Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika
38 Seperti hal nya opsi Eropa, opsi Amerika pun memiliki keadaan-keadaan
dimana investor mengalami kerugian dan mengalami keuntungan ataupun tidak mengalami kerugian dan keuntungan dalam hal ini disebut impas. Dalam opsi
put Amerika keadaan dimana opsi memberikan keuntungan jika segera dieksekusi
disebut in the money. Keadaan opsi yang memberikan kerugian jika opsi segera dieksekusi disebut out the money. Sedangkan keadaan dimana opsi yang tidak
memberikan keuntungan maupun kerugian disebut at the money. Nilai maksimum antara nol dan selisih harga eksekusi dengan harga saham
pada waktu sebelum jatuh tempo disebut dengan nilai intrinsik. Pada waktu jatuh tempo, nilai intrinsiknya disebut sebagai nilai payoff.
Misalkan S adalah harga saham dan K merupakan harga eksekusi strike price
. Apabila , tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar
− , maka kontrak opsi put berada pada posisi in the money. Apabila =
, tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar nol, maka kontrak opsi
put berada pada posisi at the money. Dan ketika
, tindakan eksekusi tidak memberikan keuntungan. Maka kontrak opsi put berada pada posisi out the
money . Karena pada saat
≥ , tindakan eksekusi opsi put tidak memberikan
keuntungan, maka untuk ≥
, didefinisikan nilai intrinsiknya opsi put adalah nol. Dengan demikian, untuk setiap
∈[0, , nilai intrinsik opsi put dirumuskan sebagai:
= maks{0, − }. 3.1
Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai , , untuk
∈[0,∞ dan ∈[0, ], dengan T menyatakan waktu jatuh tempo. Hubungan nilai opsi put , dengan nilai intrinsik terdiri dari tiga kemungkinan:
Nilai opsi put Amerika , memenuhi ketaksamaan:
, maks{0, − }. 3.2
Jika investor membeli kontrak opsi tersebut dengan harga , dan
kontrak opsi segera dieksekusi, maka investor akan memperoleh keuntungan bebas risiko sebesar
= −
− , . Hal ini berarti bahwa terdapat peluang terjadinya tindakan arbitrase, maka kemungkinan pertama tidak berlaku.
Nilai opsi put Amerika memenuhi persamaan:
, = maks{0, − }. 3.3
39 Maka akan terdapat dua reaksi investor tidak tertarik untuk membeli opsi
karena investasi yang impas atau investor tertarik untuk membeli opsi karena adanya harapan bahwa nilai pengembalian opsi return pada saat opsi dieksekusi
akan meningkat. Untuk mengantisipasi kedua kemungkinan tersebut, maka investor pemegang kontrak opsi lebih memilih mengeksekusi opsinya. Dengan
demikian, persamaan memberikan keadaan bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsi put Amerika.
Nilai opsi put Amerika memenuhi ketaksamaan:
, maks{0, − }. 3.4
Hal ini berarti bahwa tindakan eksekusi opsi akan merugikan karena nilai keuntungan opsi lebih kecil dari nilai kontrak opsinya. Akibatnya investor
pemegang kontrak opsi lebih memilih untuk menjual kontrak opsi dengan harga , kepada pihak lain. Dengan demikian, ketaksamaan 3.4 menghasilkan
aksi jual kontrak opsi. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa nilai opsi put Amerika harus
memenuhi ketaksamaan: , ≥ maks{0, − }.
3.5
3.3 Formulasi Dekomposisi Nilai Opsi put Amerika. Model nilai opsi put Amerika. Misalkan nilai opsi put Amerika
dinotasikan sebagai , , untuk
∈[0,∞ dan ∈[0, ], dengan T
menyatakan waktu jatuh tempo. Nilai opsi put Amerika , merupakan fungsi kontinu yang memetakan , ∈[0, ∞ × [0, ], kebilangan real tak negatif.
Karena nilai opsi put Amerika , kontinu dan berlaku persamaan 3.5, maka untuk setiap
∈[0, terdapat suatu harga saham tertentu yang menjadi nilai batas antara selang harga saham yang merupakan saat investor mengeksekusi
kontrak opsi dan selang harga saham lainnya yang merupakan saat investor menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang ini
disebut dengan nilai kritis untuk eksekusi opsi. Misalkan nilai kritis dituliskan
sebagai , untuk ∈[0, yang didefinisikan oleh:
= maks{ | , = − }
3.6 Sedemikian sehingga:
40 ≤
, , =
− 3.7
, , maks{0, − }
3.8 Nilai kritis
, ∈[0, berlaku sebagai nilai batas yang membagi selang harga
saham , ∈[0, ∞ × [0, ] menjadi dua selang daerah bagian, yaitu daerah stopping
≡ [0, ] × [0, ], yang merupakan selang harga saham dengan waktu yang tepat untuk mengeksekusi opsi, karena untuk
∈[0, ] nilai opsi put , memenuhi persamaan 4.3 dan ketaksamaan
+ +
− 0.
jadi untuk ∈[0, ] , dengan
∈[0, , maka nilai opsi put , harus
memenuhi: +
1 2
+ −
, = maks{0, − } 3.9
Selang daerah berikutnya yaitu daerah kontinu ℓ ≡ ,∞ × [0, ], yang merupakan selang harga saham S yang tepat untuk menjual kontrak opsi kepada
pihak lain. Berdasarkan persamaan +
+ −
= 0 dan persamaan 4.4 nilai opsi put
, untuk ∈ ,∞ dan
∈[0, harus memenuhi:
+ 1
2 +
− = 0
, maks{0, − }. 3.10
Model nilai opsi put Eropa. Dengan diketahui konsep put-call parity
pada maka nilai opsi put dapat juga ditentukan. Berdasarkan persamaan 2.10 dan persamaan 2.21, nilai opsi put Eropa dapat ditentukan sebagaimana dirumuskan
pada Teorema berikut:
Teorema 3.1. Misalkan
, adalah nilai opsi put tipe Eropa dengan harga eksekusi
, tingkat suku bunga dan volatilitas harga saham , maka nilai opsi
put diberikan oleh:
, = −
− −
3.11
dimana:
41 −
≡ ln −
− 2 − √ −
− ≡
ln − + 2 −
√ − adalah fungsi sebaran normal kumulatif.
[Carr et al. 1992] Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4
Formulasi dekomposisi nilai opsi put Amerika.
Pada saat = 0, misalkan harga saham dinotasikan sebagai
dan nilai kritis sebagai
. Misalkan investor memiliki satu opsi put Amerika ketika harga saham berada di atas batas eksekusi
. Pada daerah tersebut tindakan eksekusi tidak memberi keuntungan eksekusi, karena berdasarkan persamaan 3.8
nilai opsi lebih bernilai dari pengembalian eksekusi. Dalam kontrak opsi put Amerika, nilai keuntungan opsi pada saat jatuh
tempo =
sama dengan nilai payoff, yaitu: , = maks{0, −
}. 3.12
Nilai ekspektasi dari present value opsi put Amerika pada saat jatuh tempo merupakan bentuk dari nilai opsi put Eropa. Dengan demikian, untuk daerah
kontinu ℓ , nilai opsi put Amerika dapat dirumuskan dalam bentuk dekomposisi opsi put Eropa dengan premi resiko seperti dalam teorema berikut:
Teorema 3.2. Dekomposisi utama opsi put Amerika.
Untuk daerah kontinu ℓ , nilai opsi put Amerika saat = 0 yang
dinotasikan sebagai ,0 =
terdiri dari nilai opsi put Eropa ,0 =
dan nilai premi opsi untuk eksekusi dini early exercise premium, :
= +
3.13 dimana
= −
− −
= .
42 dengan
=
√
3.14 −
=
√
3.15 −
=
√
adalah fungsi sebaran normal kumulatif: =
√ 2 [Carr et al. 1992]
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5