Persamaan Black-Scholes Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo
25 3. Untuk setiap t 0, Xt berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi
σ
2
t .
[Ross 1996]
Definisi 3 Gerak Brown Geometris
Jika { , 0} adalah gerak Brown, maka proses stokastik { , ≥ 0} yang
didefinisikan =
disebut gerak Brown Geometris. [Ross 1996]
Definisi 4 Proses Wiener
Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1. [Niwiga 2005]
Definisi 5 Proses Wiener Umum
Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut :
dX t = adt + bdWt.
2.1 adt
disebut komponen deterministik dan bdWt menyatakan komponen stokastik, serta Wt adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan
rataan dan standar deviasi dari X. [Hull 2006]
Definisi 6 Proses Itô
Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Itô dapat dinyatakan
sebagai berikut : dX
t = aXt,tdt + bXt,tdWt. 2.2
[Hull 2006]
Lema Itô
Misalkan proses Xt memenuhi 2.2 dan fungsi = , adalah
kontinu serta turunan , , , ,
, kontinu, maka = , memenuhi persamaan berikut :
26 = +
+ +
2.3 dengan
= ,
= ,
= , dan
adalah proses Wiener sama seperti persamaan 2.2.
mengikuti proses Itô, dengan drift rate +
+ 1
2 dan variance rate
. [Hull 2006]
Definisi 8 Model Harga Saham
Jika S harga saham pada waktu t, μ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan σ volatilitas harga
saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu : =
+ .
2.4 [Hull 2006]
Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black-Scholes. Misalnya
mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan 2.1. Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi 2.2. Selanjutnya akan
ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalnya
adalah harga saham pada waktu t.
Mengingat proses Itô, perubahan akan memiliki nilai harapan drif rate µ .
Parameter µ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan µ disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh
faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah ,dengan
menyatakan volatilitas harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk 2.4.
Dengan 2.4 ini, dapat diterapkan Lemma Itô untuk suatu fungsi , ,
yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh: =
+ +
+ .
2.5
27 Untuk
menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli
satu opsi dan menjual saham. Misalnya π adalah nilai portofolio yang
dimaksud, maka =
− .
2.6 Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai
= −
. 2.7
Dengan menyubstitusikan 2.4 dan 2.5 ke dalam 2.7 diperoleh =
+ .
2.8 Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1
Tingkat pengembalian return dari investasi sebesar π pada saham takberisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt dalam selang waktu dt,
dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari 2.8, yaitu :
= +
. 2.9
Substitusi 2.6 ke dalam 2.9, menghasilkan −
= +
+ +
− = 0
2.10 Persamaan 2.10 ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Merton.