Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
11 Akan ditaksir selisih rata-rata
2 1
µ µ −
. Titik taksiran untuk adalah
2 1
µ µ −
adalah
2 1
x x
− .
Untuk menaksir selisih rata-rata dibedakan hal-hal berikut:
a. Dalam hal
2 1
σ σ =
Jika kedua populasi normal dan memiliki σ
σ σ
= =
2 1
yang besarnya diketahui, maka 100
γ interval kepercayaan untuk
2 1
µ µ −
adalah I.11
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
1 1
n n
z x
x n
n z
x x
+ +
− −
+ −
− σ
µ µ
σ
γ γ
dengan
γ 2
1
z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang
γ 2
1 .
Jika kedua populasi normal dan memiliki σ
σ σ
= =
2 1
tetapi besarnya tidak diketahui, maka perlu tentukan varians gabungan dari sampel yang dinyatakan
dengan
2
s . I.12
2 1
1
2 1
2 2
2 2
1 1
2
− +
− +
− =
n n
s n
s n
s Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi Student.
Rumus untuk 100 γ interval kepercayaan
2 1
µ µ −
adalah I.13
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
. 1
1 .
n n
s t
x x
n n
s t
x x
p p
+ +
− −
+ −
− µ
µ dengan s diperoleh dari rumus I.12 dan
p
t diperoleh dari daftar distribusi Student dengan
γ +
= 1
2 1
p dan
2
2 1
− +
= n
n dk
.
b. Dalam hal
2 1
σ σ ≠
Untuk populasi normal dengan
2 1
σ σ ≠
teori di atas tidak berlaku dan teori yang ada hanya bersifat pendekatan.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
12 Dengan memisalkan
1 1
σ =
s dan
2 2
σ =
s untuk sampel-sampel acak
berukuran cukup besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal. Rumus interval kepercayaan ditentukan oleh:
I.14
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
n s
n s
z x
x n
s n
s z
x x
+ +
− −
+ −
−
γ γ
µ µ
dengan
γ 2
1
z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang
γ 2
1 .
c. Observasi berpasangan
Misalkan populasi pertama memiliki variabel acak X dan populasi kedua dengan variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing
x
µ dan
y
µ . Diambil sampel acak dari tiap populasi yang berukuran sama,
n n
n =
=
2 1
. Diperoleh data sampel
n
x x
x ,
, ,
2 1
K dan
n
y y
y ,
, ,
2 1
K , dan bila data
observasi ini berpasangan maka
1
x berpasangan dengan
1
y
2
x berpasangan dengan
2
y M
n
x berpasangan dengan
n
y
Dalam hal berpasangan, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata
y x
B
µ µ
µ −
= , dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data yaitu
1 1
1
y x
B −
= ,
2 2
2
y x
B −
= ,…,
n n
n
y x
B −
= .
Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari
1
B ,
2
B ,…,
n
B , dihitung rata-rata B dan simpangan baku
B
s dengan menggunakan
n B
B
i
∑
= dan
1
2 2
1
− −
=
∑ ∑
n n
B B
n s
i B
Rumus untuk 100 γ interval kepercayaan
B
µ adalah I.15
n s
t B
n s
t B
B p
B p
. .
B
+ −
µ
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
13 dengan
p
t diperoleh dari daftar distribusi Student dengan γ
+ =
1 2
1 p
dan 1
− = n
dk .
Contoh Sudjana
Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I dilakukan 50 kali yang menghasilkan
1
x = 60,2 dan
2 1
s = 24,7. Cara II dilakukan 60 kali dengan
2
x = 70,4 dan
2 2
s = 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95 mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut.
Penyelesaian
Diketahui
1
x = 60,2 ;
2 1
s = 24,7
2
x = 70,4 ;
2 2
s = 37,2 Dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal.
975 ,
95 ,
1 2
1 1
2 1
= +
= +
= γ
p ;
108 2
60 50
= −
+ =
dk Karena kedua populasi normal dan memiliki
σ σ
σ =
=
2 1
tetapi besarnya tidak diketahui, maka varians gabungan dari sampel adalah
53 ,
31 2
60 50
2 ,
37 1
60 7
, 24
1 50
2 1
1
2 1
2 2
2 2
1 1
2
= −
+ −
+ −
= −
+ −
+ −
= n
n s
n s
n s
Maka interval kepercayaan
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
. 1
1 .
n n
s t
x x
n n
s t
x x
p p
+ +
− −
+ −
− µ
µ
60 53
, 31
50 53
, 31
. 2
, 60
4 ,
70 60
53 ,
31 50
53 ,
31 .
2 ,
60 4
, 70
108 ;
975 ,
2 1
108 ;
975 ,
+ +
− −
+ −
− t
t µ
µ
08 ,
1 .
984 ,
1 2
, 60
4 ,
70 08
, 1
. 984
, 1
2 ,
60 4
, 70
2 1
+ −
− −
− µ
µ 34
, 12
06 ,
8
2 1
− µ
µ
Jadi, kita merasa 95 yakin percaya bahwa selisih rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.
6. Menaksir Selisih Proporsi
