Asumsi-asumsi Nilai Intrinsik Opsi Put Amerika

42 dengan = √ 3.14 − = √ 3.15 − = √ adalah fungsi sebaran normal kumulatif: = √ 2 [Carr et al. 1992] Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5

3.4 Batas Atas dan Batas Bawah Nilai Opsi Put Amerika Syarat Batas. Untuk harga saham

menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi: lim → maks{0, − } = 0 Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham yang semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat menuju tak hingga. Maka, nilai opsi put harus memenuhi: lim → , = 0 Kemudian jika = 0, maka nilai intrinsiknya maks{0, − } akan bernilai . Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi. Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi put harus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsi put adalah: 0, = Dalam kenyataannya seorang investor tidak mengetahui batas nilai saham yang tepat untuk mengeksekusi atau menjual opsi. Hal ini berarti Investor tidak mengetahui nilai batas pada persamaan 3.6. Karena posisi nilai ini tidak 43 diketahui secara pasti, maka nilai batas disebut sebagai nilai batas bebas. Nilai opsi put , harus merupakan fungsi kontinu, sehingga: lim → , = − 3.16 Dari persamaan 4.16 dapat diketahui bahwa ≥ , maka dari persamaan 4.13 dapat dituliskan nilai yang menjadi batas atas bagi nilai opsi put sebagai berikut: = + ln − − 2 √ ≤ + ∫ √ 3.17 Untuk memperoleh nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsi put , diperlukan waktu eksekusi stoping time tak terbatas. Dengan stoping time = ∞ , akan diperoleh peluang harga saham yang cukup kecil Merton, 1992. Definisikan merupakan harga saham yang memberikan eksekusi menjadi maksimal dengan keuntungan sebesar − , dengan memenuhi: ≤ ≤ ∞ 3.18 Karena ≤ , maka nilai keuntungan memenuhi: − ≥ − 3.19 Keuntungan eksekusi − diperoleh jika ≤ dan keuntungan − diperoleh jika ≤ karena stoping time = ∞ . Maka dari 3.18, dapat diperoleh nilai batas: ≤ 3.20 Dari persamaan 3.13 dapat dituliskan nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsi put sebagai berikut: = + ln − − 2 √ ≤ + ln − − 2 √ . 44 Dengan demikian, nilai opsi put Amerika mempunyai nilai batas sebagai berikut: + ln − − 2 √ ≥ ≥ + ln − − 2 √ . 45 BAB IV SIMULASI MONTE CARLO Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit. Simulasi Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang terapan lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari penghitungan termodinamika kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti efisien dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radian, sehingga metode ini digunakan dalam penghitungan iluminasi global yang menghasilkan gambar-gambar fotorealistik model tiga dimensi, dimana diterapkan dalam video games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer, efek-efek khusus dalam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya. Karena algoritma ini memerlukan pengulangan repetisi dan penghitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai berbagai teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis yang dapat terdiri dari banyak variabel yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya.

4.1 Sejarah

Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah sampling statistik. Nama Monte Carlo , yang dipopulerkan oleh para pioner bidang tersebut termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann dan Nicholas Metropolis, merupakan nama kasino terkemuka di Monako. Penggunaan keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya Adventures of a Mathematician, 46 Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran Metropolis. Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada tahun 1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh peralatan komputasi yang sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi. Rand Corporation dan Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran informasi mengenai Monte Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang. Simulasi Monte Carlo dikenal dengan istilah sampling simulation atau Monte Carlo Sampling Technique . Istilah Monte Carlo pertama digunakan selama masa pengembangan bom atom yang merupakan nama kode dari simulasi nuclear fission. Simulasi ini sering digunakan untuk evaluasi dampak perubahan input dan risiko dalam pembuatan keputusan. Simulasi ini menggunakan data sampling yang telah ada historical data dan telah diketahui distribusi datanya. Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan-bilangan acak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik. Aplikasi metode Monte Carlo  Grafis, terutama untuk ray tracing.  Permodelan transportasi ringan dalam jaringan multi lapis multi-layered tissues MCML.  Metode Monte Carlo dalam bidang finansial.  Simulasi prediksi struktur protein. 47  Dalam riset peralatan semikonduktor, untuk memodelkan transportasi pembawa arus.  Pemetaan genetik yang melibatkan ratusan penanda genetik dan analisis QTL.

4.2 Gambaran Umum

Simulasi Monte Carlo adalah pengambilan sampel dengan menggunakan bilangan-bilangan acak random numbers dilakukan dengan bantuan komputer. Prinsip kerja dari simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan-bilangan acak atau sampel dari suatu variabel acak yang telah diketahui distribusinya. Oleh karena itu, dengan simulasi Monte Carlo seolah-olah dapat diperoleh data dari lapangan, atau dengan perkataan lain simulasi Monte Carlo meniru kondisi lapangan secara numerik. Simulasi Monte Carlo merupakan alat rekayasa yang ampuh untuk menyelesaikan berbagai persoalan rumit di dalam bidang probabilitas dan statistik. Meskipun demikian, simulasi Monte Carlo tidak memberikan hasil yang eksak, karena pada hakekatnya simulasi Monte Carlo adalah suatu metode pendekatan numerik. Seperti pada umumnya metode numerik, simulasi Monte Carlo membutuhkan banyak sekali iterasi dan usaha penghitungan, khususnya untuk masalah-masalah yang melibatkan peristiwa-peristiwa langka very rare events . Oleh karena kelemahan-kelemahan tersebut, sebaiknya simulasi Monte Carlo baru digunakan bila metode analisis tidak tersedia atau metode pendekatan misalnya pendekatan orde pertama dari fungsi variabel acak yang taklinear tidak memadai. Simulasi Monte Carlo dari suatu proses stokastik adalah suatu prosedur untuk mendapatkan contoh acak terhadap hasil proses tersebut Wong 2001. Jika suatu sistem mengandung elemen yang mengikutsertakan faktor kemungkinan, model yang digunakan adalah model stokastik. Dasar dari simulasi Monte Carlo adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random acak. Metode ini memiliki lima tahapan dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dan terdapat tiga batasan dasar dalam penggunaan metode ini.