2.3.7 Variabel Artificial
Untuk dapat memecahkan persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks harus ada 1 variabel - variabel basis dalam fungsi-fungsi pembatas untuk
memperoleh solusi basis awal yang feasible. Untuk fungsi-fungsi pembatas dengan
tanda
, maka variabel basis dapat diperoleh dengan menambah variabel slack. Tetapi
bila fungsi pembatas mempunyai bentuk ketidaksamaan dengan tanda
, maka
variabel slack yang bersangkutan bertanda “ negatif ”.
Misalnya : diubah menjadi bentuk persamaan :
Demikian pula bila fungsi pembatas berbentuk persamaan, maka tidak selalu dapat diperoleh variabel basis.
Untuk mengatasi kesulitan memperoleh variabel basis tersebut, dapat ditambahkan suatu variabel khayal, yang disebut variabel artifical. Variabel artificial
ini mempunyai suatu koefisien fungsi tujuan yang sangat besar. Harga koefisien ini dapat positif maupun negatif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimisasi atau
minimisasi. Bila dinyatakan dengan notasi, maka koefisien variabel artifical pada fungsi tujuan adalah :
untuk maksimisasi. untuk minimisasi.
M adalah bilangan positif sangat besar, dan adalah koefisien fungsi tujuan untuk
variabel artifical .
2.3.8 Metode Simpleks
Persoalan program linier yang dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks haruslah persoalan yang telah diubah kedalam bentuk standard dan mempunyai
variabel basis, baik sebagai variabel slack ataupun variabel artificial .
Universitas Sumatera Utara
Dalam bentuk matematis, persolan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Fungsi Tujuan
Maksimisasi minimisasi :
∑
2. Fungsi Pembatas
Untuk lebih jelasnya, maka fungsi pembatas akan diuraikandijelaskan dalam bentuk perkalian matriks. Fungsi pembatas dalam bentuk perkalian matriks
adalah :
[ ]
[ ]
[ ]
Keterangan : = Koefisien fungsi tujuan untuk variabel ke-j
= Koefisien fungsi tujuan pembatas ke-i untuk variabel ke-j m
= Jumlah fungsi pembatas r
= Jumlah variabel asli = Harga ruas kanan fungsi pembatas ke-i dan
[ ]
Matriks Satuan
Selanjutnya akan dijelaskan prosedur iterasi metode simpleks untuk memperoleh solusi optimal yang feasible. Untuk memudahkan dalam penjelasan ini, maka
digunakan tabel iterasi simpleks.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.1 Iterasi Simpleks
. .
. .
. .
Keterangan : = Variabel basis untuk fungsi pembatas ke-i
= Koefisien fungsi tujuan variabel ke = Variabel-variabel asli
= Variabel-variabel basis awal
∑ Untuk melakukan iterasi metode simpleks ini, ada 3 langkah yang perlu dilakukan,
yaitu : 1.
Mencari variabel yang akan menjadi variabel basis yang baru.
2. Mencari variabel basis yang lama
yang akan diganti. 3.
Menyusun tabel baru dengan menghitung harga dan
yang baru.
Universitas Sumatera Utara
Ketiga langkah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut : 1.
Mencari variabel yang akan menjadi variabel basis yang baru, dengan cara :
a. Menghitung harga
untuk j = 1, 2 , … , r + m b.
Jika ada satu atau lebih harga , maka variabel dengan harga
negatif terbesar adalah sebagai variabel basis yang terbaru. c.
Bila semua harga , maka iterasi telah mencapai kondisi optimal
dan perhitungan dihentikan sampai disini. d.
Bila adalah negatif terbesar, dan
untuk setiap i = 1, … ,m maka solusi yang diperoleh adalah unbounded. Apabila
untuk paling sedikit harga 1, maka iterasi dilanjutkan dengan terlebih dahulu
mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru .
2. Mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru
. a.
Hitung harga , i = 1, 2,...,m
b. Varibel basis lama yang akan digantikan adalah variabel basis dengan
harga positif terkecil misalkan
= 1. 3.
Menyusun tabel simpleks yang baru dengan adalah variabel basis baru yang
menggantikan . Transformasi yang akan dilakukan adalah :
a. b.
c. Ketiga langkah ini diulang terus untuk setiap iterasi sampai diperoleh harga
semuanya positif untuk j = 1,2, … , r + m yang berarti bahwa solusi yang diperoleh telah optimum yaitu fungsi tujuan adalah maksimum.
Contoh penggunaan metode simpleks:
Maksimum
Kendala :
Universitas Sumatera Utara
Penyelesaian:
Ubah kedalam bentuk Standar : Maksimum
Kendala :
Iterasi 0 Basis C
3 5
4 B
1 2
3 1
10 2
3 1
1 16
3 2
1 1
20 -3
-5 -4
01 Keterangan :
Pada baris
: -5 adalah yang paling minimum, maka masuk dalam
basis.
{
}
Baris pivot adalah baris
dikalikan .
Baris
yang baru adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 1 Basis C
3 5
4 B
5 0,5
1 1,5
0,5 5
0,5 -3,5
-1,5 1
1 2
-2 -1
1 10
-0,5 3,5
2,5 25
Keterangan : Pada baris
: -0,5 adalah yang paling minimum, maka masuk dalam
basis.
{
}
Baris pivot adalah baris
dikalikan
. Baris
yang baru adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
Iterasi 2 Basis C
3 5
4 B
5 1
5 2
-1 4
3 1
-7 -3
2 2
12 5
-4 1
6 4
1 1
26
Karena baris , maka perosoalan telah optimal dengan :
Untuk
Universitas Sumatera Utara
2.4 Teori Dualitas