Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
62
Contoh Soal 3.9
1. Persamaan kuadrat px
2
+ 2 – 2px + p = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda. Tentukan nilai p.
Jawab:
px
2
+ 2 – 2px + p = 0 Dengan nilai a = p, b = 2 – 2p, c = p maka
D = 2 – 2p
2
– 4 · p · p = 4 – 8p + 4p
2
– 4p
2
= 4 – 8p Agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar riil yang berbeda
maka syaratnya adalah D 0 sehingga 4 – 8p 0
–8p –4 p
p −
− 4
8 1
2 Jadi,
− −
p 1
2 .
2. Jika persamaan kuadrat kx
2
+ kx + 3 = 0 mempunyai akar kembar, tentukan nilai k dan tentukan akar-akar kembar tersebut.
Jawab:
kx
2
+ kx + 3 = 0 Dengan nilai a = k, b = k, c = 3, agar persamaan kuadrat tersebut
mempunyai 2 akar riil yang sama maka syaratnya D = 0 sehingga k
2
– 4 · k ·
3 = 0 k
2
– 12 k = 0 k k – 12 = 0
k = 0 atau k – 12 = 0 maka k = 12 k
1
= 0, k
2
= 12 dan k
1
≠ k
2
sehingga {0, 12} Jika k = 0 maka persamaan semula bukan merupakan persamaan
kuadrat. Jika k = 12 maka persamaan semula menjadi 12x
2
+ 12x + 3 = 0 4x
2
+ 4x + 1 = 0 Dengan nilai a = 4, b = 4, c = 1
p + q = 4; p · q = a · c = 4 Dengan cara menduga-duga diperoleh p = 2 dan q = 2, sehingga:
4 4
1 4
2 2
4 4
2 1
2 4
2
2
x x
x x
x x
x x
+ + =
+ +
= +
+
=
+ = +
atau 1
1 2
1 2
1 2
= = −
= − x
x atau
Jadi, akar persamaan kuadrat tersebut adalah – 1
2 .
Di unduh dari : Bukupaket.com
Persamaan dan Pertidaksamaan
63
4. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Pada pembahasan sebelumnya, Anda dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan berbagai cara. Jika akar-akar persamaan kuadrat telah Anda
peroleh maka Anda dapat mencari hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Bagaimana halnya jika akar-akar persamaan kuadratnya
belum Anda peroleh, dan Anda akan mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat
diperoleh dengan cara berikut ini.
Misalkan persamaan kuadrat ax
2
+ bx + c = 0 memiliki akar-akar x
1
, x
2
: x
b b
ac a
x b
b ac
a
1 2
2 2
4 2
4 2
= − + −
= − − −
; maka
x x
b b
ac a
b b
ac a
b b
ac b
b ac
a b
a
1 2
2 2
2 2
4 2
4 2
4 4
2 2
2 +
= - +
- +
- - -
= - +
- - -
- =
- = -
b b
a x
x b
a Jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat adalah:
,
1 2
+ = -
rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah: x x
b b
ac a
b b
ac a
1 2
2 2
4 2
4 2
× =
- + -
æ è
çç ççç
ö ø
÷÷÷ ÷÷
- - -
æ è
çç ççç
ö ø
÷÷÷ ÷÷
= -bb
b ac
a b
b ac
a b
b ac
a ac
a -
-
= -
-
= -
+ =
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
4 2
4 4
4 4
4 4
Jadii rumus persamaan akar-akar persamaan kuadrat adalah, x x
1
×
2 2
= c
a Bentuk-bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat
1 x
1 2
+ x
2 2
= x
1
+ x
2 2
– 2x
1
x
2
jumlah kuadrat akar-akar 2 x
1 3
+ x
2 3
= x
1
+ x
2 3
– 3x
1
x
2
x
1
+x
2
3 x
1 4
+ x
2 4
= x
1 2
+ x
2 2
– 2x
1
x
2 2
Solusi
Akar-akar dari 2x
2
– 3x – 9 = 0 adalah x
1
dan x
2
. Nilai dari x
1 2
+ x
2 2
= ....
a.
11 1
4
d.
−6 3
4
b.
6 3
4
e.
−11 1
4
c.
2 1
4
Jawab:
2x
2
– 3x – 9 = 0 dengan nilai a = 2, b = –3, c = –9
maka x
x b
a x x
c a
x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2
2 1 2
3 2
3 2
9 2
2 3
2 +
= − = − =
⋅ = = − +
= +
− =
−
−
= +
= + =
=
2
2 9
2 9
4 18
2 9 36
4 45
4
11 1
4 Jawaban: a
Sumber: Ebtanas SMK 2001
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
64
Contoh Soal 3.10
1. Diketahui x
