35 ,
= −
; ≤ −
; 2.36
Oleh karena tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap , ini
disebut masalah nilai batas bebas free buondary-value problem, sehingga ketika nilai
, = − , serta
harus memenuhi 2.33 sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi:
+ +
− , =
− . 2.37
Pada saat , nilai , − , serta
harus memenuhi 2.34, sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi:
+ +
− = 0
, − . 2.38
Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika adalah sebagai berikut:
Untuk +
+ −
, = − .
Untuk
ᶤ
+ +
− = 0
, − . Syarat batas
lim
→
, = 0 lim
→
, = dan
Syarat akhir , = − .
2.39 [Pauly 2004]
Untuk harga saham menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi:
lim
→∞
maks{0, − } = 0 Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena
tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham yang
semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat
menuju tak hingga. Maka, nilai opsi put
harus memenuhi: lim
→∞
, = 0
36 Kemudian jika
= 0, maka nilai intrinsiknya maks{0, − } akan bernilai
. Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi. Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi put harus sama dengan nilai
intrinsiknya, sehingga nilai opsi put adalah: 0, =
.
2.11 Martingale
Misalkan proses stokastik dengan ∈[0, ] didefinisikan pada ruang
probabilitas Ω , , . Misalkan { , ∈[0,∞ ]} menyatakan kumpulan
informasi yang disebut filtrasi. Jika nilai termasuk dalam himpunan
untuk ∀ ≥ 0, maka dapat dikatakan bahwa
adalah −
. Dengan kata lain, nilai akan diketahui dengan diberikan himpunan informasi
.
Definisi 9. Martingale
Proses stokastik { , ∈[0, ∞ ]} dikatakan martingale yang berdasarkan filtrasi
dan peluang , jika untuk ∀ ≥ 0,
i. diketahui, dengan diberikan filtrasi
adalah −
. ii.
| | ∞ iii.
[ ] = [ | ] = untuk ∀ , dengan peluang 1. [Neftci 2000]
37
BAB III PENILAIAN OPSI PUT AMERIKA
Pada bab ini akan disajikan rumusan mengenai penilaian opsi put Amerika. Pada bagian pertama diberikan beberapa asumsi untuk penilaian opsi
Amerika. Bentuk nilai intrinsik opsi put Amerika dibahas di bagian kedua. Kemudian di bagian ketiga akan disajikan formulasi dekomposisi nilai opsi put
Amerika, dengan nilai batas atas dan batas bawah opsi put Amerika diberikan pada bagian keempat.
3.1 Asumsi-asumsi
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam penilaian opsi put Amerika, antara lain:
1. Tingkat suku bunga bebas risiko dan bernilai konstan. 2. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah suatu
peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko. 3. Model pasar sempurna, tidak ada biaya transaksi jual atau beli pada saham
atau opsi. 4. Perubahan harga saham mengikuti model gerak Brown.
5. Sebaran harga saham adalah lognormal dan ragam adalah konstan. 6. Tidak ada pembayaran dividen atas saham.
3.2 Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika
Opsi Amerika yang memiliki waktu jatuh tempo pada waktu , memiliki
nilai opsi bukan hanya ditentukan pada saat waktu jatuh tempo seperti pada opsi
Eropa. Karena dalam kontrak opsi Amerika terdapat keleluasaan dalam waktu mengeksekusi sehingga opsi dapat dieksekusi kapan saja sejak kontrak dibuat
sampai dengan waktu jatuh tempo. Oleh karena hal ini, penentuan nilai opsi Amerika menjadi hal menarik yang hingga saat ini masih banyak diteliti oleh para
peneliti terdahulu.
