Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
64 Regresi dengan X merupakan variabel bebas dan Y variabel takbebasnya
dinamakan regresi Y atas X. Model regresi populasi pangkat dua atau parabola untuk sebuah variabel bebas
dengan parameter
1
θ ,
2
θ dan
3
θ adalah IV.4
2 3
2 1
.
2
X X
xx y
θ θ
θ µ
+ +
= Dan berdasarkan sampel acak, parameter-parameter
1
θ ,
2
θ dan
3
θ perlu ditaksir dengan persamaan berikut
IV.5
2
ˆ cX
bX a
Y +
+ =
Dengan a , b dan c masing-masing diperoleh dari perhitungan berdasarkan data penelitian yang berturut-turut merupakan taksiran untuk
1
θ ,
2
θ dan
3
θ .
Berikut cara menentukan persamaan regresi, apabila dimiliki data pengamatan.
3. Metode Tangan Bebas
Metode ini merupakan metode kira-kira dengan menggunakan diagram pencar scatter diagram dengan data yang diperoleh berdasarkan hasil pengamatan.
Jika variabel yang diamati meliputi variabel bebas X dan variabel takbebas Y, maka data pengamatan yang diperoleh digambarkan pada sebuah diagram
dengan X dinyatakan pada sumbu mendatar dan Y pada sumbu tegak sehingga terbentuk diagram pencar yang menunjukkan titik-titik tertentu.
Ada dua manfaat dari penggunaan diagram pencar ini yaitu: 1 Membantu menunjukkan apakah terdapat hubungan yang bermanfaat antara dua variabel,
2 Membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan antara kedua variabel tersebut. Seperti yang tertulis dalam manfaat yang
kedua, dari letak titik-titik pada diagram pencar, dapat diperkirakan bentuk regresinya. Jika letak titik-titik yang terbentuk di sekitar garis lurus, maka
dapat diduga terjadi regresi linier. Namun, hubungan yang terbentuk tidak
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
65 selalu harus berupa garis lurus. Jika letak titik-titik yang terbentuk di sekitar
garis lengkung, maka dapat diduga terjadi regresi nonlinier. Hubungan yang tergambar pada diagram pencar dapat berupa hubungan
positif atau langsung antar dua variabel yaitu jika variabel bebas meningkat maka variabel takbebas juga meningkat. Namun, adapula kemungkinan pada
variabel tertentu terdapat hubungan yang negatif atau berlawanan yaitu jika variabel bebas meningkat maka variabel takbebas akan menurun. Atau bahkan
tidak ada hubungan sama sekali antara variabel titik-titik yang terbentuk pada diagram pencar tidak menunjukkan pola tertentu.
4. Metode Kuadrat Terkecil Untuk Regresi Linier
Metode ini berdasarkan pada kenyataan bahwa jumlah pangkat dua kuadrat dari jarak antara titik-titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus
sekecil mungkin. Untuk pengamatan yang terdiri dari sebuah variabel bebas X dan variabel
takbebas Y di mana model regresi linier untuk populasi seperti rumus IV.2 telah dapat diduga, maka perlu ditaksir parameter-parameter regresi sehingga
diperoleh persamaan seperti rumus IV.3. Jadi untuk populasi, model regresi
linier adalah
X
x y
2 1
.
θ θ
µ +
= Harga parameter
1
θ dan
2
θ ditaksir oleh a dan b , sehingga persamaan regresi menggunakan data sampel adalah
bX a
Y +
= ˆ
Koefisien-koefisien regresi a dan b untuk regresi linier dapat dihitung dengan rumus
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
66 IV.6
2 2
2 2
2
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
− −
= −
− =
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
X X
n Y
X Y
X n
b X
X n
Y X
X X
Y a
Jika terlebih dahulu dihitung koefisien b , maka koefisien a dapat pula ditentukan dengan rumus
IV.7 X
b Y
a −
= dengan X dan Y masing-masing adalah rata-rata untuk variabel X dan Y.
Dalam regresi linier, koefisien b berarti perubahan rata-rata Y untuk setiap perubahan satu unit variabel X. Perubahan nilai Y bertambah apabila nilai b
bertanda positif dan berkurang untuk tanda b negatif.
Contoh Supranto
Berikut data penjualan dari perusahaan makanan ringan X : persentase kenaikan biaya iklan
Y : persentase kenaikan hasil penjualan X
1 2 4 5 7 9 10 12 Y
2 4 5 7 8 10 12 14 Berapakah besarnya ramalan presentase kenaikan penjualan apabila biaya
iklan dinaikkan menjadi 15 .
Penyelesaian X Y
2
X XY
1 2 1 2 2 4 4 8
4 5 16 20 5 7 25 35
7 8 49 56 9 10 81 90
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
67 10 12 100 120
12 14 144 168
∑
= 50
i
X 25
, 6
= X
∑
= 62
i
Y 75
, 7
= Y
∑
= 420
2 i
X
∑
= 499
i i
Y X
Untuk menghitung ramalan presentase kenaikan penjualan, terlebih dahulu
dicari persamaan regresi dari data tersebut.
04 ,
1 860
892 50
420 8
62 50
499 8
2 2
2
= =
− −
= −
− =
∑ ∑
∑ ∑
∑
i i
i i
i i
X X
n Y
X Y
X n
b 25
, 1
25 ,
6 04
, 1
75 ,
7 =
− =
− =
X b
Y a
Sehingga diperoleh persamaan X
bX a
Y 04
, 1
25 ,
1 ˆ
+ =
+ =
Nilai koefisien 04
, 1
= b
artinya setiap ada kenaikan 1 biaya iklan, maka hasil penjualan akan naik sebesar 1,04 .
Persamaan X
bX a
Y 04
, 1
25 ,
1 ˆ
+ =
+ =
selanjutnya dapat digunakan untuk meramalkan presentase kenaikan penjualan apabila terjadi perubahan
kenaikan atau pengurangan biaya iklan. Jika biaya iklan dinaikkan menjadi 15 , maka ramalan presentase kenaikan
penjualan adalah X
Y 04
, 1
25 ,
1 ˆ
+ =
dengan X = 15 diperoleh 85
, 16
15 04
, 1
25 ,
1 ˆ
= +
= Y
. Jadi besarnya ramalan presentase kenaikan penjualan apabila biaya iklan
dinaikkan menjadi 15 adalah 16,85.
5. Berbagai Varians Sehubungan dengan Regresi Linier Sederhana
