
2
= +
− − = x
x x
11 3
4x
2
+ 11x – 3 = 0
b. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarnya
Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x
1
dan x
2
dan diketahui x
1
+ x
2
dan x
1
· x
2
maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk x
2
– x
1
+ x
2
x + x
1
· x
2
= 0 Bentuk persamaan tersebut dapat digunakan untuk menyusun persamaan
kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat baru berhubungan dengan persamaan kuadrat yang lain.
Contoh Soal 3.12
1. Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 3
dan −
1 2
.
Jawab:
x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
3 1
2 3
1 2
6 1 2
5 2
3 1
2 3
2 =
= − +
= − = − = ⋅ =
−
= −
dan
Di unduh dari : Bukupaket.com
Persamaan dan Pertidaksamaan
67
maka persamaan kuadratnya adalah x
x x
x x x
x
2 1
2 1
2 2
5 2
3 2
− +
+ ⋅ = −
+ =
2 5 3 =
2
2x
2
–5x – 3 = 0 2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-
akar persamaan 3x
2
– 4x + 2 = 0
Jawab:
Misalkan, persamaan kuadrat baru memiliki akar a
a
1
= x
1
+ 2 ⇔ x
1
= a
1
– 2 a
2
= x
2
+ 2 ⇔ x
2
= a
2
– 2 Substitusikan x =
a – 2 ke dalam persamaan kuadrat semula sehingga diperoleh:
3 a – 2
2
– 4 a – 2 + 2 = 0
3 a
2
– 4 a + 4 – 4a + 8 + 2 = 0
3 a
2
– 12 a + 12 – 4a + 10 = 0
3 a
2
– 16 a + 22 = 0
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah 3 a
2
– 16 a + 22 = 0.
3. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x
