69 Untuk melihat pergerakan harga opsi put di sepanjang interval dari sejak
kontrak opsi dibuat hingga waktu jatuh tempo opsi dapat diketahui. Dengan memisalkan input parameter dengan nilai S
= 80, K = 100, r = 0.06, T = 0.5, σ = 0.4, diperoleh hasil simulasi pergerakan harga opsi put Amerika seperti pada
Gambar 9 di atas.
70
BAB VII SIMPULAN
Dalam kontrak opsi put Amerika ada keleluasaan waktu eksekusi yang diberikan kepada investor, sehingga untuk nilai opsi put Amerika yang kontinu
terdapat harga saham tertentu yang disebut dengan nilai kritis. Nilai kritis berlaku sebagai nilai batas yang membagi selang harga saham menjadi dua selang daerah
yaitu selang eksekusi opsi dan selang jual kontrak opsi. Untuk harga saham yang berada di selang eksekusi opsi, nilai opsi
memenuhi ketaksamaan Black-Scholes dengan nilai opsi put sama dengan nilai keuntungan opsi. Sedangkan untuk harga saham di selang kontrak opsi di atas
nilai kritis, nilai opsi put memenuhi PDP Black-Scholes dengan nilainya terdekomposisi menjadi present value dari nilai ekspektasi opsi saham pada saat
jatuh tempo yang merupakan bentuk dari opsi put Eropa dan present value dari nilai opsi untuk eksekusi dini.
Nilai Brownian noise yang dihasilkan dalam setiap kali percobaan berbeda-beda karena pembangkitan nilai tersebut dibuat secara acak dengan
sebaran normal baku [0,1]. Hal ini menyebabkan pembangkitan harga saham di
sepanjang interval waktu [0, ] dalam setiap kali percobaan diulang pun akan menghasilkan nilai harga saham yang berbeda-beda. Nilai intrinsik
pun berubah-ubah setiap kali percobaan dilakukan karena nilai harga saham
pun berubah-ubah.
Berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi hubungan antara pengaruh harga saham pada waktu kontrak dibuat, waktu jatuh tempo, dan tingkat suku
bunga terhadap harga opsi sebagai berikut: Semakin tinggi harga saham pada saat kontrak opsi dibuat maka harga
opsi semakin rendah. Semakin tinggi suku bunga pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi
semakin rendah. Semakin lama waktu jatuh tempo kontrak opsi maka harga opsi semakin
tinggi.
71 Semakin tinggi nilai volatilitas saham, maka harga opsi akan semakin
tinggi pula. Semakin tinggi harga eksekusi maka harga opsi akan semakin tinggi.
Dalam simulasi semakin kecil memecah selang waktu yang ada dan semakin banyak percobaan dilakukan pengulangan maka semakin kecil nilai
standard deviasinya. Semakin sering simulasi dilakukan atau diulang maka standar deviasi dari simulasi ini pun semakin kecil, sehingga dapat diperoleh hasil
yang cukup signifikan untuk meramalkan kapan kira-kira pemegang opsi akan mengeksekusi opsi.
72
DAFTAR PUSTAKA
Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2005. Investments, Sixth Edition. McGraw-Hill. New York.
Buchanan, JR. 2006. An Undergraduate Introduction to Financial Mathematics. Singapore: Word Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
Carr P, Jarrow R Myneni R. 1992. Alternative Characteristizations of American Put Option. Math Finance. 2:87-106
Fusai G Roncoroni A. 2008. Implementing Models in Quantitative Finance: Methods and Cases
. New York: Springer Berlin Heidelberg. Hull JC. 2006. Option, Future, and Other Derivatives. Toronto: Prentice Hall
International Inc. Merton RC. 1992. An Introduction to Probability and Stochastic Process.
Springer Verlag, New York. Neftci N. 2000. An Introduction to The Mathematics of Financial Derivatives 2
nd
edition . Academic Press.
Niwiga DB. 2005. Numerical Method for Valuation of Financial Derivatives [tesis]. University of Werstern Cape, South Africa.
Pauly O. 2004. Numerical Simulation of American Option [tesis]. Universität Ulm.
Rogers LCG. 2002. Monte Carlo Valuation of American Options. Mathematical Finance
. Vol. 12, No.3, 271-286. Ross SM. 1996. Sthochastic Process. New York : John wiley Son Inc.
Wilmott P, Howison S Dewynne J. 1996. The Mathematics of Financial Derivatives
A Student Introduction. Cambridge University Press, USA. Wong F T. 2001. Aplikasi Statistik Ekstrim dan Simulasi Monte Carlo dalam
Penentuan Beban Rencana pada Struktur dengan Umur Guna Tertentu. Dimensi Teknik Sipil
. Vol. 3, No.2, 84-88.
73
LAMPIRAN
74
Lampiran 1.
Persamaan 2.4 adalah =
+ .
Persamaan 2.5 adalah =
+ +
+ .
Persamaan 2.7 adalah =
− .
Substitusi 2.4 dan 2.5 ke dalam 2.7 diperoleh =
− =
+ +
+ −
+
= +
+ +
− +
= −
+ +
+ −
= 0 + +
+ 0 =
+ Jadi
= +
.
Lampiran 2.
Telah diturunkan bahwa ln − ln ~
− , √
, sehingga rataan dari ln
− ln adalah −
1 2
dan variansinya .
L2.1
75 Persamaan 2.13 menyebutkan bahwa ln
berdistribusi normal dengan rataan = ln
+ −
dan standar deviasi = √ , sehingga variansinya
. Persamaan 2.14 adalah
=
√
. Substitusi 2.13 ke dalam 2.14 diperoleh
= 1
√ ln
− ln − 1
√ −
1 2
Jika dan
suatu kontanta serta suatu peubah acak maka Buchanan 2006:
+ =
+
+ = =
√
ln − ln −
√
− =
√
ln − ln −
√
− =
√
ln − ln −
√
− L2.2
Substitusi L2.1 ke dalam L2.2 diperoleh =
1 √
− 1
2 −
1 √
− 1
2 = 0
=
√
ln − ln
−
√
− =
√
ln − ln
= = 1.
Jadi rataan dari adalah 0 dan variansinya 1.
Lampiran 3.
Diketahui =
− √ − . Jika
menyatakan suatu fungsi berdistribusi normal baku maka Hull 2006: =
√
L3.1 Berdasarkan persamaan L3.1 maka
=
√
L3.2
76 Substitusi
= − √ −
ke dalam L3.2 diperoleh =
√
√
=
√
√
=
√ √
=
√
√
= =
= =
= =
= =
. Jadi
= .
Lampiran 4. Bukti Teorema 3.1
Dengan put call parity, diperoleh persamaan nilai opsi put: , = , +
− Karena , diberikan pada persamaan 2.21, maka:
, = −
+ −
= 1 −
− 1 −
= −
− −
. L4.1
77 Berdasarkan persamaan 2.21
= ln
+ − 2 −
√ − −
= ln
− − 2 −
√ − =
ln +
+ 2 − √ −
− =
ln −
+ 2 − √ −
Maka persamaan L4.1 menjadi: , =
− −
− .
Lampiran 5. Bukti Teorema 3.2
Misalkan harga saham mengikuti Brownian motion berikut: =
+ L5.1
Dan misal nilai present value opsi put adalah , dengan fungsi nilai present
value tersebut sebagai berikut:
, = ,
L5.2 Dengan misalkan
= , , maka menurut Lema Ito berlaku: =
+ +
1 2
dengan =
= ,
+ ,
+ 2
, .
Maka diperoleh bentuk integral stokastik sebagai berikut: =
+ ∫
,
+ ∫
,
+
,
. L5.3
78 Dari persamaan L5.2 diperoleh:
= +
,
+ ,
2 +
,
+ ,
= +
,
+ ,
2 −
, + ,
L5.4 Karena investor netral terhadap risiko, maka ekspektasi dari harga saham
sama dengan tingkat suku bunga . Oleh karena itu, koefisien pada persamaan
L5.1 dapat diganti dengan . Dan ada probabilitas berukuran yang ekuivalen
dengan sehingga:
= +
L5.5 Dimana
= − [ − ] adalah Brownian motion yang didefinisikan
padaΩ , , . Seperti diketahui bahwa nilai opsi put Amerika
, terbagi menjadi dua daerah, yaitu daerah kontinu dan daerah stopping, dengan nilai payoff opsi put
Amerika adalah = maks[0, −
] , = 1
{ }
, + 1
{ }
− .
L5.6
79 Maka persamaan L5.4 menjadi:
{0, − }
= +
1
{ }
,
+ 1
{ }
, 2
− ,
+ ,
+ 1
{ }
− +
1
{ }
−
= +
1
{ }
, − 1
{ }
| +
| +
1
{ }
, 2
− , +
,
+ 1
{ }
|− − |
L5.7 dengan 1 =
1 ; = ≤
0 ; = adalah fungsi indikasi.
Untuk daerah kontinu, nilai opsi put , memenuhi persamaan diferensial
parsial PDP Black Scholes 3.9. Akibatnya, untuk syarat 1
{ }
bernilai nol. Maka persamaan L5.7 menjadi:
{0, − } =
− ∫
1
{ }
+ ∫ . L5.8
Misalkan ekspektasi dengan probabilitas , memenuhi:
[ ] =
. Maka
termasuk martingale dengan [
] = 0. Dengan demikian, , juga martingale dengan [
, ] = = 0 Neftci
2000.
80 Nilai ekspektasi dari present value
maks{0, − } merupakan nilai payoff
opsi put Eropa: [
maks{0, − }] ≡
sehingga, persamaan L5.8 menjadi: ≡
[ maks{0, −
}] = −
∫ 1
{ }
L5.9 Untuk
≤ definisikan:
= ⟺
≤ ⟺
≤ ln Untuk harga saham yang lognormal, maka:
= −
2 , Dengan demikian persamaan L5.9 menjadi:
[ maks{0, −
}] = −
1
{ }
= −
1 √ 2
exp −
− − 2
2
= −
1 √ 2
√
= −
1 √ 2
√
dengan memilih: =
− −
1 2
√ =
ln −
− 1
2 √
maka diperoleh: [
maks{0, − }] ≡
= −
1 √ 2
81 =
−
sehingga dengan memisalkan: =
. Maka akan diperoleh:
= +
3
ABSTRACT MUHAMAD SYAZALI. American Put Option Pricing by Monte Carlo
Simulation. Under supervision of ENDAR H. NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI
An American option is an option that can be exercised at the strike price anytime before or on the date of expiration. In this thesis, Monte Carlo
simulation for valuation of American option is presented. Monte Carlo simulation is one of the numerical methods used to determine the price of American options.
The simulation provides several examples of initial stock price , rate of interest
, exercise time , volatility , and strike price K. The simulation study shows the cost of the option c decreases when S increases, c decreases when r increases, c
increases when T increases, c increases when increases, and c increases when K increases.
Keywords : American Options, Black-Scholes Formula, Monte Carlo Simulation.
17
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang.
Dalam dunia keuangan, dikenal adanya pasar keuangan financial market yang terdiri atas pasar uang money market dan pasar modal capital market.
Sekuritas pasar uang adalah obligasi dengan jatuh tempo sangat pendek. Sekuritas pasar uang biasanya sangat laku di pasar dan memiliki risiko yang relatife kecil.
Jatuh tempo yang pendek dan risiko kredit yang kecil memastikan keuntungan atau kerugian modal yang minimal. Sekuritas tersebut dijual dalam denominasi
yang besar tetapi dapat dibeli secara tidak langsung melalui reksa dana pasar uang. Sedangkan pasar modal meliputi sekuritas jangka panjang dan lebih
berisiko. Sekuritas yang ada di pasar modal lebih beragam dibanding pasar uang. Oleh karena itu, pasar modal dibagi menjadi empat segmen: pasar obligasi jangka
panjang, pasar saham, serta pasar instrumen derivatif untuk opsi dan kontrak berjangka.
Hull 2006 menyatakan bahwa derivatif adalah instrumen keuangan yang nilainya didasarkan atau diturunkan dari aset yang mendasarinya. Beberapa
produk derivatif antara lain kontrak berjangka future contract, kontrak forward dan kontrak opsi. Kontrak berjangka merupakan suatu kewajiban untuk membeli
atau menjual suatu aset pada harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Kontrak forward merupakan perjanjian untuk melakukan penyerahan aset di masa
mendatang pada harga yang disepakati. Kontrak opsi selanjutnya disebut opsi adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak
lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu.
Investasi di bursa saham merupakan bentuk investasi penuh risiko yang membuat investor berhati-hati dalam menginvestasikan dananya. Hal tersebut
menjadi salah satu faktor munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi. Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk
sekuritas turunan yang merupakan perangkat keuangan yang nilainya bergantung
18 kepada nilai aset yang mendasarinya. Salah satu produk tersebut adalah kontrak
opsi. Chicago Board Options Exchange merupakan bursa pertama di dunia yang memperdagangkan kontrak opsi pada tahun 1973. Di Indonesia, perdagangan opsi
baru dilakukan di Bursa Efek Jakarta BEJ pada bulan Oktober 2004, yang sekarang bernama Bursa Efek Indonesia.
Kontrak opsi adalah perjanjian antara dua pihak yang memberikan hak kepada salah satu pihak, untuk menjual atau membeli aset pada harga yang telah
disepakati strike price, exercise price sampai waktu jatuh tempo. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi put dan opsi call. Opsi put adalah kontrak yang
memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call
adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli aset.
Penggunaan hak untuk menjual atau membeli saham dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak
opsi dibedakan atas opsi Amerika yakni kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapanpun antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo
expiration date dan opsi Eropa yakni opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo. Untuk mendapatkan kontrak opsi, investor harus
mengeluarkan biaya premi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. Besarnya biaya ini disebut juga dengan nilai opsi.
Teori penentuan nilai opsi telah dikembangkan pada tahun 1973 oleh Fisher Black dan Myron Scholes yang berhasil merumuskan masalah penentuan
nilai opsi Eropa ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial PDP Black Scholes. Pada tahun yang sama, Robert C. Merton mempublikasikan hasil
karyanya yang merupakan perluasan dari formula Black-Scholes yaitu formula Black-Scholes-Merton untuk nilai opsi put Eropa. Setelah itu, banyak peneliti lain
yang berhasil memodelkan opsi Amerika dengan melakukan penyesuaian argumentasi terhadap penurunan PDP Black-Scholes. Dengan penyesuaian
argumentasi ini, akan diperoleh model PDP Black-Scholes nilai opsi Amerika dalam bentuk ketaksamaan Wilmott et al. 1993.
19 Dengan landasan yang diberikan para peneliti tersebut, muncul inovasi-
inovasi penilaian tentang nilai opsi, salah satunya mengenai nilai opsi put Amerika. Dalam kontrak opsi put Amerika ada suatu harga saham tertentu yang
menjadi nilai batas antara selang harga saham yang merupakan saat bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsi dengan selang harga saham lainnya yang
merupakan saat bagi investor sebaiknya menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang tersebut disebut nilai kritis untuk eksekusi
opsi. Pada opsi Amerika terdapat kebebasan waktu eksekusi, maka hingga saat
ini belum terdapat solusi analitik. Penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan numerik
Pauly 2004. Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan harga opsi
Amerika adalah simulasi Monte Carlo. Metode ini merupakan metode alternatif berbasis teknik simulasi. Dimulai dengan persamaan pemrograman dinamis
tradisional, yang menyampaikan gagasan bahwa harga opsi Amerika adalah masalah mengetahui pada setiap titik waktu, apakah opsi akan dieksekusi atau
tidak. Tantangan utamanya adalah menentukan kapan akan melakukan eksekusi tersebut. Metode yang dipakai di
sini mentransformasikan persamaan
pemrograman dinamis ke masalah dualnya, dan akhirnya mencoba untuk menyelesaikan secara numerik.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah menentukan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo.
1.3 Manfaat Penelitian
Dengan simulasi Monte Carlo dapat diramalkan harga saham yang akan terjadi di masa akan datang sehingga dapat diketahui harga opsi put Amerika yang
maksimal. Oleh karena itu investor dapat menentukan kira-kira kapan dia akan mengeksekusi opsi agar mendapatkan keuntungan yang maksimum.
20
BAB II LANDASAN TEORI
Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu
pihak sebagai pembeli mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang
ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya
akan menghasilkan keuntungan baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut. Hull 2006 memaparkan ada beberapa aset yang mendasari
opsi. Lalu menerangkan pula tentang nilai opsi, tipe opsi, keuntungan opsi, dan faktor-faktor yang memengaruhi harga opsi. Seperti yang tertuliskan pada sub bab
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, dan 2.5 berikut ini.
2.1 Aset yang Mendasari
Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain opsi indeks index option, opsi valuta asing foreign currency option, opsi
berjangka future option, dan opsi saham stock option. Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah indeks pasar saham. Opsi valuta asing
adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah mata uang asing dengan kurs tertentu. Opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari
adalah kontrak berjangka, dan opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham. Tulisan ini akan membahas tentang opsi saham.
2.2 Nilai Opsi
Nilai opsi terdiri dari nilai intrinsik opsi dan nilai waktu. Dimana, nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika
opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi tidak positif, maka nilai intrinsiknya adalah nol. Untuk opsi call, nilai intrinsiknya akan
positif jika harga saham yang terjadi S
T
lebih besar dari pada harga eksekusi
21 harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo. Untuk opsi put nilai intrinsiknya
akan positif jika harga saham yang terjadi pada waktu S
T
kurang dari harga eksekusi K.
Sedangkan nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang
ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuka.
2.3 Tipe Opsi
Terdapat dua tipe kontrak opsi, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli suatu aset tertentu dengan
jumlah tertentu pada harga eksekusi strike price, exercise price sampai waktu jatuh tempo. Opsi put sendiri memberikan hak kepada pemegang opsi untuk untuk
menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut ada empat hal utama, yaitu :
Harga aset yang mendasari yang akan dibeli.
Jumlah aset yang mendasari yang akan dibeli.
Harga eksekusi aset yang mendasari.
Tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut expiration date.
Pada kontrak opsi put empat hal tersebut identik dengan yang tertuang dalam opsi call
. Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu
pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Misalkan harga saham awal pada saat disetujui kontrak adalah S, waktu jatuh
tempo T dan harga eksekusi adalah K, serta c = cS,t menyatakan harga opsi call Eropa pada saat t, dan p = pS,t menyatakan harga opsi put Eropa pada saat t.
Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu
payoff atau penerimaan
bagi pemegang
kontrak opsi
yaitu c
= maks S
T
– K,0.
22 Jika S
T
K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga S
T
yang lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah S
T
– K. Jika S
T
= K opsi call
dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila S
T
K opsi call dikatakan dalam keadaan out of the money.
Kondisi payoff dari opsi put Eropa adalah p = maks K – S
T
, 0. Jika S
T
K, opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak menggunakan haknya. Opsi
put akan dieksekusi pada saat S
T
K sehingga pemegang opsi memperoleh hasil sebesar K – S
T
. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal dengan put-call-parity, dapat dinyatakan sebagai berikut :
+ = + ,
dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko. Apabila C = CS,t menyatakan harga opsi call Amerika dan P = PS,t
menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu maturity untuk opsi call
adalah : = maks
– , 0, sedangkan untuk opsi put
= maks – , 0.
2.4 Keuntungan Opsi
Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat seperti berikut ini :
Menejemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat
melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang
mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.
Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang
opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir.
Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan
jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila