Faktor-Faktor yang Memengaruhi Harga Opsi Persamaan Black-Scholes
28 Didefinisikan
adalah fungsi kepekatan peluang dari , maka
[maks − , 0] = ∫
−
∞
. 2.12
Misalkan = ln , maka
= , = − , dan
= 0. Berdasarkan Lemma Itô diperoleh
= + 0 −
+ =
− +
. Oleh karena µ dan σ konstan maka
= ln mengikuti gerak Brown dengan
rataan −
dan varian .
Berdasarkan 2.3, merupakan tingkat keuntungan return dari harga
saham. Bentuk keuntungan dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari keuntungan yang bersifat
deterministik adalah keuntungan dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga
saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta µ dapat diganti dengan r. Karena
= ln berubah dari 0 sampai dengan T dan = ln
mengikuti gerak Brown, maka ln
berdistribusi normal dengan rataan −
dan variansi .
Misalkan pada waktu = 0 nilai
= ln dan pada waktu T nilai
= ln , maka pada selang waktu
= 0 sampai dengan T, ln − ln
adalah berdistribusi normal dengan rataan dan variansi di atas, sehingga diperoleh:
ln − ln ~
− , √ ,
atau dapat dituliskan ln
berdistribusi normal dengan ln
~ ln
+ −
, √ . Dengan demikian
ln , berdistribusi normal dengan rataan
= ln +
− ,
2.13 dan standar deviasi
= √ .
29 Selanjutnya didefinisikan pula sebuah peubah
dengan =
√
. 2.14
Substitusi m dari 2.13 ke dalam 2.14 diperoleh =
√
ln − ln −
√
− ,
maka peubah juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1,
dan fungsi kepekatan peluang dari dinyatakan dengan
ℎ , yaitu ℎ =
√
. 2.15
Bukti berdasarkan Buchanan 2006 dapat dilihat pada Lampiran 2 Persamaan 2.14 diubah menjadi
=
√
. 2.16
Perubahan batas integral pada sisi kanan dari 2.12, dari integral menurut menjadi integral menurut
, adalah sebagai berikut: Jika
= ∞, maka = ∞.
Jika =
maka =
√
sehingga =
√
. Dengan menggunakan 2.15, 2.16, dan perubahan batas integral serta
misalkan = √ , maka 2.12 menjadi:
[maks − , 0] =
− ℎ
∞
= ℎ
∞
− ℎ
∞
= 1
√2
∞
− ℎ
∞
= 1
√2
∞
− ℎ
∞
= 1
√2
∞
− ℎ
∞
30 =
1 √2
∞
− ℎ
∞
= ℎ −
∞
− ℎ
∞
sehingga 2.12 dapat dinyatakan dengan [maks
− , 0] = ∫ ℎ −
∞
− ∫ ℎ
∞
. 2.17
Jika didefinisikan sebagai suatu fungsi berdistribusi normal
kumulatif, maka ∫
ℎ −
∞
= 1 − [ln − − ]
= [− ln + + ] .
Peubah pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku pertama di atas
disubstitusi dengan 2.13 dan = √ , maka diperoleh
ℎ −
∞
= − ln + ln
+ −
2 √ + √
= ln +
− +
√ √
= ln +
+ √
= ,
dengan = ln +
+ √ .
31 Dengan alasan yang serupa seperti di atas, maka
∫ ℎ
∞
= 1 −
= .
2.18 Dengan menyubstitusikan m dan s pada 2.13 ke dalam 2.18 diperoleh
∫ ℎ
∞
= − ln + ln
+ −
√ =
ln + −
√ =
, dengan
= ln + −
̒ √ , sehingga 2.12 menjadi
[maks − , 0] =
− =
− =
− .
2.19 Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa
yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai
= [maks
− , 0]. 2.20
Dengan substitusi 2.19 ke dalam 2.20 diperoleh formula Black-Scholes untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan deviden pada saat kontrak opsi dibuat,
yaitu =
− ,
2.21 dan dengan put-call-parity diperoleh harga opsi put Eropa
= − −
− , dengan
= ln + +
√ dan =
√
= − √ .
32