Menaksir Proporsi Menaksir Simpangan Baku σ

Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011 8

3. Menaksir Proporsi

Misalkan sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi binomial berukuran N dimana terdapat proporsi π untuk peristiwa A yang ada dalam populasi tersebut. Jika terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk peristiwa A = n x . Jadi titik taksiran untuk π adalah n x . Digunakan pendekatan oleh distribusi normal kepada binomial untuk ukuran sampel n cukup besar. Rumus 100 γ keyakinan untuk interval kepercayaan π adalah I.8 n pq z p n pq z p . . 2 1 2 1 γ γ π + − dengan n x p = dan p q − =1 sedangkan γ 2 1 z adalah bilangan z yang diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ 2 1 . Contoh Diadakan survei terhadap sebuah populasi masyarakat di kota Semarang dengan mengambil sampel 100 orang dan diperoleh yang suka berolahraga sejumlah 60 orang. Dengan koefisien kepercayaan 95, taksirlah interval kesukaan berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut. Penyelesaian Diketahui γ = 95 = 0,95 γ 2 1 475 , = Æ 475 , z = 1,96 6 , 100 60 = = p Æ q = 0,4 Interval kepercayaan π adalah n pq z p n pq z p . . 2 1 2 1 γ γ π + − Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011 9 100 4 , 6 , . 96 , 1 6 , 100 4 , 6 , . 96 , 1 6 , + − π 696 , 504 , π 6 , 69 4 , 50 π Jadi, kita merasa 95 yakin percaya bahwa persentase kesukaan berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut akan ada dalam interval dengan batas 50,4 dan 69,6 .

4. Menaksir Simpangan Baku σ

Untuk menaksir varians 2 σ dari sebuah populasi, maka perlu dihitung sampel varians 2 s berdasarkan sampel acak berukuran n. I.9 1 2 2 − − = ∑ n x x s i Varians 2 s adalah penaksir takbias untuk varians 2 σ , tetapi simpangan baku s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku σ . Jadi titik taksiran s untuk σ adalah bias. Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians 2 σ , maka 100 γ interval kepercayaan untuk 2 σ ditentukan dengan menggunakan distribusi chi-kuadrat. I.10 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 γ γ χ σ χ − + − − s n s n dengan n ukuran sampel sedangkan 2 1 2 1 γ χ + dan 2 1 2 1 γ χ − diperoleh dari daftar chi-kuadrat berturut-turut untuk γ + = 1 2 1 p dan γ − = 1 2 1 p dengan 1 − = n dk . Interval taksiran simpangan baku σ diperoleh dengan melakukan penarikan akar ketidaksamaan dalam rumus I.10. Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011 10 Contoh Dari sebuah populasi yang berdistribusi normal, diambil sampel yang representatif dan diperoleh simpangan baku sebesar 6 dengan ukuran sampel 31. Dengan koefisien kepercayaan 99, taksirlah interval dari simpangan baku populasi. Penyelesaian Diketahui n = 31 s = 6 γ = 99 = 0,99 7 , 53 2 30 , 995 , 2 1 31 , 99 , 1 2 1 2 , 1 2 1 = = = − + + χ χ χ γ dk 8 , 13 2 30 , 005 , 2 1 31 , 99 , 1 2 1 2 , 1 2 1 = = = − − − χ χ χ γ dk Interval kepercayaan simpangan baku populasi adalah 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 γ γ χ σ χ − + − − s n s n 8 , 13 6 1 31 7 , 53 6 1 31 2 2 2 − − σ 8 , 13 6 1 31 7 , 53 6 1 31 2 2 − − σ 8465 , 8 4846 , 4 σ Jadi, kita merasa 99 yakin percaya bahwa simpangan baku populasi tersebut akan ada dalam interval dengan batas 4,4846 dan 8,8465.

5. Menaksir Selisih Rata-Rata