3 4 Standar Deviasi Penentuan Harga Opsi Put Amerika dengan Simulasi Monte Carlo

69 Untuk melihat pergerakan harga opsi put di sepanjang interval dari sejak kontrak opsi dibuat hingga waktu jatuh tempo opsi dapat diketahui. Dengan memisalkan input parameter dengan nilai S = 80, K = 100, r = 0.06, T = 0.5, σ = 0.4, diperoleh hasil simulasi pergerakan harga opsi put Amerika seperti pada Gambar 9 di atas. 70 BAB VII SIMPULAN Dalam kontrak opsi put Amerika ada keleluasaan waktu eksekusi yang diberikan kepada investor, sehingga untuk nilai opsi put Amerika yang kontinu terdapat harga saham tertentu yang disebut dengan nilai kritis. Nilai kritis berlaku sebagai nilai batas yang membagi selang harga saham menjadi dua selang daerah yaitu selang eksekusi opsi dan selang jual kontrak opsi. Untuk harga saham yang berada di selang eksekusi opsi, nilai opsi memenuhi ketaksamaan Black-Scholes dengan nilai opsi put sama dengan nilai keuntungan opsi. Sedangkan untuk harga saham di selang kontrak opsi di atas nilai kritis, nilai opsi put memenuhi PDP Black-Scholes dengan nilainya terdekomposisi menjadi present value dari nilai ekspektasi opsi saham pada saat jatuh tempo yang merupakan bentuk dari opsi put Eropa dan present value dari nilai opsi untuk eksekusi dini. Nilai Brownian noise yang dihasilkan dalam setiap kali percobaan berbeda-beda karena pembangkitan nilai tersebut dibuat secara acak dengan sebaran normal baku [0,1]. Hal ini menyebabkan pembangkitan harga saham di sepanjang interval waktu [0, ] dalam setiap kali percobaan diulang pun akan menghasilkan nilai harga saham yang berbeda-beda. Nilai intrinsik pun berubah-ubah setiap kali percobaan dilakukan karena nilai harga saham pun berubah-ubah. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi hubungan antara pengaruh harga saham pada waktu kontrak dibuat, waktu jatuh tempo, dan tingkat suku bunga terhadap harga opsi sebagai berikut:  Semakin tinggi harga saham pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah.  Semakin tinggi suku bunga pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah.  Semakin lama waktu jatuh tempo kontrak opsi maka harga opsi semakin tinggi. 71  Semakin tinggi nilai volatilitas saham, maka harga opsi akan semakin tinggi pula.  Semakin tinggi harga eksekusi maka harga opsi akan semakin tinggi. Dalam simulasi semakin kecil memecah selang waktu yang ada dan semakin banyak percobaan dilakukan pengulangan maka semakin kecil nilai standard deviasinya. Semakin sering simulasi dilakukan atau diulang maka standar deviasi dari simulasi ini pun semakin kecil, sehingga dapat diperoleh hasil yang cukup signifikan untuk meramalkan kapan kira-kira pemegang opsi akan mengeksekusi opsi. 72 DAFTAR PUSTAKA Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2005. Investments, Sixth Edition. McGraw-Hill. New York. Buchanan, JR. 2006. An Undergraduate Introduction to Financial Mathematics. Singapore: Word Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Carr P, Jarrow R Myneni R. 1992. Alternative Characteristizations of American Put Option. Math Finance. 2:87-106 Fusai G Roncoroni A. 2008. Implementing Models in Quantitative Finance: Methods and Cases . New York: Springer Berlin Heidelberg. Hull JC. 2006. Option, Future, and Other Derivatives. Toronto: Prentice Hall International Inc. Merton RC. 1992. An Introduction to Probability and Stochastic Process. Springer Verlag, New York. Neftci N. 2000. An Introduction to The Mathematics of Financial Derivatives 2 nd edition . Academic Press. Niwiga DB. 2005. Numerical Method for Valuation of Financial Derivatives [tesis]. University of Werstern Cape, South Africa. Pauly O. 2004. Numerical Simulation of American Option [tesis]. Universität Ulm. Rogers LCG. 2002. Monte Carlo Valuation of American Options. Mathematical Finance . Vol. 12, No.3, 271-286. Ross SM. 1996. Sthochastic Process. New York : John wiley Son Inc. Wilmott P, Howison S Dewynne J. 1996. The Mathematics of Financial Derivatives A Student Introduction. Cambridge University Press, USA. Wong F T. 2001. Aplikasi Statistik Ekstrim dan Simulasi Monte Carlo dalam Penentuan Beban Rencana pada Struktur dengan Umur Guna Tertentu. Dimensi Teknik Sipil . Vol. 3, No.2, 84-88. 73 LAMPIRAN 74 Lampiran 1. Persamaan 2.4 adalah = + . Persamaan 2.5 adalah = + + + . Persamaan 2.7 adalah = − . Substitusi 2.4 dan 2.5 ke dalam 2.7 diperoleh = − = + + + − + = + + + − + = − + + + − = 0 + + + 0 = + Jadi = + . Lampiran 2. Telah diturunkan bahwa ln − ln ~ − , √ , sehingga rataan dari ln − ln adalah − 1 2 dan variansinya . L2.1 75 Persamaan 2.13 menyebutkan bahwa ln berdistribusi normal dengan rataan = ln + − dan standar deviasi = √ , sehingga variansinya . Persamaan 2.14 adalah = √ . Substitusi 2.13 ke dalam 2.14 diperoleh = 1 √ ln − ln − 1 √ − 1 2 Jika dan suatu kontanta serta suatu peubah acak maka Buchanan 2006:  + = +  + = = √ ln − ln − √ − = √ ln − ln − √ − = √ ln − ln − √ − L2.2 Substitusi L2.1 ke dalam L2.2 diperoleh = 1 √ − 1 2 − 1 √ − 1 2 = 0 = √ ln − ln − √ − = √ ln − ln = = 1. Jadi rataan dari adalah 0 dan variansinya 1. Lampiran 3. Diketahui = − √ − . Jika menyatakan suatu fungsi berdistribusi normal baku maka Hull 2006: = √ L3.1 Berdasarkan persamaan L3.1 maka = √ L3.2 76 Substitusi = − √ − ke dalam L3.2 diperoleh = √ √ = √ √ = √ √ = √ √ = = = = = = = = . Jadi = . Lampiran 4. Bukti Teorema 3.1 Dengan put call parity, diperoleh persamaan nilai opsi put: , = , + − Karena , diberikan pada persamaan 2.21, maka: , = − + − = 1 − − 1 − = − − − . L4.1 77 Berdasarkan persamaan 2.21 = ln + − 2 − √ − − = ln − − 2 − √ − = ln + + 2 − √ − − = ln − + 2 − √ − Maka persamaan L4.1 menjadi: , = − − − . Lampiran 5. Bukti Teorema 3.2 Misalkan harga saham mengikuti Brownian motion berikut: = + L5.1 Dan misal nilai present value opsi put adalah , dengan fungsi nilai present value tersebut sebagai berikut: , = , L5.2 Dengan misalkan = , , maka menurut Lema Ito berlaku: = + + 1 2 dengan = = , + , + 2 , . Maka diperoleh bentuk integral stokastik sebagai berikut: = + ∫ , + ∫ , + , . L5.3 78 Dari persamaan L5.2 diperoleh: = + , + , 2 + , + , = + , + , 2 − , + , L5.4 Karena investor netral terhadap risiko, maka ekspektasi dari harga saham sama dengan tingkat suku bunga . Oleh karena itu, koefisien pada persamaan L5.1 dapat diganti dengan . Dan ada probabilitas berukuran yang ekuivalen dengan sehingga: = + L5.5 Dimana = − [ − ] adalah Brownian motion yang didefinisikan padaΩ , , . Seperti diketahui bahwa nilai opsi put Amerika , terbagi menjadi dua daerah, yaitu daerah kontinu dan daerah stopping, dengan nilai payoff opsi put Amerika adalah = maks[0, − ] , = 1 { } , + 1 { } − . L5.6 79 Maka persamaan L5.4 menjadi: {0, − } = + 1 { } , + 1 { } , 2 − , + , + 1 { } − + 1 { } − = + 1 { } , − 1 { } | + | + 1 { } , 2 − , + , + 1 { } |− − | L5.7 dengan 1 = 1 ; = ≤ 0 ; = adalah fungsi indikasi. Untuk daerah kontinu, nilai opsi put , memenuhi persamaan diferensial parsial PDP Black Scholes 3.9. Akibatnya, untuk syarat 1 { } bernilai nol. Maka persamaan L5.7 menjadi: {0, − } = − ∫ 1 { } + ∫ . L5.8 Misalkan ekspektasi dengan probabilitas , memenuhi: [ ] = . Maka termasuk martingale dengan [ ] = 0. Dengan demikian, , juga martingale dengan [ , ] = = 0 Neftci 2000. 80 Nilai ekspektasi dari present value maks{0, − } merupakan nilai payoff opsi put Eropa: [ maks{0, − }] ≡ sehingga, persamaan L5.8 menjadi: ≡ [ maks{0, − }] = − ∫ 1 { } L5.9 Untuk ≤ definisikan: = ⟺ ≤ ⟺ ≤ ln Untuk harga saham yang lognormal, maka: = − 2 , Dengan demikian persamaan L5.9 menjadi: [ maks{0, − }] = − 1 { } = − 1 √ 2 exp − − − 2 2 = − 1 √ 2 √ = − 1 √ 2 √ dengan memilih: = − − 1 2 √ = ln − − 1 2 √ maka diperoleh: [ maks{0, − }] ≡ = − 1 √ 2 81 = − sehingga dengan memisalkan: = . Maka akan diperoleh: = + 3 ABSTRACT MUHAMAD SYAZALI. American Put Option Pricing by Monte Carlo Simulation. Under supervision of ENDAR H. NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI An American option is an option that can be exercised at the strike price anytime before or on the date of expiration. In this thesis, Monte Carlo simulation for valuation of American option is presented. Monte Carlo simulation is one of the numerical methods used to determine the price of American options. The simulation provides several examples of initial stock price , rate of interest , exercise time , volatility , and strike price K. The simulation study shows the cost of the option c decreases when S increases, c decreases when r increases, c increases when T increases, c increases when  increases, and c increases when K increases. Keywords : American Options, Black-Scholes Formula, Monte Carlo Simulation. 17 BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang.

Dalam dunia keuangan, dikenal adanya pasar keuangan financial market yang terdiri atas pasar uang money market dan pasar modal capital market. Sekuritas pasar uang adalah obligasi dengan jatuh tempo sangat pendek. Sekuritas pasar uang biasanya sangat laku di pasar dan memiliki risiko yang relatife kecil. Jatuh tempo yang pendek dan risiko kredit yang kecil memastikan keuntungan atau kerugian modal yang minimal. Sekuritas tersebut dijual dalam denominasi yang besar tetapi dapat dibeli secara tidak langsung melalui reksa dana pasar uang. Sedangkan pasar modal meliputi sekuritas jangka panjang dan lebih berisiko. Sekuritas yang ada di pasar modal lebih beragam dibanding pasar uang. Oleh karena itu, pasar modal dibagi menjadi empat segmen: pasar obligasi jangka panjang, pasar saham, serta pasar instrumen derivatif untuk opsi dan kontrak berjangka. Hull 2006 menyatakan bahwa derivatif adalah instrumen keuangan yang nilainya didasarkan atau diturunkan dari aset yang mendasarinya. Beberapa produk derivatif antara lain kontrak berjangka future contract, kontrak forward dan kontrak opsi. Kontrak berjangka merupakan suatu kewajiban untuk membeli atau menjual suatu aset pada harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Kontrak forward merupakan perjanjian untuk melakukan penyerahan aset di masa mendatang pada harga yang disepakati. Kontrak opsi selanjutnya disebut opsi adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Investasi di bursa saham merupakan bentuk investasi penuh risiko yang membuat investor berhati-hati dalam menginvestasikan dananya. Hal tersebut menjadi salah satu faktor munculnya sarana alternatif untuk berinvestasi. Salah satu investasi alternatif yang ditawarkan di berbagai bursa dunia adalah produk sekuritas turunan yang merupakan perangkat keuangan yang nilainya bergantung 18 kepada nilai aset yang mendasarinya. Salah satu produk tersebut adalah kontrak opsi. Chicago Board Options Exchange merupakan bursa pertama di dunia yang memperdagangkan kontrak opsi pada tahun 1973. Di Indonesia, perdagangan opsi baru dilakukan di Bursa Efek Jakarta BEJ pada bulan Oktober 2004, yang sekarang bernama Bursa Efek Indonesia. Kontrak opsi adalah perjanjian antara dua pihak yang memberikan hak kepada salah satu pihak, untuk menjual atau membeli aset pada harga yang telah disepakati strike price, exercise price sampai waktu jatuh tempo. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi put dan opsi call. Opsi put adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli aset. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli saham dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika yakni kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapanpun antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo expiration date dan opsi Eropa yakni opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal jatuh tempo. Untuk mendapatkan kontrak opsi, investor harus mengeluarkan biaya premi dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat. Besarnya biaya ini disebut juga dengan nilai opsi. Teori penentuan nilai opsi telah dikembangkan pada tahun 1973 oleh Fisher Black dan Myron Scholes yang berhasil merumuskan masalah penentuan nilai opsi Eropa ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial PDP Black Scholes. Pada tahun yang sama, Robert C. Merton mempublikasikan hasil karyanya yang merupakan perluasan dari formula Black-Scholes yaitu formula Black-Scholes-Merton untuk nilai opsi put Eropa. Setelah itu, banyak peneliti lain yang berhasil memodelkan opsi Amerika dengan melakukan penyesuaian argumentasi terhadap penurunan PDP Black-Scholes. Dengan penyesuaian argumentasi ini, akan diperoleh model PDP Black-Scholes nilai opsi Amerika dalam bentuk ketaksamaan Wilmott et al. 1993. 19 Dengan landasan yang diberikan para peneliti tersebut, muncul inovasi- inovasi penilaian tentang nilai opsi, salah satunya mengenai nilai opsi put Amerika. Dalam kontrak opsi put Amerika ada suatu harga saham tertentu yang menjadi nilai batas antara selang harga saham yang merupakan saat bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsi dengan selang harga saham lainnya yang merupakan saat bagi investor sebaiknya menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang tersebut disebut nilai kritis untuk eksekusi opsi. Pada opsi Amerika terdapat kebebasan waktu eksekusi, maka hingga saat ini belum terdapat solusi analitik. Penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan numerik Pauly 2004. Salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah simulasi Monte Carlo. Metode ini merupakan metode alternatif berbasis teknik simulasi. Dimulai dengan persamaan pemrograman dinamis tradisional, yang menyampaikan gagasan bahwa harga opsi Amerika adalah masalah mengetahui pada setiap titik waktu, apakah opsi akan dieksekusi atau tidak. Tantangan utamanya adalah menentukan kapan akan melakukan eksekusi tersebut. Metode yang dipakai di sini mentransformasikan persamaan pemrograman dinamis ke masalah dualnya, dan akhirnya mencoba untuk menyelesaikan secara numerik.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah menentukan harga opsi put Amerika dengan simulasi Monte Carlo.

1.3 Manfaat Penelitian

Dengan simulasi Monte Carlo dapat diramalkan harga saham yang akan terjadi di masa akan datang sehingga dapat diketahui harga opsi put Amerika yang maksimal. Oleh karena itu investor dapat menentukan kira-kira kapan dia akan mengeksekusi opsi agar mendapatkan keuntungan yang maksimum. 20 BAB II LANDASAN TEORI Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu pihak sebagai pembeli mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut. Hull 2006 memaparkan ada beberapa aset yang mendasari opsi. Lalu menerangkan pula tentang nilai opsi, tipe opsi, keuntungan opsi, dan faktor-faktor yang memengaruhi harga opsi. Seperti yang tertuliskan pada sub bab 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, dan 2.5 berikut ini.

2.1 Aset yang Mendasari

Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain opsi indeks index option, opsi valuta asing foreign currency option, opsi berjangka future option, dan opsi saham stock option. Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah mata uang asing dengan kurs tertentu. Opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset yang mendasari adalah kontrak berjangka, dan opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham. Tulisan ini akan membahas tentang opsi saham.

2.2 Nilai Opsi

Nilai opsi terdiri dari nilai intrinsik opsi dan nilai waktu. Dimana, nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi tidak positif, maka nilai intrinsiknya adalah nol. Untuk opsi call, nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi S T lebih besar dari pada harga eksekusi 21 harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo. Untuk opsi put nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi pada waktu S T kurang dari harga eksekusi K. Sedangkan nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuka.

2.3 Tipe Opsi

Terdapat dua tipe kontrak opsi, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi strike price, exercise price sampai waktu jatuh tempo. Opsi put sendiri memberikan hak kepada pemegang opsi untuk untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut ada empat hal utama, yaitu :  Harga aset yang mendasari yang akan dibeli.  Jumlah aset yang mendasari yang akan dibeli.  Harga eksekusi aset yang mendasari.  Tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut expiration date. Pada kontrak opsi put empat hal tersebut identik dengan yang tertuang dalam opsi call . Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Misalkan harga saham awal pada saat disetujui kontrak adalah S, waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi adalah K, serta c = cS,t menyatakan harga opsi call Eropa pada saat t, dan p = pS,t menyatakan harga opsi put Eropa pada saat t. Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi yaitu c = maks S T – K,0. 22 Jika S T K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga S T yang lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah S T – K. Jika S T = K opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila S T K opsi call dikatakan dalam keadaan out of the money. Kondisi payoff dari opsi put Eropa adalah p = maks K – S T , 0. Jika S T K, opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak menggunakan haknya. Opsi put akan dieksekusi pada saat S T K sehingga pemegang opsi memperoleh hasil sebesar K – S T . Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal dengan put-call-parity, dapat dinyatakan sebagai berikut : + = + , dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko. Apabila C = CS,t menyatakan harga opsi call Amerika dan P = PS,t menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu maturity untuk opsi call adalah : = maks – , 0, sedangkan untuk opsi put = maks – , 0.

2.4 Keuntungan Opsi

Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat seperti berikut ini :  Menejemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.  Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir.  Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila