57 Berikut ini adalah teorema yang digunakan dalam menentukan harga opsi
Amerika dalam simulasi Monte Carlo;
Teorema 5.1
∗
= inf
∈
[sup −
], 5.8
dengan adalah ruang dari martingale-martingale
di mana sup |
| ∈ , dan sedemikian sehingga
= 0. Batas bawah terbesar infimum dicapai dengan mengambil
=
∗
. Teorema 5.1 tersebut memberikan petunjuk bagaimana mendapatkan
metode penetapan harga opsi Amerika dengan memilih martingale yang sesuai,
kemudian dengan simulasi mengevaluasi ekspektasi [sup
− ]. Bukti
dapat dilihat pada Rogers 2002.
5.4 Hedging dan Eksekusi
Berdasarkan Rogers 2002, misalkan telah diketahui sebelumnya martingale
yang sesuai. Akan diintepretasikan dalam rangka perlindungan nilai hedging. Dengan mempertahankan
tetap, dan sebuah batas atas untuk
∗
yaitu rata-rata dari peubah acak ≡ sup
− .
5.9 Misalkan ditetapkan
≡ |ℱ
untuk martingale tersebut tertutup dari sebelah kanan sebesar
, sehingga ≡
. Misalkan martingale dianggap
sebagai keuntungan dari proses perdagangan dari portofolio. Dengan demikian jika kekayaan awal portofolio adalah
, maka kekayaan terdiskon pada waktu menjadi
+ . Persamaan 5.9 berakibat pertidaksamaan untuk setiap
∈[0, ] ≤
+ .
Dengan ekspektasi bersyarat ℱ yang diberikan maka dapat dituliskan hubungan
pertidaksamaan berikut ≤
[ −
| ℱ ] +
+ .
5.10 Interpretasi dari 5.10 adalah terhadap nilai
terdiskon, yang harus dibayarkan ke pemegang opsi jika dieksekusi pada waktu , akan mendapatkan lindung nilai
dari nilai portofolio terdiskon.
58
5.5 Algoritma dan implementasi
Sekarang akan dikemukakan algoritma untuk menentukan harga dari opsi Amerika dengan metode yang sebelumnya telah dijelaskan. Misalkan telah
dimiliki martingale yang dimaksud pada pembahasan 5.4 diatas. Berikut ini
dinotasikan parameter-peremeter yang digunakan; : banyak dari hari eksekusi yang mungkin
: indeks hari : banyak path sampel
: indeks sampel : harga eksekusi
: horizon waktu : tingkat suku bunga bebas resiko satu periode
: harga saham awal : harga saham pada waktu
: nilai intrinsik payoff opsi pada waktu : volatilitas saham
Algoritma
Langkah pertama adalah menentukan input untuk simulasi ini yakni menentukan harga saham awal
, harga eksekusi , nilai suku bunga bebas
resiko , volatilitas saham
, dan waktu jatuh tempo . Selanjutnya
membangkitkan himpunan tanggal ≤
≤ ...≤ =
di mana opsi mungkin dieksekusi, yang diperoleh dengan membagi periode
menjadi selang
waktu. Ditentukan pula percobaan yang dilakukan akan diulang sebanyak n kali, dalam hal ini percobaan atau simulasi dilakukan berkali-kali.
Langkah kedua untuk mensimulasikan pembangkitan harga saham adalah membangkitkan Brownian noise
di sepanjang interval [0, ]. Faktor penganggu
dibangkitkan secara acak berdasarkan sebaran normal baku [0,1]. Setelah diperoleh Brownian noise
di sepanjang interval [0, ], maka dengan menggunakan Persamaan 5.3 dapat dibangkitkan harga saham
di sepanjang interval [0, ].
59 Langkah berikutnya setelah diperoleh output
, yaitu harga saham di setiap himpunan selang waktu
≤ ≤ ...≤
= . Selanjutnya dapat
diperoleh nilai intrinsik di setiap titik waktu dalam himpunan selang waktu
≤ ≤ ...≤
= dengan cara
= maks − . Selanjutnya
dibangkitan pula nilai martingale di sepanjang selang waktu itu juga. Proses
ini diulang sebanyak n kali yang nantinya akan dicari nilai rata-rata nilai intrinsik maksimum yang diperolah pada satu kali percobaansimulasi.
Setelah diperoleh nilai intrinsik di sepanjang interval waktu [0, ],
maka dimisalkan kembali adalah vektor berdimensi
yang merekam nilai maksimum yang dicapai proses
− pada setiap path sample :
= maks[ −
]. Untuk mencari nilai
yang maksimum maka dilakukan langkah berikut. Pada waktu
, untuk setiap path simulasi , bandingkan kuantitas
− dan . Bila yang berikutnya lebih baik ketimbang nilai sebelumnya,
simpan nilai −
ke dalam entri . Bila ≤
, tingkatkan i
satu unit lalu kembali ke langkah pencarian yang terbesar maksimal.
Selainnya kembalikan ,
= ∑ sebagai dugaan empiris dari
nilai dugaan −
. Pencarian nilai maksimum ini juga dilakukan sebanyak
kali sehingga diperoleh nilai sebanyak
pula untuk setiap harga saham awal
yang berbeda. Langkah terakhir adalah mencari nilai rata-rata dari setiap nilai maksimum
yang didapat dari setiap percobaan, yang kemudian akan ditetapkan sebagai nilai opsi put Amerika. Standar deviasi dari hasil simulasi ini pun dapat diperoleh
dari data nilai yang telah diperoleh di setiap percobaansimulasi.
Dari langkah-langkah di atas maka dapat dibuat bagan alur untuk algoritma simulasi ini sebagai berikut.
