52 merupakan peubah acak dengan drift rate 0 dan variance rate 1, dimana
proses stokastik yang mengikuti gerak Brown Hull 2006. Dengan demikian, perubahan harga saham tidak secara langsung dipengaruhi oleh
, tetapi oleh
. Selanjutnya dari 5.1 dapat dicari harga saham dengan cara sebagai
berikut: Misalkan , = ln atau =
= 0, =
1 ,
= − 1
. Menurut lemma Itô
, = +
+ 1
2 +
= +
+ +
= +
− =
+ −
= −
+ atau dapat dinyatakan
= −
+ .
5.2 Persamaan diferensial 5.1 mempunyai solusi
− 0 = −
1 2
+ = 0 +
− 1
2 +
dimana 0 merupakan nilai awal dari . Dengan diketahuinya harga saham awal
, maka dengan membangkitkan secara acak faktor pengganggu Brownian noise sehingga diperoleh solusi dari
persamaan 5.1 untuk mendapatkan nilai adalah:
= .
5.3
54 Selanjutnya jika dimisalkan harga eksekusi
= 100. Berdasarkan hasil simulasi pembangkitan nilai saham di sepanjang interval waktu [0, ], maka untuk
mendapatkan keuntungan yang maksimal dapat diputuskan kapan opsi akan dieksekusi. Karena opsi yang akan dibahas adalah opsi put Amerika maka
keadaan di mana opsi akan dieksekusi pada saat apabila , tindakan
eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar − , maka kontrak opsi put
berada pada posisi in the money. Pada pembahasan selanjutnya akan dibangkitkan nilai intrinsik di sepanjang interval waktu [0, ].
5.2 Pembangkitan Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika.
Nilai maksimum antara nol dan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu sebelum jatuh tempo disebut dengan nilai intrinsik. Pada waktu jatuh
tempo nilai intrinsiknya disebut sebagai nilai payoff. Karena sebelumnya telah diketahui harga saham di sepanjang interval [0, ], maka nilai intrinsik opsi di
sepanjang interval [0, ] juga dapat ditentukan. Dalam pengeksekusian opsi put Amerika yang dilakukan pada interval
waktu [0, ] yang diperlukan adalah harga saham pada interval [0,T]. Misalkan nilai intrinsik opsi put Amerika didefinisikan sebagai proses
= yang menggambarkan hasil eksekusi di seluruh periode, yaitu
= maks – ,0. Karena harga saham di sepanjang interval [0, ] berbeda-beda
maka nilai intrinsik opsi put pun di sepanjang interval pun berbeda-beda. Dari hasil simulasi sebelumnya yang telah membangkitkan harga saham
di sepanjang interval [0, ] maka akan dibangkitkan nilai intrinsik di sepanjang interval [0, ]. Dengan harga saham
yang telah diperoleh sebelumnya maka nilai intrinsik
= maks − di sepanjang interval
waktu [0, ] yang digambarkan dalam Gambar 2 di bawah ini
56
5.3 Harga Opsi Put Amerika
Misalkan =
adalah nilai opsi put Amerika. Tujuannya adalah untuk menghitung keuntungan berdasarkan asumsi bahwa waktu eksekusi berada
dalam himpunan = { ,..., }, dengan
= ∆ dan =
. Diasumsikan bahwa waktu
= 0. Ditetapkan horizon waktu berhingga finite tme horizon
0, dan misalkan terdapat dua proses stokastik
dan , yang terdefinisi
pada ruang
probabilitas yang
terfilter filtered
probability space
Ω ,ℱ,ℱ , . Proses pertama adalah nilai kini dari suku bunga, dan proses
kedua mendefinisikan jumlah yang harus dibayar kepada pemegang holder dari opsi Amerika pada saat opsi dieksekusi. Diasumsikan juga bahwa probabilitas
adalah probabilitas penetapan harga opsi tersebut. Misal adalah waktu
penghentian stoping time, didefinisikan nilai awal dari opsi Amerika yaitu
∗
= sup [ ],
5.5 Dengan
≡ exp − ∫ adalah nilai eksekusi yang terdiskon dari opsi
tersebut. Untuk mencegah trivialitas. Diasumsikan bahwa
∗
∞ ; serta untuk beberapa
1, sup | |
, dan lintasan dari Z adalah kontinu kanan. Dengan asumsi tersebut, proses snell envelope
∗
≡ sup
[ |ℱ ] 5.6
adalah supermatingale, sehingga mempunyai dekomposisi Doob-Meyer
∗
=
∗
+
∗
−
∗
, 5.7
dengan
∗
adalah sebuah martingale yang bernilai 0 pada saat = 0, dan
∗
adalah suatu proses yang menaik dan terintegralkan previsible integrable increasing process
, juga bernilai 0 pada saat = 0.
57 Berikut ini adalah teorema yang digunakan dalam menentukan harga opsi
Amerika dalam simulasi Monte Carlo;
Teorema 5.1
∗
= inf
∈
[sup −
], 5.8
dengan adalah ruang dari martingale-martingale
di mana sup |
| ∈ , dan sedemikian sehingga
= 0. Batas bawah terbesar infimum dicapai dengan mengambil
=
∗
. Teorema 5.1 tersebut memberikan petunjuk bagaimana mendapatkan
metode penetapan harga opsi Amerika dengan memilih martingale yang sesuai,
kemudian dengan simulasi mengevaluasi ekspektasi [sup
− ]. Bukti
dapat dilihat pada Rogers 2002.
5.4 Hedging dan Eksekusi
Berdasarkan Rogers 2002, misalkan telah diketahui sebelumnya martingale
yang sesuai. Akan diintepretasikan dalam rangka perlindungan nilai hedging. Dengan mempertahankan
tetap, dan sebuah batas atas untuk
∗
yaitu rata-rata dari peubah acak ≡ sup
− .
5.9 Misalkan ditetapkan
≡ |ℱ
untuk martingale tersebut tertutup dari sebelah kanan sebesar
, sehingga ≡
. Misalkan martingale dianggap
sebagai keuntungan dari proses perdagangan dari portofolio. Dengan demikian jika kekayaan awal portofolio adalah
, maka kekayaan terdiskon pada waktu menjadi
+ . Persamaan 5.9 berakibat pertidaksamaan untuk setiap
∈[0, ] ≤
+ .
Dengan ekspektasi bersyarat ℱ yang diberikan maka dapat dituliskan hubungan
pertidaksamaan berikut ≤
[ −
| ℱ ] +
+ .
5.10 Interpretasi dari 5.10 adalah terhadap nilai
terdiskon, yang harus dibayarkan ke pemegang opsi jika dieksekusi pada waktu , akan mendapatkan lindung nilai
dari nilai portofolio terdiskon.
