Pengertian Penaksiran PENAKSIRAN PARAMETER

Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011 2

BAB I PENAKSIRAN PARAMETER

1. Pengertian Penaksiran

Statistika digunakan untuk menyimpulkan populasi. Kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara sampling maupun sensus. Namun, karena berbagai faktor untuk menyimpulkan populasi diambil sebuah sampel yang representatif kemudian berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan mengenai populasi dibuat. Kelakuan populasi yang akan diamati adalah mengenai parameter populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis, nilai- nilai yang perlu yaitu statistik dihitung dan berdasarkan nilai-nilai statistik dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku. Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter sehubungan dengan cara- cara menaksir harga parameter. Harga parameter yang sebenarnya tetapi tidak diketahui nilainya tersebut akan ditaksir berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Parameter populasi yang akan ditaksir pada bab ini adalah rata-rata, simpangan baku dan proporsi. Secara umum parameter populasi akan diberi simbol θ baca: theta. Jadi θ bisa merupakan rata-rata µ , simpangan baku σ , proporsi π dan sebagainya. Jika θ tidak diketahui harganya, ditaksir oleh harga θˆ baca: theta topi, maka θˆ dinamakan penaksir. Sangat diharapkan θ θ = ˆ , yaitu penaksir dapat mengatakan harga parameter θ yang sebenarnya. Namun, keinginan ini dapat dikatakan terlalu ideal. Kenyataan yang sering terjadi adalah: a. menaksir θ oleh θˆ terlalu tinggi, atau Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011 3 b. menaksir θ oleh θˆ terlalu rendah. Kriteria untuk memperoleh penaksir yang baik yaitu: takbias, memiliki varians minimum dan konsisten. a. penaksir θˆ dikatakan penaksir takbias jika rata-rata semua harga θˆ yang mungkin akan sama dengan θ , ditulis θ θ = ˆ E . Penaksir yang tidak takbias disebut penaksir bias. b. penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil diantara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika 1 ˆ θ dan 2 ˆ θ dua penaksir untuk θ , jika varians 1 ˆ θ varians 2 ˆ θ , maka 1 ˆ θ merupakan penaksir bervarians minimum. c. Misalkan θˆ penaksir untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan θˆ mendekati θ , maka θˆ disebut penaksir konsisten. d. Penaksir yang takbias dan bervariansi minimum dinamakan penaksir terbaik. Jika harga parameter θ ditaksir oleh θˆ tertentu, maka θˆ dinamakan penaksir atau tepatnya titik taksiran estimasi titik. Misalkan akan ditaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes. Maka diambil sebuah sampel acak, kemudian data sampel dikumpulkan lalu dihitung rata-ratanya. Misalkan diperoleh x = 160 cm. Jika 160 cm ini digunakan untuk menaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes, maka 160 adalah titik taksiran untuk rata-rata tinggi mahasiswa matematika Unnes. Secara umum x adalah penaksir atau titik taksiran untuk µ . Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011 4 Titik taksiran untuk suatu parameter µ , harganya akan berlainan tergantung pada harga x yang diperoleh dari sampel yang diambil, sehingga hasilnya kurang meyakinkan atau kurang dapat dipercaya. Untuk itu digunakan interval taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batas dua harga. Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir, disebut koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang. Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan γ baca: gamma, maka 1 γ . Harga γ yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi dan seberapa besar peneliti ingin yakin dalam membuat kesimpulan. Yang biasa digunakan adalah 95 , = γ atau 99 , = γ . Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien kepercayaan γ , diambil sebuah sampel acak lalu hitung nilai statistik yang diperlukan. Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter θ antara A dan B adalah: I.1 γ θ = B A P Dengan A dan B fungsi daripada statistik, merupakan variabel acak, tetapi tidak tergantung pada θ . Bentuk I.1 dapat diartikan: peluangnya sama dengan γ bahwa θ terletak antara A dan B. Jika A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel, maka A dan B akan merupakan bilangan tetap, sehingga pernyataan di atas menjadi: kita merasa 100 γ percaya bahwa parameter θ akan ada di dalam interval A, B. Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011 5

2. Menaksir Rata-rata µ