Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
33
D. Logaritma
Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya 2
4
= 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat eksponen, dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya
dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan
pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis: 2
4
= 16 ⇔
2
log 16 = 4 Secara umum:
Jika x = a
n
maka
a
log x = n, dan sebaliknya jika
a
log x = n maka x = a
n
. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai
berikut:
a
log x = n ⇔x = a
n
dengan: a = bilangan pokok atau basis, a 0; a ≠ 1; x = numerus yang dicari nilai logaritmanya, x 0
n = hasil logaritma.
a
logx dibacalogaritma x dengan basis a Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya,
bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.
Latihan Soal
2.4
1. Sederhanakan penyebut dari bentuk akar berikut. a.
5 2
d.
2 11
g.
9 8
4
b.
6 2 3
e.
−3 6 5
h.
3 25
3
c.
−4 10
f.
7 2
3
2. Sederhanakanlah penyebut dari bentuk akar berikut. a.
3 7
2 −
d.
3 3
2 2
+ −
b.
5 10
5 +
e.
3 2 7
3 2 7
− +
c.
3 2 6
2 2 −
f.
5 2 4
7 2 4
− +
3. Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut. a.
15 2 54 +
d.
11 4 7 +
b.
9 2 8 −
e.
12 8 2 12
+
c. 20 10 3
−
f.
5 2 3
8 2 15 −
−
4. Dengan merasionalkan penyebut, tentukan bentuk
sederhana dari:
a.
2 6 2
3 5
+ +
b.
11 120
1 6
5 24
− +
− −
c. 3
13 4 3
1 2
+ +
5. Jika diketahui sebuah persegipanjang PQRS dengan
panjang 2
2 3
+
cm dan lebar
2 5 2 3
+
cm.
Tentukan:
a. keliling persegipanjang tersebut; b. luas persegipanjang tersebut.
Kerjakanlah soal-soal berikut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
34
1. Sifat-Sifat Logaritma
a. Sifat 1
Untuk a 0, a ≠ 1, berlaku:
a
log a = 1,
a
log 1 = 0, log 10 = 1 Bukti:
• Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan
itu sendiri. Jadi, a
1
= a ⇔
a
log a = 1 •
Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi, a
= 1 ⇔
a
log 1 = 0 •
Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1
b. Sifat 2
Untuk a 0, a ≠ 1, x 0 dan y 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
a
log x +
a
log y =
a
log xy Bukti:
a
log x = n ⇔ a
n
= x
a
log y = m ⇔ a
m
= y
a
log xy = p ⇔ a
p
= xy Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
xy = a
n
a
m
⇔ xy = a
n+m
a
p
= a
n+m
⇔ p = n+m
Contoh Soal 2.12
1. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat. a.
3
log 9 = 2
b.
5
1 125
3 log
= −
c.
2
log 32 = 2p
Jawab: a.
3
log 9 = 2
⇔9 = 3
2
b.
5
1 125
3 1
125 log
= − ⇔ = 5
3 –
c.
2
log 32 = 2p
⇔ 32 = 2
2p
2. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma. a.
7
2 −
= 1
49
b.
2 4
3 2
a
=
c.
3 3
3 3
2 p
p
=
Jawab: a.
7 1
49
2 −
= ⇔
7
log 1
49 = 2
– b.
2 4
3 2
a
= ⇔
2
log4 = 3
2 a
c.
3 3
3 3
2 p
p
= ⇔
3 3
log 3 =
3 2
p
p
Solusi
Nilai dari
2
log 3 +
2
log 8 –
2
log 6 adalah ....
a. 3 d.
1
b. 2 e.
1 2
c.
3 2
Jawab:
2
log 3 +
2
log 8 –
2
log6 =
2 2
2 2
2
3 8 6
4 2
2 2
log log
log log
× = =
= = 2
Jawaban: b
Sumber: UN SMK 2003
Info Math
John Napier 1550–1617
Metode logaritma pertama kali dipublikasikan oleh
matematikawan Scotlandia, yaitu John Napier pada 1614
dalam bukunya yang berjudul Mirifici Logarithmorum
Canonis Descriptio
. Metode ini memberikan kontribusi yang
besar untuk kemajuan ilmu pengetahuan, salah satunya
pada bidang astronomi dengan menjadikan perhitungan rumit
menjadi mudah.
Sumber: en.wikipedia.org Sumber: cantiques.karaokes.free.fr
Di unduh dari : Bukupaket.com
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
35
Maka: n =
a
log x, m =
a
log y dan p =
a
log xy, sehingga
a
log x +
a
log y =
a
log xy
c. Sifat 3
Untuk a 0, a ≠ 1, x 0 dan y 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:
a a
a
x y
x y
log log
log −
= Bukti:
a
log x = n ⇔ a
n
= x
a
log y = m ⇔ a
m
= y
a p
x y
p a
x y
log = ⇔
= Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:
x y
a a
x y
a a
a p
n m
n m
n m p
n m
= ⇔ =
⇔ =
⇔ = −
− −
Jadi,
a a
a
x y
x y
log log
log −
=
.
d. Sifat 4
Untuk a 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
a
log x
n
= n
a
log x Bukti:
a n
a n faktor
a a
x x x x
x x
x log
log ...
log log
. =
× × × ×
= +
+
... log
log +
=
a n faktor
a
x n
x
Jadi,
a
log x
n
= n
a
log x.
e. Sifat 5
Untuk a, m 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
a n
a
m
x n
m x
log log
=
Bukti:
a
log x = p ⇔ a
p
= x
a n
m q n
m
x q
a x
log = ⇔
=
⋅
Dari bentuk pangkat di atas diperoleh: x
n
= a
m · q
⇔ a
p n
= a
mq
⇔ a
np
= a
mq
⇔ np = mq
⇔
q n
m p
=
Jadi,
a n
a
m
x n
m x
log log
=
.
Solusi
Nilai dari
2
log 48 +
5
log 50 –
2
log 3 –
5
log 2 adalah ....
a. –2 d.
2
b. –6 e.
6
c.
16 25
Jawab:
2 5
2 5
2 2
5 5
2
48 50
3 2
48 3
50 2
48 log
log log
log log
log log
log log
+ −
− ⇔
− +
− ⇔
3 3
50 2
16 25
5 2
5
+ ⇔
+ ⇔
log log
log
4 + 2 = 6 Jawaban: e
Sumber: UN SMK 2005
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
36 1. Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
a.
2
log 6 +
2
log 18 –
2
log 27
b.
3 3
3
9 3
2 27
log log
log +
−
c.
8
log 32 +
8
log 16 –
8
log 128
Jawab: a.
2 2
2 2
2 2
2 2
6 18
27 6 18
27 4
2 2
2 2
log log
log log
log log
log +
- =
× =
= = ×
=
b.
3 3
3 3
2 3
1 2
3 3
3 3
9 3
2 27
3 3
2 3
2 3
1 2
log log
log log
log log
log lo
+ - ×
= +
- × =
+ × g
g log
3 2 3
3 2
1 2
6 1
2 4
7 2
3
- × = + -
= - = -
c.
8 8
8 8
8 2
2 2
32 16
128 32 16
128 4
2 2
3 2
3
log log
log log
log log
log +
+ =
× =
= = ×
= 2
2 3
2. Tentukan nilai x dari bentuk logaritma
