33 Substitusi 2.23 dan 2.26 ke dalam 2.27 diperoleh
= +
′ −
′ =
+ ′
− ′
= 2.28
= ′ .
2.29 Substitusi 2.22 ke dalam 2.29 diperoleh
= ′
√
. 2.30
Peubah pada 2.10 diubah dengan
maka menjadi +
+ −
= 0. 2.31
Substitusi 2.21, 2.25, 2.27, dan 2.30 ke dalam 2.31 didapat +
+ −
= − ′
√
− +
+ ′
√
− [ −
] = −
+ + −
′
√
+ ′
√
+ − +
= 0. Sehingga terbukti bahwa
+ +
− = 0.
2.9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika
Persamaan 2.4 menyatakan bahwa model perubahan harga saham adalah =
+ . Seperti halnya pada penurunan persamaan
Black-Scholes, dibentuk suatu portofolio dengan membeli sebuah opsi Amerika dan menjual sejumlah
saham, maka diperoleh: =
− .
Dengan memilih =
dan analogi 2.8, maka nilai portofolio berubah menjadi =
+ .
Pada persamaan Black-Scholes untuk opsi Eropa argumentasinya adalah dibentuk suatu persamaan dengan return tak berisiko, agar tidak terjadi peluang
arbitrase. Namun ketika opsi pada portofolio itu opsi Amerika, diperoleh
34 pendapatan tidak lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu,
sehingga ≤
= −
. Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan
mengeksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang dari return tanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan:
+ ≤
− ,
atau +
+ −
≤ 0. 2.32
Pertidaksamaan 2.32 adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Amerika. Pertidaksamaan 2.32 dapat dinyatakan sebagai berikut :
+ +
− 2.33
+ +
− = 0.
2.34 Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka diberikan nilai batas untuk
menentukan nilai opsi put Amerika.
2.10 Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika
Kondisi batas bawah untuk opsi put Amerika adalah , ≥ − , ∀ , .
2.35 Hal ini dengan alasan sebagai berikut: jika
0 = =
− seseorang dapat
membeli opsi put P, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian ia memperoleh pendapatan tidak
berisiko sebesar − −
0. Oleh karena Black-Scholes dengan asumsi tidak terjadi kesempatan arbitrase, maka 2.35 adalah kendala yang benar untuk opsi
put Amerika.
Misalkan menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi
akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan . Jika
≤ maka opsi akan dieksekusi, namun jika
opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian 2.35 dapat dinyatakan dengan:
