Persamaan Black-Scholes Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo

25 3. Untuk setiap t 0, Xt berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi σ 2 t . [Ross 1996] Definisi 3 Gerak Brown Geometris Jika { , 0} adalah gerak Brown, maka proses stokastik { , ≥ 0} yang didefinisikan = disebut gerak Brown Geometris. [Ross 1996] Definisi 4 Proses Wiener Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1. [Niwiga 2005] Definisi 5 Proses Wiener Umum Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut : dX t = adt + bdWt. 2.1 adt disebut komponen deterministik dan bdWt menyatakan komponen stokastik, serta Wt adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan rataan dan standar deviasi dari X. [Hull 2006] Definisi 6 Proses Itô Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut : dX t = aXt,tdt + bXt,tdWt. 2.2 [Hull 2006] Lema Itô Misalkan proses Xt memenuhi 2.2 dan fungsi = , adalah kontinu serta turunan , , , , , kontinu, maka = , memenuhi persamaan berikut : 26 = + + + 2.3 dengan = , = , = , dan adalah proses Wiener sama seperti persamaan 2.2. mengikuti proses Itô, dengan drift rate + + 1 2 dan variance rate . [Hull 2006] Definisi 8 Model Harga Saham Jika S harga saham pada waktu t, μ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan σ volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu : = + . 2.4 [Hull 2006] Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black-Scholes. Misalnya mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan 2.1. Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi 2.2. Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalnya adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Itô, perubahan akan memiliki nilai harapan drif rate µ . Parameter µ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan µ disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah ,dengan menyatakan volatilitas harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk 2.4. Dengan 2.4 ini, dapat diterapkan Lemma Itô untuk suatu fungsi , , yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh: = + + + . 2.5 27 Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan menjual saham. Misalnya π adalah nilai portofolio yang dimaksud, maka = − . 2.6 Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai = − . 2.7 Dengan menyubstitusikan 2.4 dan 2.5 ke dalam 2.7 diperoleh = + . 2.8 Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1 Tingkat pengembalian return dari investasi sebesar π pada saham takberisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt dalam selang waktu dt, dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari 2.8, yaitu : = + . 2.9 Substitusi 2.6 ke dalam 2.9, menghasilkan − = + + + − = 0 2.10 Persamaan 2.10 ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Merton.

2.7 Formulasi Harga Black-Scholes

Hull 2006 menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-Scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi call Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah [maks − , 0] 2.11 28 Didefinisikan adalah fungsi kepekatan peluang dari , maka [maks − , 0] = ∫ − ∞ . 2.12 Misalkan = ln , maka = , = − , dan = 0. Berdasarkan Lemma Itô diperoleh = + 0 − + = − + . Oleh karena µ dan σ konstan maka = ln mengikuti gerak Brown dengan rataan − dan varian . Berdasarkan 2.3, merupakan tingkat keuntungan return dari harga saham. Bentuk keuntungan dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari keuntungan yang bersifat deterministik adalah keuntungan dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta µ dapat diganti dengan r. Karena = ln berubah dari 0 sampai dengan T dan = ln mengikuti gerak Brown, maka ln berdistribusi normal dengan rataan − dan variansi . Misalkan pada waktu = 0 nilai = ln dan pada waktu T nilai = ln , maka pada selang waktu = 0 sampai dengan T, ln − ln adalah berdistribusi normal dengan rataan dan variansi di atas, sehingga diperoleh: ln − ln ~ − , √ , atau dapat dituliskan ln berdistribusi normal dengan ln ~ ln + − , √ . Dengan demikian ln , berdistribusi normal dengan rataan = ln + − , 2.13 dan standar deviasi = √ .