24 mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun
jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga
bebas risiko.
2.6 Persamaan Black-Scholes
Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 dalam merumuskan nilai opsi call Eropa mendasarkan pada beberapa asumsi berikut ini :
Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener dengan μ dan σ
konstan;
Tidak ada biaya transaksi dan pajak;
Tidak ada pembayaran deviden pada saham;
Tidak terdapat peluang arbitrase, yaitu suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko;
Short selling
diijinkan;
Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo.
Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah berikut :
Definisi 1 Proses Stokastik
Proses stokastik = { , ∈ } adalah suatu himpunan dari peubah
acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks H, Xt adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan waktu.
[Ross 1996]
Definisi 2 Gerak Brown
Proses stokastik = { , ∈ } disebut proses gerak Brown jika :
1. X0 = 0. 2. Untuk 0 t
1
t
2
. . . t
n
peubah acak Xt
i
– Xt
i- 1
, i = 1, 2, 3, ..., n saling bebas.
25 3. Untuk setiap t 0, Xt berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi
σ
2
t .
[Ross 1996]
Definisi 3 Gerak Brown Geometris
Jika { , 0} adalah gerak Brown, maka proses stokastik { , ≥ 0} yang
didefinisikan =
disebut gerak Brown Geometris. [Ross 1996]
Definisi 4 Proses Wiener
Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1. [Niwiga 2005]
Definisi 5 Proses Wiener Umum
Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut :
dX t = adt + bdWt.
2.1 adt
disebut komponen deterministik dan bdWt menyatakan komponen stokastik, serta Wt adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan
rataan dan standar deviasi dari X. [Hull 2006]
Definisi 6 Proses Itô
Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Itô dapat dinyatakan
sebagai berikut : dX
t = aXt,tdt + bXt,tdWt. 2.2
[Hull 2006]
Lema Itô
Misalkan proses Xt memenuhi 2.2 dan fungsi = , adalah
kontinu serta turunan , , , ,
, kontinu, maka = , memenuhi persamaan berikut :
