Faktor-Faktor yang Memengaruhi Harga Opsi Persamaan Black-Scholes

28 Didefinisikan adalah fungsi kepekatan peluang dari , maka [maks − , 0] = ∫ − ∞ . 2.12 Misalkan = ln , maka = , = − , dan = 0. Berdasarkan Lemma Itô diperoleh = + 0 − + = − + . Oleh karena µ dan σ konstan maka = ln mengikuti gerak Brown dengan rataan − dan varian . Berdasarkan 2.3, merupakan tingkat keuntungan return dari harga saham. Bentuk keuntungan dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari keuntungan yang bersifat deterministik adalah keuntungan dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta µ dapat diganti dengan r. Karena = ln berubah dari 0 sampai dengan T dan = ln mengikuti gerak Brown, maka ln berdistribusi normal dengan rataan − dan variansi . Misalkan pada waktu = 0 nilai = ln dan pada waktu T nilai = ln , maka pada selang waktu = 0 sampai dengan T, ln − ln adalah berdistribusi normal dengan rataan dan variansi di atas, sehingga diperoleh: ln − ln ~ − , √ , atau dapat dituliskan ln berdistribusi normal dengan ln ~ ln + − , √ . Dengan demikian ln , berdistribusi normal dengan rataan = ln + − , 2.13 dan standar deviasi = √ . 29 Selanjutnya didefinisikan pula sebuah peubah dengan = √ . 2.14 Substitusi m dari 2.13 ke dalam 2.14 diperoleh = √ ln − ln − √ − , maka peubah juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari dinyatakan dengan ℎ , yaitu ℎ = √ . 2.15 Bukti berdasarkan Buchanan 2006 dapat dilihat pada Lampiran 2 Persamaan 2.14 diubah menjadi = √ . 2.16 Perubahan batas integral pada sisi kanan dari 2.12, dari integral menurut menjadi integral menurut , adalah sebagai berikut: Jika = ∞, maka = ∞. Jika = maka = √ sehingga = √ . Dengan menggunakan 2.15, 2.16, dan perubahan batas integral serta misalkan = √ , maka 2.12 menjadi: [maks − , 0] = − ℎ ∞ = ℎ ∞ − ℎ ∞ = 1 √2 ∞ − ℎ ∞ = 1 √2 ∞ − ℎ ∞ = 1 √2 ∞ − ℎ ∞ 30 = 1 √2 ∞ − ℎ ∞ = ℎ − ∞ − ℎ ∞ sehingga 2.12 dapat dinyatakan dengan [maks − , 0] = ∫ ℎ − ∞ − ∫ ℎ ∞ . 2.17 Jika didefinisikan sebagai suatu fungsi berdistribusi normal kumulatif, maka ∫ ℎ − ∞ = 1 − [ln − − ] = [− ln + + ] . Peubah pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku pertama di atas disubstitusi dengan 2.13 dan = √ , maka diperoleh ℎ − ∞ = − ln + ln + − 2 √ + √ = ln + − + √ √ = ln + + √ = , dengan = ln + + √ . 31 Dengan alasan yang serupa seperti di atas, maka ∫ ℎ ∞ = 1 − = . 2.18 Dengan menyubstitusikan m dan s pada 2.13 ke dalam 2.18 diperoleh ∫ ℎ ∞ = − ln + ln + − √ = ln + − √ = , dengan = ln + − ̒ √ , sehingga 2.12 menjadi [maks − , 0] = − = − = − . 2.19 Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai = [maks − , 0]. 2.20 Dengan substitusi 2.19 ke dalam 2.20 diperoleh formula Black-Scholes untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan deviden pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu = − , 2.21 dan dengan put-call-parity diperoleh harga opsi put Eropa = − − − , dengan = ln + + √ dan = √ = − √ . 32

2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes

Berdasarkan Hull 2006 berikut ini akan ditunjukkan bahwa , pada 2.21 merupakan solusi dari 2.10. yaitu akan dihasilkan + + − = 0 dengan menentukan turunan-turunan 2.21 terhadap dan serta peubah T diganti dengan − . Turunan terhadap S adalah = √ √ = √ . 2.22 Dari persamaan = − √ − , turunan terhadap dan berturut turut adalah − = − 2√ − , dan = − √ − , sehingga = . 2.23 Turunan parsial 2.21 terhadap adalah = ′ − − ′ = ′ − − ′ = ′ − − . 2.24 Substitusi 2.23 ke dalam 2.24 diperoleh = − ′ √ − , 2.25 dengan ′ = ′ . 2.26 Bukti dapat dilihat pada lampiran 3 Turunan parsial 2.21 terhadap adalah = + ′ − ′ . 2.27