Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
5
2. Menaksir Rata-rata µ
Misalkan dipunyai populasi berukuran N dengan rata-rata µ dan simpangan
baku σ . Dari populasi ini akan ditaksir parameter rata-rata µ . Untuk itu
ambil sebuah sampel acak berukuran n, hitung satatistik yang diperlukan yaitu x dan s . Titik taksiran untuk rata-rata
µ adalah x . Dengan kata lain,
nilai µ ditaksir oleh harga x yang diperoleh dari sampel.
Untuk memperoleh taksiran yang tinggi derajat kepercayaannya, digunakan interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang
dikehendaki.
a. Simpangan baku σ diketahui dan populasi berdistribusi normal
Rumus I.1 menjadi: I.2
γ σ
µ σ
γ γ
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
− n
z x
n z
x P
. .
2 1
2 1
Dengan γ = koefisien kepercayaan dan
γ 2
1
z = bilangan z dari tabel normal
baku untuk peluang γ
2 1
. Untuk memperoleh 100
γ interval kepercayaan parameter µ dapat digunakan rumus:
I.3 n
z x
n z
x σ
µ σ
γ γ
. .
2 1
2 1
+ −
b. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal
Kenyataannya parameter σ jarang sekali diketahui. Maka rumus I.2 diganti
I.4 γ
µ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
n s
t x
n s
t x
P
p p
. .
Dengan γ = koefisien kepercayaan dan
p
t = nilai t dari daftar distribusi Student dengan
γ +
= 1
2 1
p dan dk = n-1.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
6 Untuk interval kepercayaannya:
I.5 n
s t
x n
s t
x
p p
. .
+ −
µ
Bilangan n
s t
x
p
. −
dan n
s t
x
p
. +
masing-masing merupakan batas bawah dan batas atas kepercayaan.
Jika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi N yakni
5 N
n , maka rumus I..3 dan rumus I.5 menjadi:
I.6 1
. 1
.
2 1
2 1
− −
+ −
− −
N n
N n
z x
N n
N n
z x
σ µ
σ
γ γ
I.7 1
. 1
. −
− +
− −
− N
n N
n s
t x
N n
N n
s t
x
p p
µ
c. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi
normal
Jika ukuran sampel n tidak terlalu kecil, maka dapat digunakan dalil limit pusat. Selanjutnya aturan-aturan yang diuraikan dalam bagian b di atas dapat
digunakan dengan kekeliruan yang sangat kecil. Jika distribusi populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel
kecil sekali, maka teorinya harus dipecahkan menggunakan bentuk distribusi asli dari populasi yang bersangkutan.
Hal ini tidak dibicarakan di sini.
Contoh
Sebuah populasi berdistribusi normal berukuran 1000 dengan simpangan baku 5,75. dari populasi diambil sampel acak dan diperoleh rata-rata 68,6. Taksirlah:
a. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 30
b. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 80
dengan menggunakan kepercayaan 95 .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
7
Penyelesaian
Diketahui x = 68,6 σ = 5,75
γ = 95 = 0,95 γ
2 1
475 ,
= Æ
475 ,
z = 1,96
a. Sampel n = 30 Æ
5 1000
30 ≤ =
N n
n z
x n
z x
σ µ
σ
γ γ
. .
2 1
2 1
+ −
30 75
, 5
. 96
, 1
6 ,
68 30
75 ,
5 .
96 ,
1 6
, 68
+ −
µ 66
, 70
54 ,
66 µ
Jadi, 95 interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah 66
, 70
54 ,
66 µ
. Dengan kata lain, kita merasa 95 yakin percaya bahwa rata-rata populasi
tersebut akan ada dalam interval dengan batas 66,54 dan 70,66. b.
Sampel n = 80 Æ 5
1000 80 ≥
= N
n
1 .
1 .
2 1
2 1
− −
+ −
− −
N n
N n
z x
N n
N n
z x
σ µ
σ
γ γ
1 1000
80 1000
. 30
75 ,
5 .
96 ,
1 6
, 68
1 1000
80 1000
30 75
, 5
. 96
, 1
6 ,
68 −
− +
− −
− µ
a a
+ −
6 ,
68 6
, 68
µ Jadi, 95 interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah
a a
+ −
6 ,
68 6
, 68
µ .
Dengan kata lain, kita merasa 95 yakin percaya bahwa rata-rata populasi tersebut akan ada dalam interval dengan batas
a −
6 ,
68 dan
a +
6 ,
68 .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
8
3. Menaksir Proporsi
