Persamaan dan Pertidaksamaan
71
D. Pertidaksamaan Kuadrat
Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut
pertidaksamaan kuadrat. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
ax
2
+ bx + c 0 ax
2
+ bx + c ≥ 0 ax
2
+ bx + c 0 ax
2
+ bx + c ≤ 0 dengan a, b, dan c
∈ R dan a
≠ 0.
1. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat lebih mudah apabila menggunakan garis bilangan.
Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berbeda dengan menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear. Pada
pertidaksamaan linear, Anda dapat langsung menentukan daerah penyelesaian setelah memperoleh himpunan penyelesaiannya. Adapun pada pertidaksamaan
kuadrat Anda harus menentukan daerahnya terlebih dahulu untuk dapat menentukan himpunan penyelesaiannya.
Berikut ini beberapa langkah yang harus dipahami dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
a. Nyatakan bantuk pertidaksamaan kuadrat dengan cara menjadikan ruas
kanan sama dengan nol
b. Tentukan akar-akar dari pertidakasamaan kuadrat dengan cara
memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus abc
c. Tentukan nilai-nilai pembuat nol dari akar-akar petidaksamaan kuadrat pada tahap b.
d. Gambarkanlah nilai-nilai pembuat nol yang diperoleh pada langkah 3
pada diagram garis bilangan
x
1
x
2
e. Tentukanlah tanda di daerah sekitar pembuat nol, yaitu
+
atau
–
dengan cara menyubstitusikan nilai x yang lebih besar atau lebih kecil dari x
1
atau x
2
.
Solusi
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x
2
+ 4x –12 ≤ 0, x
∈
R adalah ....
a. {x | –2 ≤ x ≤ 6, x
∈
R}
b. {x |–6 ≤ x ≤ 2, x
∈
R}
c. {x | –2 ≤ x ≤ –6, x
∈
R}
d. {x | x ≥ 2 atau x ≥ –6,
x
∈
R}
e. {x | x ≥ 6 atau x ≥ –2,
x
∈
R}
Jawab:
x
2
+ 4x –12 ≤ 0 x
2
+ 4x –12 = 0 x + 6 x – 2 = 0
x + 6 = 0 atau x – 2 = 0
x = – 6 atau x = 2
ambil x = 0 ⇒
x
2
+ 4x –12 = 0
2
+ 4 . 0 –12 = –12 negatif
–6 +
+ 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | –6 ≥ x ≤ 2, x
∈∈ R}
Jawaban: b
Sumber: UAN SMK 2003
–
Latihan Soal
3.4
1. Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidak-
samaan berikut dengan x ∈
R.
a. 4x –7 ≤ 2x –4 b. 3x + 2 ≤ 7x –6
c. 5x –2 ≤ 3 –2x d.
7 2
2 – x
≥ 3
2 3
x –
e.
2 5
x + 10 + 4 ≤ 3 x + 3
2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidak-
samaan berikut dan sajikan dalam garis bilangan untuk x
∈ R.
a. 5x + 2 ≤ 2x + 14 c.
x x
– 3 4
2 3
1 2
+ + ≤
b.
1 5
x + 3 ≤ 4 – 2
3 x
d.
1 3
2x –4 + 2 ≥ x
6 3
2 −
3. Gambarlah pada garis bilangan, himpunan berikut ini: a. {x | x ≥ 3, x
∈ B}
b. {x | x ≤ –5, x
∈ R}
c. {x | x 2, x
∈ R}
d. {x | –3 ≤ x 4, x
∈ R}
e. {x | 4 x 9, x
∈ R}
f.
{x | x –2 atau x 4, x ∈
R}
Kerjakanlah soal-soal berikut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
72
Latihan Soal
3.5
1. Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidak-
samaan di bawah ini.
a. x
2
+ 4x –12 ≥ 0
c. x
2
+ 4x –6 0
b. x
2
–2x –35 ≤ 0
d. 3x
2
+ 4x –7 0
2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidak-
samaan di bawah ini :
a. 4x
2
+ 4x 1
c. 25 x
2
b. 15 –7x ≤ 2x d. 9x –x
2
x
2
+ 14
3. Sebuah peluru ditembakkan ke atas dari ketinggian
2m di atas tanah. Jarak yang dicapai oleh peluru setelah t detik ditentukan oleh s = 2 + 30t –5t
2
. Kapan peluru berada pada ketinggian tidak kurang
dari 27 m di atas tanah?
Kerjakanlah soal-soal berikut.
f. Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dilihat dari tanda
pertidaksamaannya. Jika tandanya atau
≤
maka daerah hasil yang dimaksud adalah daerah negatif. Dan jika tandanya atau
≥maka daerah hasil yang dimaksud adalah daerah negatif. Himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk interval.
Contoh Soal 3.15
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x
2
–5x –14 ≤ 0, untuk x∈ R.
Jawab:
x
2
–5x –14 ≤ 0 x
2
–5x –14 = 0 x –7 x + 2 = 0
x
1
= 7 x
2
= –2 ambil x = 0
⇒x
2
– 5x –14 = 0 –5 . 0 –14 = –14 negatif
–2 +
+ 7
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x | –2 ≤ x ≤ 7, x∈ R}. 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2x
2
+ 5x + 15 3x
2
+ 5x – 1, untuk x∈ R.
Jawab:
2x
2
+ 5x + 15 3x
2
+ 5x –1 2x
2
+ 5x + 15 –3x
2
–5x + 1 0 –x
2
+ 16 0 x
2
–16 0 x
2
–16 = 0 x – 4 x + 4 = 0
x = 4 atau x = –4 ambil x = 0
x
2
–16 = 0
2
–16 = –16 negatif
–4 +
– +
4
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x | x –4 atau x 4, x ∈ R}.
–
Di unduh dari : Bukupaket.com
Persamaan dan Pertidaksamaan
73
E. Sistem Persamaan Linear
Di SMP, Anda telah mempelajari materi mengenai sistem persamaan linear. Masih ingatkah Anda apa sistem persamaan linear itu? Sistem persamaan linear
adalah suatu sistem persamaan yang peubah-peubahnya berpangkat satu. Sistem persamaan linear dapat terdiri dari dua atau lebih variabel. Untuk
pembahasan kali ini anda akan mempelajari kembali mengenai sistem persamaan linear SPL.
Bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut :
a
1
x + b
1
y = c
1
a
2
x + b
2
y = c
2
dengan a, b, dan c ∈
R. Berdasarkan gradien garis m dan nilai c pada persamaan garis y = mx + c,
SPL memiliki tiga kemungkinan banyaknya penyelesaian. 1. Memiliki sebuah penyelesaian jika m
