2.1.1 Kombinasi Produksi Optimum
Pada dasarnya, tujuan utama suatu perusahaan didirikan adalah untuk melakukan kegiatan produksi barang atau jasa guna memperoleh laba atau keuntungan
maksimum. Tujuan utama tersebut seringkali sulit dicapai oleh perusahaan karena adanya keterbatasan dari ketersediaan faktor-faktor produksi sumber daya yang
dimiliki oleh perusahaan. Oleh karena itu pihak pengambil keputusan dalam suatu perusahaan perlu mempertimbangkan kombinasi produksi optimum yang akan dicapai
dari penggunaan faktor-faktor produksi tersebut guna menghasilkan laba atau keuntungan maksimum. Dalam rangka untuk menentukan kombinasi terbaik dari
setiap faktor produksi untuk menghasilkan output, produsen harus mengetahui jumlah faktor produksi dan sumberdaya yang terbatas sehingga kombinasi output dapat
dilakukan dan menghasilkan keuntungan. yang diharapkan tetapi harus
memperhatikan juga sumberdaya yang terbatas.
2.2 Optimalisasi
Optimalisasi dapat diartikan sebagai pencapaian keluaran tertentu dengan menggunakan masukan yang paling sedikit atau dengan kata lain proses yang secara
ekonomis paling efesien. Optimalisasi juga dapat diartikan sebagai pencapaian suatu keadaan yang terbaik. Apabila dikaitkan dengan produksi, maka pengertian
optimalisasi produksi berarti pencapaian suatu keadaan terbaik dalam kegiatan produksi.
Optimalisasi produksi
diperlukan perusahaan
dalam rangka
mengoptimalkan sumber daya yang digunakan agar suatu produksi dapat menghasilkan produk dalam kuantitas dan kualitas yang diharapkan, sehingga
perusahaan dapat mencapai tujuannya.
Secara umum persoalan optimalisasi meliputi optimalisasi tanpa kendala dan optimalisasi dengan kendala. Dalam optimalisasi tanpa kendala, faktor-faktor yang
menjadi kendala terhadap fungsi tujuan diabaikan sehingga dalam menentukan nilai maksimal dan minimal tidak terdapat batasan untuk berbagai pilihan yang tersedia.
Universitas Sumatera Utara
Pada optimalisasi dengan kendala, faktor-faktor yang menjadi kendala pada fungsi tujuan diperhatikan dan turut menentukan titik maksimum dan minimum fungsi
tujuan. Menurut Supranto 1988, persoalan optimalisasi dengan kendala pada dasarnya merupakan persoalan menentukan nilai variabel-variabel suatu fungsi
menjadi maksimum dan minimum dengan memperhatikan keterbatasan-keterbatasan yang ada. Keterbatasan itu biasanya meliputi semua faktor-faktor produksi yang sudah
pasti memiliki kapasitas terbatas tertentu seperti tenaga kerja, modal, dan bahan baku. Masalah optimalisasi dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu teknik
optimalisasi yaitu metode program linier. Metode program linier merupakan metode yang digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi berkendala dimana semua
fungsi baik fungsi tujuan maupun fungsi kendala merupakan fungsi linier.
2.3 Program Linier
2.3.1 Pengertian Program Linier
Program linier yang diterjemahkan dari Linear Programming LP ditemukan dan diperkenalkan pertamakali oleh George Dantzig yang berupa metode mencari solusi
masalah program linier dengan banyak variabel keputusan. Program linier adalah salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan persoalan optimisasi
maksimisasi atau minimisasi dengan menggunakan persamaan dan ketidaksamaan linier dalam rangka untuk mencari pemecahan yang optimum dengan memperhatikan
pembatasan-pembatasan yang ada Supranto, 1988.
Program linier merupakan salah satu teknik riset yang penggunaannya sangat meluas dan dapat digunakan untuk beragam persoalan kegiatan produksi. Pada
kegiatan produksi, hal yang dihadapai adalah pengalokasian sumberdaya-sumberdaya terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk
memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya padahal masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya
terbatas diantara berbagai alternatif penggunaan sumberdaya-sumberdaya tersebut.
Universitas Sumatera Utara
Program linier digunakan sehingga berbagai tujuan yang telah ditetapkan yaitu maksimasi laba atau minimisasi biaya dapat dicapai atau dioptimalkan.
Dalam memecahkan masalah program linier menggunakan model matematis. Linier yang berarti bahwa semua fungsi-fungsi matematis yang disajikan dalam model
haruslah fungsi-fungsi linier. Disebut ”linier” dalam program linier berarti hubungan-
hubungan antara faktor adalah bersifat linier atau konstan, atau fungsi-fungsi matematis yang disajikan dalam model haruslah fungsi-fungsi linier Handoko,
Subagyo dan Asri, 2000. Hubungan-hubungan linier berarti bahwa apabila satu faktor berubah maka suatu faktor lain juga berubah dan dengan jumlah yang konstan secara
proporsional.
Agar suatu persoalan dapat dipecahkan dengan teknik program linier harus memenuhi syarat berikut:
1. Harus dapat dirumuskan secara matematis.
2. Memiliki kriteria tujuan fungsi objektif yang linier.
3. Sumber daya yang tersedia sifatnya terbatas.
4. Semua variabel dalam model memiliki hubungan matematis bersifat linier.
5. Koefisien model diketahui dengan pasti.
6. Bilangan yang digunakan dapat bernilai bulat atau pecahan.
7. Semua variabel keputusan harus bernilai non-negatif.
2.3.2 Kelebihan dan Kekurangan Program Linier
Sebagai alat kuantitatif untuk melakukan pemrograman, program linier mempunyai beberapa kelebihan dan kekurangan. Kelebihan-kelebihan program linier yaitu :
1. Mudah dilaksanakan terutama jika menggunakan alat bantu komputer.
2. Dapat menggunakan banyak variabel sehingga berbagai kemungkinan untuk
memperoleh pemanfaatan sumberdaya yang optimal dapat dicapai. 3.
Fungsi tujuan dapat difleksibelkan sesuai dengan tujuan penelitian atau berdasarkan data yang tersedia.
Universitas Sumatera Utara
Kekurangan - kekurangan dari program linier yaitu : 1.
Apabila alat bantu komputer tidak tersedia, maka program linier dengan menggunakan banyak variabel akan menyulitkan analisisnya bahkan mungkin
tidak dapat dikerjakan secara manual. Metode ini tidak dapat digunakan secara bebas dalam setiap kondisi, tetapi dibatasi oleh asumsi-asumsi.
2. Metode ini hanya dapat digunakan untuk satu tujuan misalnya hanya untuk
maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya.
2.3.3 Asumsi dalam Model Program Linier
Agar program linier dapat diterapkan, asumsi-asumsi dasar berikut ini harus ditepati : 1.
Fungsi tujuan dan persamaan setiap batasan harus linier. Hal ini mencakup pengertian bahwa perubahan nilai-nilai dan penggunaan sumberdaya terjadi
secara proporsional dengan perubahan tingkat kegiatan. 2.
Parameter-parameter harus diketahui atau dapat diperkirakan dengan pasti. 3.
Variabel-variabel keputusan harus dapat dibagi. Hal ini berarti bahwa suatu penyelesaian feasible dapat berupa bilangan pecahan.
Dalam menggunakan model program linier diperlukan beberapa asumsi, untuk memudahkan perumusan model tanpa mengurangi kedekatannya dengan keadaan
nyata atau sebenarnya. Asumsi-asumsi yang digunakan sebagai berikut Handoko, Subagyo dan Asri, 2000 :
1. Asumsi Kesebandingan Proportionality
Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Nilai Tujuan dan penggunaan
sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding proportional dengan perubahan tingkat kegiatan.
a. Setiap penambahan 1 unit
akan menaikkan Z dengan . Setiap
penambahan 1 unit akan menaikkan nilai Z dengan
, dan seterusnya. b.
Setiap pertambahan 1 unit akan menaikkan penggunaan sumber atau
fasilitas 1 dengan . Setiap pertambahan 1 unit
akan menaikkan
Universitas Sumatera Utara
penggunaan sumber atau fasilitas 1 dengan , dan seterusnya. Dengan kata
lain, setiap ada kenaikan kapasitas rill tidak perlu ada biaya persiapan set up cost.
2. Asumsi Penambahan Additivity
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan
yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa
mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Asumsi Pembagian Divisibility
Asumsi ini menyatakan bahwa peubah - peubah pengambilan keputusan jika diperlukan dapat dibagi ke dalam nilai - nilai
tidak perlu integer hanya 0 dan 1 atau bilangan bulat, tetapi boleh non integer pecahan
– pecahan. Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran output yang dihasilkan oleh setiap
kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai yang
dihasilkan.
4. Asumsi Kepastian Deterministic Certainty
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model program linier
, ,
tetap, dapat diketahui, dan dapat diperkirakan secara pasti, meskipun jarang dengan tepat.
Persoalan dalam program linier berusaha untuk mencari pemecahan optimal di dalam batasan sumberdaya yang ada pada suatu perusahaan. Sebuah perusahaan yang
cukup besar akan berhadapan dengan batasan, baik berupa batasan dari input tertentu, batasan kapasitas, batasan berupa modal, jam kerja mesin, tenaga kerja, dan lain
sebagainya.
Universitas Sumatera Utara
2.3.4 Fungsi dalam Program Linier
Pada program linier terdapat dua macam fungsi, antara lain : 1.
Fungsi Tujuan Objective Function Fungsi tujuan dalah fungsi yang menggambarkan tujuan atau sasaran di dalam
permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumberdaya-sumberdaya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya
minimal.
2. Fungsi Pembatas Constraint Function
Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai
kegiatan.
2.3.5 Formulasi Matematika Program Linier
Secara matematika, persoalan program linier ini dapat diformulasikan sebagai berikut: 1.
Memaksimumkan meminimumkan fungsi tujuan : ∑
2. Dengan fungsi-fungsi pembatas linier :
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Dapat disederhanakan menjadi : ∑
Universitas Sumatera Utara
Keterangan : Z
= Fungsi tujuan. = variabel keputusan atau kegiatan ke-j.
= Nilai kontribusi dari variabel keputusan j. = koefisien teknis dalam kendala ke-m pada aktivitas ke-i.
= sumberdaya yang terbatas konstanta dari kendala ke-i.
3. Dengan pembatas non-negatif
, untuk j = 1, 2, 3, …, n untuk i = 1, 2, 3, …, m
4. ,
, adalah konstanta yang diketahui harganya.
Dapat pula persamaan atau ketidaksamaan linier ini dinyatakan sebagai perkalian matriks A m x r dengan matriks kolom X r x l yang hasilnya adalah
suatu kolom B m x l . [
] [ ] [
]
Sebelum model program linier ini digunakan, maka satu hal yang perlu diperhatikan adalah masalah kelinieran fungsi-fungsi tujuan dan fungsi pembatas yang digunakan.
Secara umum, kelinieran dapat digolongkan ke dalam dua sifat, yaitu : 1.
Sifat menambahkan Contohnya adalah bila untuk membuat produk 1 pada mesin A diperlukan
waktu jam dan untuk membuat produk 2 pada mesin A diperlukan waktu
jam, maka untuk membuat produk 1 dan 2 pada mesin A diperlukan waktu +
jam.
2. Sifat Mengalikan
Contohnya adalah bila untuk membuat 1 buah produk pada mesin A diperlukan waktu 1 jam, maka untuk membuat 10 buah produk diperlukan waktu 10 jam.
Universitas Sumatera Utara
Karena model program linier disajikan dalam berbagai variasi, yaitu fungsi tujuan yang dapat berupa maksimisasi atau minimimasi, dan fungsi-fungsi pembatas
yang dapat berbentuk dan atau , maka perlu diadakan pengenalan terhadap
sifat-sifat dari setiap bentuk-bentuk model program linier. Dengan mengenali sifat dari bentuk tersebut untuk memudahkan dalam penyelesaian selanjutnya. Untuk
tujuan ini akan dikemukakan 2 bentuk : 1.
Bentuk Standard
Bentuk ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier secara langsung. Karakteristik bentuk ini adalah :
a. Semua fungsi pembatas berbentuk persamaan, kecuali pembatas non
negatif bertanda ≥ 0.
b. Ruas kanan setiap fungsi pembatas adalah non-negatif.
c. Semua variabel adalah non-negatif.
d. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau minimisasi.
Untuk melakukan perubahan ke dalam bentuk standard, ada beberapa transformasi dasar yang harus dilakukan dan akan diuraikan sebagai berikut :
a. Minimasi suatu fungsi secara sistematis adalah ekivalen dengan
maksimisasi daripada negatif fungsi tersebut - .
Contoh : Minimasi adalah ekivalen dengan
Maksimasi
b. Suatu bentuk ketidaksamaan ≤ atau ≥ dapat diubah kedalam bentuk
ketidaksamaan dengan arah berlawanan dengan mengalikan -1. Contoh :
, ekivalen dengan
c. Suatu bentuk persamaan dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan dengan
arah berlawanan. Contoh :
ekivalen dengan
d. Suatu bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri adalah absolute, dapat diubah
menjadi 2 buah ketidaksamaan.
Universitas Sumatera Utara
Contoh : |
|
| |
e. Suatu variabel yang tidak diketahui tandanya bisa positif, nol atau negatif
adalah ekivalen dengan selisih antara 2 variabel non – negatif.
Contoh : tidak diketahui tandanya, maka dapat dinyatakan
sebagai adalah
Bentuk standard ini sangat berkaitan dengan penyelesaian persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks. Karena setiap persoalan program
linier yang akan dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks harus terlebih dahulu ke dalam bentuk standard.
Di samping kelima bentuk transformasi dasar yang telah diuraikan di atas diperlukan pula pengertian variabel Slack, Surplus, dan Artificial. Variabel-
variabel ini berfungsi untuk merubah ketidaksamaan dengan fungsi pembatas menjadi bentuk persamaan bentuk standard tanpa mempengaruhi fungsi
tujuannya.
2.
Bentuk Kanonik
Secara umum model program linier dalam bentuk kanonik dapat dinyatakan sebagai berikut :
Maksimasi : ∑
Fungsi Pembatas Kendala : ∑
untuk j = 1, 2, 3, …, n
Universitas Sumatera Utara
Karakteristik dari bentuk ini adalah : a.
Semua variabel adalah non-negatif. b.
Semua fungsi pembatas bertanda ≤. c.
Fungsi tujuan adalah maksimasi. Bentuk ini khususnya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier
dengan teori dualitas.
2.3.6 Variabel Slack dan Surplus
Fungsi Pembatas dalam bentuk dapat dirubah ke dalam persamaan dengan
menambahkan variabel baru non-negatif di ruas kiri pertidaksamaan sedemikian hingga variabel baru tersebut secara numerik sama dengan selisih diantara ruas kanan
dan ruas kiri pertidaksamaan. Misalnya diketahui pada persoalan program linier bahwa salah satu fungsi pembatas ke h adalah
∑ . Selanjutnya akan
ditentukan suatu variabel dimana memenuhi hubungan
∑ .
ini disebut variabel slack karena dapat dianggap sebagai
batas maksimum daripada sumber yang tersedia, sedangkan ∑
adalah pemakaian yang sebenarnya daripada sumber tersebut. Perbedaan antara sumber yang
tersedia dan yang dipakai ini adalah slack. Persamaan tersebut dapat ditulis :
∑ . Jadi dengan menambahkan variabel slack
, maka bentuk ketidaksamaan pada fungsi pembatas ke h dapat dirubah menjadi bentuk
persamaan.
Selanjutnya akan dilihat suatu bentuk ketidaksamaan dengan tanda .
Misalnya diketahui pada suatu persoalan program linier, bahwa salah satu fungsi pembatas ke k adalah
∑ . Kemudian tentukan suatu variabel tertentu
, dimana memenuhi hubungan ∑
ini disebut variabel surplus karena
dapat dianggap sebagai salah satu jumlah minimum produk yang harus dibuat dan
∑ adalah jumlah produk yang sebenarnya dibuat.
Perbedaan antara jumlah produk yang sebenarnya dibuat dengan yang seharusnya dibuat adalah surplus, persamaan tersebut dapat ditulis :
∑ .
Universitas Sumatera Utara
2.3.7 Variabel Artificial
Untuk dapat memecahkan persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks harus ada 1 variabel - variabel basis dalam fungsi-fungsi pembatas untuk
memperoleh solusi basis awal yang feasible. Untuk fungsi-fungsi pembatas dengan
tanda
, maka variabel basis dapat diperoleh dengan menambah variabel slack. Tetapi
bila fungsi pembatas mempunyai bentuk ketidaksamaan dengan tanda
, maka
variabel slack yang bersangkutan bertanda “ negatif ”.
Misalnya : diubah menjadi bentuk persamaan :
Demikian pula bila fungsi pembatas berbentuk persamaan, maka tidak selalu dapat diperoleh variabel basis.
Untuk mengatasi kesulitan memperoleh variabel basis tersebut, dapat ditambahkan suatu variabel khayal, yang disebut variabel artifical. Variabel artificial
ini mempunyai suatu koefisien fungsi tujuan yang sangat besar. Harga koefisien ini dapat positif maupun negatif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimisasi atau
minimisasi. Bila dinyatakan dengan notasi, maka koefisien variabel artifical pada fungsi tujuan adalah :
untuk maksimisasi. untuk minimisasi.
M adalah bilangan positif sangat besar, dan adalah koefisien fungsi tujuan untuk
variabel artifical .
2.3.8 Metode Simpleks
Persoalan program linier yang dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks haruslah persoalan yang telah diubah kedalam bentuk standard dan mempunyai
variabel basis, baik sebagai variabel slack ataupun variabel artificial .
Universitas Sumatera Utara
Dalam bentuk matematis, persolan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Fungsi Tujuan
Maksimisasi minimisasi :
∑
2. Fungsi Pembatas
Untuk lebih jelasnya, maka fungsi pembatas akan diuraikandijelaskan dalam bentuk perkalian matriks. Fungsi pembatas dalam bentuk perkalian matriks
adalah :
[ ]
[ ]
[ ]
Keterangan : = Koefisien fungsi tujuan untuk variabel ke-j
= Koefisien fungsi tujuan pembatas ke-i untuk variabel ke-j m
= Jumlah fungsi pembatas r
= Jumlah variabel asli = Harga ruas kanan fungsi pembatas ke-i dan
[ ]
Matriks Satuan
Selanjutnya akan dijelaskan prosedur iterasi metode simpleks untuk memperoleh solusi optimal yang feasible. Untuk memudahkan dalam penjelasan ini, maka
digunakan tabel iterasi simpleks.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.1 Iterasi Simpleks
. .
. .
. .
Keterangan : = Variabel basis untuk fungsi pembatas ke-i
= Koefisien fungsi tujuan variabel ke = Variabel-variabel asli
= Variabel-variabel basis awal
∑ Untuk melakukan iterasi metode simpleks ini, ada 3 langkah yang perlu dilakukan,
yaitu : 1.
Mencari variabel yang akan menjadi variabel basis yang baru.
2. Mencari variabel basis yang lama
yang akan diganti. 3.
Menyusun tabel baru dengan menghitung harga dan
yang baru.
Universitas Sumatera Utara
Ketiga langkah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut : 1.
Mencari variabel yang akan menjadi variabel basis yang baru, dengan cara :
a. Menghitung harga
untuk j = 1, 2 , … , r + m b.
Jika ada satu atau lebih harga , maka variabel dengan harga
negatif terbesar adalah sebagai variabel basis yang terbaru. c.
Bila semua harga , maka iterasi telah mencapai kondisi optimal
dan perhitungan dihentikan sampai disini. d.
Bila adalah negatif terbesar, dan
untuk setiap i = 1, … ,m maka solusi yang diperoleh adalah unbounded. Apabila
untuk paling sedikit harga 1, maka iterasi dilanjutkan dengan terlebih dahulu
mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru .
2. Mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru
. a.
Hitung harga , i = 1, 2,...,m
b. Varibel basis lama yang akan digantikan adalah variabel basis dengan
harga positif terkecil misalkan
= 1. 3.
Menyusun tabel simpleks yang baru dengan adalah variabel basis baru yang
menggantikan . Transformasi yang akan dilakukan adalah :
a. b.
c. Ketiga langkah ini diulang terus untuk setiap iterasi sampai diperoleh harga
semuanya positif untuk j = 1,2, … , r + m yang berarti bahwa solusi yang diperoleh telah optimum yaitu fungsi tujuan adalah maksimum.
Contoh penggunaan metode simpleks:
Maksimum
Kendala :
Universitas Sumatera Utara
Penyelesaian:
Ubah kedalam bentuk Standar : Maksimum
Kendala :
Iterasi 0 Basis C
3 5
4 B
1 2
3 1
10 2
3 1
1 16
3 2
1 1
20 -3
-5 -4
01 Keterangan :
Pada baris
: -5 adalah yang paling minimum, maka masuk dalam
basis.
{
}
Baris pivot adalah baris
dikalikan .
Baris
yang baru adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 1 Basis C
3 5
4 B
5 0,5
1 1,5
0,5 5
0,5 -3,5
-1,5 1
1 2
-2 -1
1 10
-0,5 3,5
2,5 25
Keterangan : Pada baris
: -0,5 adalah yang paling minimum, maka masuk dalam
basis.
{
}
Baris pivot adalah baris
dikalikan
. Baris
yang baru adalah baris
Baris
yang baru adalah baris
Iterasi 2 Basis C
3 5
4 B
5 1
5 2
-1 4
3 1
-7 -3
2 2
12 5
-4 1
6 4
1 1
26
Karena baris , maka perosoalan telah optimal dengan :
Untuk
Universitas Sumatera Utara
2.4 Teori Dualitas
Teori Dualitas merupakan salah satu konsep program linier yang penting dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang melatarbelakangi teori ini adalah
bahwa setiap persoalan program linier mempunyai suatu program linier lain yang saling berkaitan yang disebut dual, sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula
yang disebut primal juga member solusi pada dualnya.
2.4.1 Analisis Primal
Dalam program linier, masalah yang dikemukakan mula-mula disebut sebagai masalah primal. Solusi optimal masalah primal ini menunjukkan nilai dari variabel-
variabel keputusan yang memaksimumkan atau meminimumkan nilai dari fungsi tujuan. Analisis primal digunakan untuk mengetahui dan menentukan kombinasi
produksi terbaik yang dapat menghasilkan tujuan dengan keterbatasan sumberdaya yang ada. Maka dari itu, akan diperoleh diperoleh berapa jumlah setiap variabel
keputusan yang akan diproduksi dan dapat memaksimumkan nilai fungsi tujuan
dengan dihadapkan pada sumberdaya yang ada. Hasil analisis primal akan dibandingkan dengan tingkat kombinasi produk aktual perusahaan, sehingga dapat
diketahui apakah perusahaan sudah melakukan kombinasi produk pada tingkat yang optimal Taha, 1996.
2.4.2 Analisis Dual
Analisis dual dilakukan unuk mengetahui penilaian terhadap sumberdaya dengan melihat kekurangan slack atau kelebihan surplus dan nilai dualnya. Slack atau
surplus digunakan untuk menandai sisa atau kelebihan kapasitas yang akan terjadi pada variabel optimal. Variabel slack
akan berkaitan dengan batasan dan mewakili jumlah kelebihan ruas kanan dari batasan tersebut dibandingkan ruas kiri.
Variabel surplus diidentifikasikan dengan batasan dan mewakili kelebihan ruas
kiri dibandingkan ruas kanan. Nilai dual price menunjukkan perubahan yang akan
Universitas Sumatera Utara
terjadi pada fungsi tujuan apabila sumberdaya berubah sebesar satu satuan. Jika sumberdaya yang digunakan memiliki nilai slack atau surplus yang sama dengan nol
dan nilai dual nya lebih besar dari nol menunjukkan bahwa seluruh kapasitas pada kendala dipergunakan semua atau sumberdaya tersebut merupakan sumberdaya
langka atau kendala aktif yang membatasi nilai tujuan. Sedangkan jika sumberdaya yang digunakan memiliki nilai slack atau surplus lebih besar nol dan nilai dualnya
sama dengan nol, berarti sumberdaya tersebut merupakan sumberdaya yang lebih. Kendala tersebut termasuk ke dalam kendala tidak aktif, yaitu kendala yang tidak
habis terpakai dalam proses produksi dan tidak akan mempengaruhi fungsi tujuan jika terjadi penambahan sebesar satu satuan. Nilai dual juga dapat dilihat berdasarkan
harga bayangan shadow price yaitu batas harga tertinggi suatu sumberdaya yang membuat perusahaan masih dapat melakukan pembelian Taha, 1996.
2.4.3 Model Umum Persoalan Primal dan Dual
Bentuk Primal : Maksimukan
: ∑
Kendala: ∑
Bentuk Dual : Minimumkan
: ∑
Kendala: ∑
Universitas Sumatera Utara
Dinyatakan bahwa ∑
adalah sama dengan ∑
Contoh:
Bentuk Primal Maksimumkan
: Kendala
:
Bentuk Dual Minimumkan
: Kendala
:
2.4.4 Hubungan Antara Primal Dual
Setiap permasalahan dalam program linier terdiri atas dua bentuk. Bentuk pertama atau asli dinamakan primal, sementara bentuk kedua yang berhubungan dinamakan
dual, sehingga suatu solusi terhadap program linier yang asli juga memberikan solusi pada bentuk dualnya.
Hubungan antara model program linier primal dan dual bersifat konversi. Hubungan antara program linier primal dan dual dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 2.2 Hubungan antara Program Linier Primal dan Dual
No. Item
Model Primal
Dual 1
Fungsi tujuan Memaksimalkan
Meminimalkan Meminimalkan
Memaksimalkan
Universitas Sumatera Utara
2 Jumlah variabel
Jumlah variabel keputusan Jumlah kendala model
3 Jumlah kendala
Jumlah kendala model Jumlah variabel
keputusan 4
Koefisien fungsi tujuan
Nilai kontribusi fungsi tujuan Nilai ruas kanan kendala
5 Sumber daya
tersedia Nilai ruas kanan kendala
Nilai kontribusi fungsi tujuan
6 Koefisien Matrik
Koefisien teknologi Koefisien teknologi yang
diubah
7 Tanda
ketidaksamaan
Hubungan antara primal dengan dual sebagai berikut : 1.
Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual, sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual.
2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual, dan untuk setiap variabel
primal ada satu pembatas dual. 3.
Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya. 4.
Fungsi tujuan berubah bentuk maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya. 5.
Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris pembatas pada dual.
6. Setiap baris pembatas pada primal berkorespondensi dengan kolom pada
dual. 7.
Dual dari dual adalah primal.
Universitas Sumatera Utara
2.5 Analisis Sensitivitas
Analisis sensitivitas terdiri atas dua tipe, yaitu analisis perubahan nilai koefisien dari fungsi tujuan dan analisis ruas kanan dari fungsi tujuan Right Hand Side. Analisis
perubahan koefisien fungsi tujuan dilakukan untuk mengetahui efek perubahan tanpa mengubah solusi optimal dengan parameter lain dipertahankan konstan. Tujuan dari
analisis Right Hand Side RHS adalah untuk menentukan berapa banyak nilai ruas kanan dari fungsi kendala
dapat ditingkatkan atau diturunkan tanpa mengubah nilai shadow price-nya dengan parameter lain dipertahankan konstan.
Analisis sensitivitas berguna untuk mengetahui seberapa jauh solusi optimal awal tidak akan berubah jika terjadi perubahan pada harga jual setiap produk, biaya
per satuan produk, dan ketersediaan sumberdaya yang dimiliki. Apabila perubahan- perubahan yang terjadi masih dalam selang yang diperbolehkan, maka solusi optimal
awal tidak akan berubah. Selang dalam program linier terdiri atas batas penurunan allowable decrease dan batas peningkatan allowable increase. Batas penurunan
memperlihatkan besarnya nilai penurunan parameter fungsi tujuan atau nilai penurunan ketersediaan sumberdaya yang tidak mengubah solusi optimal awal. Batas
atas memperlihatkan nilai peningkatan yang tidak akan mengubah solusi optimal awal. Solusi awal akan berubah apabila perubahan yang terjadi di luar selang
perubahan yang diperbolehkan Taha, 1996.
2.6 LINDO Linear Interactive Discrete Optimizer
Kategori