Metode Simpleks Program Linier

2.3.7 Variabel Artificial

Untuk dapat memecahkan persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks harus ada 1 variabel - variabel basis dalam fungsi-fungsi pembatas untuk memperoleh solusi basis awal yang feasible. Untuk fungsi-fungsi pembatas dengan tanda , maka variabel basis dapat diperoleh dengan menambah variabel slack. Tetapi bila fungsi pembatas mempunyai bentuk ketidaksamaan dengan tanda , maka variabel slack yang bersangkutan bertanda “ negatif ”. Misalnya : diubah menjadi bentuk persamaan : Demikian pula bila fungsi pembatas berbentuk persamaan, maka tidak selalu dapat diperoleh variabel basis. Untuk mengatasi kesulitan memperoleh variabel basis tersebut, dapat ditambahkan suatu variabel khayal, yang disebut variabel artifical. Variabel artificial ini mempunyai suatu koefisien fungsi tujuan yang sangat besar. Harga koefisien ini dapat positif maupun negatif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimisasi atau minimisasi. Bila dinyatakan dengan notasi, maka koefisien variabel artifical pada fungsi tujuan adalah : untuk maksimisasi. untuk minimisasi. M adalah bilangan positif sangat besar, dan adalah koefisien fungsi tujuan untuk variabel artifical .

2.3.8 Metode Simpleks

Persoalan program linier yang dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks haruslah persoalan yang telah diubah kedalam bentuk standard dan mempunyai variabel basis, baik sebagai variabel slack ataupun variabel artificial . Universitas Sumatera Utara Dalam bentuk matematis, persolan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut: 1. Fungsi Tujuan Maksimisasi minimisasi : ∑ 2. Fungsi Pembatas Untuk lebih jelasnya, maka fungsi pembatas akan diuraikandijelaskan dalam bentuk perkalian matriks. Fungsi pembatas dalam bentuk perkalian matriks adalah : [ ] [ ] [ ] Keterangan : = Koefisien fungsi tujuan untuk variabel ke-j = Koefisien fungsi tujuan pembatas ke-i untuk variabel ke-j m = Jumlah fungsi pembatas r = Jumlah variabel asli = Harga ruas kanan fungsi pembatas ke-i dan [ ] Matriks Satuan Selanjutnya akan dijelaskan prosedur iterasi metode simpleks untuk memperoleh solusi optimal yang feasible. Untuk memudahkan dalam penjelasan ini, maka digunakan tabel iterasi simpleks. Universitas Sumatera Utara Tabel 2.1 Iterasi Simpleks . . . . . . Keterangan : = Variabel basis untuk fungsi pembatas ke-i = Koefisien fungsi tujuan variabel ke = Variabel-variabel asli = Variabel-variabel basis awal ∑ Untuk melakukan iterasi metode simpleks ini, ada 3 langkah yang perlu dilakukan, yaitu : 1. Mencari variabel yang akan menjadi variabel basis yang baru. 2. Mencari variabel basis yang lama yang akan diganti. 3. Menyusun tabel baru dengan menghitung harga dan yang baru. Universitas Sumatera Utara Ketiga langkah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut : 1. Mencari variabel yang akan menjadi variabel basis yang baru, dengan cara : a. Menghitung harga untuk j = 1, 2 , … , r + m b. Jika ada satu atau lebih harga , maka variabel dengan harga negatif terbesar adalah sebagai variabel basis yang terbaru. c. Bila semua harga , maka iterasi telah mencapai kondisi optimal dan perhitungan dihentikan sampai disini. d. Bila adalah negatif terbesar, dan untuk setiap i = 1, … ,m maka solusi yang diperoleh adalah unbounded. Apabila untuk paling sedikit harga 1, maka iterasi dilanjutkan dengan terlebih dahulu mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru . 2. Mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru . a. Hitung harga , i = 1, 2,...,m b. Varibel basis lama yang akan digantikan adalah variabel basis dengan harga positif terkecil misalkan = 1. 3. Menyusun tabel simpleks yang baru dengan adalah variabel basis baru yang menggantikan . Transformasi yang akan dilakukan adalah : a. b. c. Ketiga langkah ini diulang terus untuk setiap iterasi sampai diperoleh harga semuanya positif untuk j = 1,2, … , r + m yang berarti bahwa solusi yang diperoleh telah optimum yaitu fungsi tujuan adalah maksimum. Contoh penggunaan metode simpleks: Maksimum Kendala : Universitas Sumatera Utara Penyelesaian: Ubah kedalam bentuk Standar : Maksimum Kendala : Iterasi 0 Basis C 3 5 4 B 1 2 3 1 10 2 3 1 1 16 3 2 1 1 20 -3 -5 -4 01 Keterangan :  Pada baris : -5 adalah yang paling minimum, maka masuk dalam basis.  { }  Baris pivot adalah baris dikalikan .  Baris yang baru adalah baris  Baris yang baru adalah baris Universitas Sumatera Utara Iterasi 1 Basis C 3 5 4 B 5 0,5 1 1,5 0,5 5 0,5 -3,5 -1,5 1 1 2 -2 -1 1 10 -0,5 3,5 2,5 25 Keterangan :  Pada baris : -0,5 adalah yang paling minimum, maka masuk dalam basis.  { }  Baris pivot adalah baris dikalikan .  Baris yang baru adalah baris  Baris yang baru adalah baris Iterasi 2 Basis C 3 5 4 B 5 1 5 2 -1 4 3 1 -7 -3 2 2 12 5 -4 1 6 4 1 1 26 Karena baris , maka perosoalan telah optimal dengan : Untuk Universitas Sumatera Utara

2.4 Teori Dualitas