2.3.4 Fungsi dalam Program Linier
Pada program linier terdapat dua macam fungsi, antara lain : 1.
Fungsi Tujuan Objective Function Fungsi tujuan dalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran di dalam
permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya
minimal.
2. Fungsi Pembatas Constraint Function
Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai
kegiatan.
2.3.5 Formulasi Matematika Program Linier
Secara matematika, persoalan program linier ini dapat diformulasikan sebagai berikut: 1.
Memaksimumkan meminimumkan fungsi tujuan : ∑
2. Dengan fungsi-fungsi pembatas linier :
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Dapat disederhanakan menjadi : ∑
Universitas Sumatera Utara
Keterangan : Z
= Fungsi tujuan. = variabel keputusan atau kegiatan ke-j.
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan j. = koefisien teknis dalam kendala ke-m pada aktivitas ke-i.
= sumberdaya yang terbatas konstanta dari kendala ke-i.
3. Dengan pembatas non-negatif
, untuk j = 1, 2, 3, …, n untuk i = 1, 2, 3, …, m
4. ,
, adalah konstanta yang diketahui harganya.
Dapat pula persamaan atau ketidaksamaan linier ini dinyatakan sebagai perkalian matriks A m x r dengan matriks kolom X r x l yang hasilnya adalah
suatu kolom B m x l . [
] [ ] [
]
Sebelum model program linier ini digunakan, maka satu hal yang perlu diperhatikan adalah masalah kelinieran fungsi-fungsi tujuan dan fungsi pembatas yang digunakan.
Secara umum, kelinieran dapat digolongkan ke dalam dua sifat, yaitu : 1.
Sifat menambahkan Contohnya adalah bila untuk membuat produk 1 pada mesin A diperlukan
waktu jam dan untuk membuat produk 2 pada mesin A diperlukan waktu
jam, maka untuk membuat produk 1 dan 2 pada mesin A diperlukan waktu +
jam.
2. Sifat Mengalikan
Contohnya adalah bila untuk membuat 1 buah produk pada mesin A diperlukan waktu 1 jam, maka untuk membuat 10 buah produk diperlukan waktu 10 jam.
Universitas Sumatera Utara
Karena model program linier disajikan dalam berbagai variasi, yaitu fungsi tujuan yang dapat berupa maksimisasi atau minimimasi, dan fungsi-fungsi pembatas
yang dapat berbentuk dan atau , maka perlu diadakan pengenalan terhadap
sifat-sifat dari setiap bentuk-bentuk model program linier. Dengan mengenali sifat dari bentuk tersebut untuk memudahkan dalam penyelesaian selanjutnya. Untuk
tujuan ini akan dikemukakan 2 bentuk : 1.
Bentuk Standard
Bentuk ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier secara langsung. Karakteristik bentuk ini adalah :
a. Semua fungsi pembatas berbentuk persamaan, kecuali pembatas non
negatif bertanda ≥ 0.
b. Ruas kanan setiap fungsi pembatas adalah non-negatif.
c. Semua variabel adalah non-negatif.
d. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau minimisasi.
Untuk melakukan perubahan ke dalam bentuk standard, ada beberapa transformasi dasar yang harus dilakukan dan akan diuraikan sebagai berikut :
a. Minimasi suatu fungsi secara sistematis adalah ekivalen dengan
maksimisasi daripada negatif fungsi tersebut - .
Contoh : Minimasi adalah ekivalen dengan
Maksimasi
b. Suatu bentuk ketidaksamaan ≤ atau ≥ dapat diubah kedalam bentuk
ketidaksamaan dengan arah berlawanan dengan mengalikan -1. Contoh :
, ekivalen dengan
c. Suatu bentuk persamaan dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan dengan
arah berlawanan. Contoh :
ekivalen dengan
d. Suatu bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri adalah absolute, dapat diubah
menjadi 2 buah ketidaksamaan.
Universitas Sumatera Utara
Contoh : |
|
| |
e. Suatu variabel yang tidak diketahui tandanya bisa positif, nol atau negatif
adalah ekivalen dengan selisih antara 2 variabel non – negatif.
Contoh : tidak diketahui tandanya, maka dapat dinyatakan
sebagai adalah
Bentuk standard ini sangat berkaitan dengan penyelesaian persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks. Karena setiap persoalan program
linier yang akan dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks harus terlebih dahulu ke dalam bentuk standard.
Di samping kelima bentuk transformasi dasar yang telah diuraikan di atas diperlukan pula pengertian variabel Slack, Surplus, dan Artificial. Variabel-
variabel ini berfungsi untuk merubah ketidaksamaan dengan fungsi pembatas menjadi bentuk persamaan bentuk standard tanpa mempengaruhi fungsi
tujuannya.
2.
Bentuk Kanonik
Secara umum model program linier dalam bentuk kanonik dapat dinyatakan sebagai berikut :
Maksimasi : ∑
Fungsi Pembatas Kendala : ∑
untuk j = 1, 2, 3, …, n
Universitas Sumatera Utara
Karakteristik dari bentuk ini adalah : a.
Semua variabel adalah non-negatif. b.
Semua fungsi pembatas bertanda ≤. c.
Fungsi tujuan adalah maksimasi. Bentuk ini khususnya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier
dengan teori dualitas.
2.3.6 Variabel Slack dan Surplus
Kategori