34 pendapatan tidak lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu,
sehingga ≤
= −
. Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan
mengeksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang dari return tanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan:
+ ≤
− ,
atau +
+ −
≤ 0. 2.32
Pertidaksamaan 2.32 adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Amerika. Pertidaksamaan 2.32 dapat dinyatakan sebagai berikut :
+ +
− 2.33
+ +
− = 0.
2.34 Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka diberikan nilai batas untuk
menentukan nilai opsi put Amerika.
2.10 Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika
Kondisi batas bawah untuk opsi put Amerika adalah , ≥ − , ∀ , .
2.35 Hal ini dengan alasan sebagai berikut: jika
0 = =
− seseorang dapat
membeli opsi put P, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian ia memperoleh pendapatan tidak
berisiko sebesar − −
0. Oleh karena Black-Scholes dengan asumsi tidak terjadi kesempatan arbitrase, maka 2.35 adalah kendala yang benar untuk opsi
put Amerika.
Misalkan menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi
akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan . Jika
≤ maka opsi akan dieksekusi, namun jika
opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian 2.35 dapat dinyatakan dengan:
35 ,
= −
; ≤ −
; 2.36
Oleh karena tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap , ini
disebut masalah nilai batas bebas free buondary-value problem, sehingga ketika nilai
, = − , serta
harus memenuhi 2.33 sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi:
+ +
− , =
− . 2.37
Pada saat , nilai , − , serta
harus memenuhi 2.34, sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi:
+ +
− = 0
, − . 2.38
Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika adalah sebagai berikut:
Untuk +
+ −
, = − .
Untuk
ᶤ
+ +
− = 0
, − . Syarat batas
lim
→
, = 0 lim
→
, = dan
Syarat akhir , = − .
2.39 [Pauly 2004]
Untuk harga saham menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi:
lim
→∞
maks{0, − } = 0 Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena
tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham yang
semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat
menuju tak hingga. Maka, nilai opsi put
harus memenuhi: lim
→∞
, = 0
