Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
1
DAFTAR ISI
BAB I PENAKSIRAN PARAMETER
1. Pengertian Penaksiran
2. Menaksir Rata-rata µ
3. Menaksir Proporsi π
4. Menaksir Simpangan Baku σ
5. Menaksir Selisih Rata-Rata
6. Menaksir Selisih Proporsi
BAB II PENGUJIAN HIPOTESIS
1. Pendahuluan
2. Dua Macam Kekeliruan
3. Langkah Pengujian Hipotesis
4. Uji Hipotesis Rata-Rata
5. Uji Hipotesis Proporsi
6. Uji Hipotesis Varians
7. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata
8. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi
9. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians
10. Uji Homogenitas Varians Populasi
BAB III ANALISIS VARIANS
BAB IV ANALISIS REGRESI
BAB V ANALISIS KORELASI
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
2
BAB I PENAKSIRAN PARAMETER
1. Pengertian Penaksiran
Statistika digunakan untuk menyimpulkan populasi. Kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara
sampling maupun sensus. Namun, karena berbagai faktor untuk menyimpulkan populasi diambil sebuah sampel yang representatif kemudian
berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan mengenai populasi dibuat.
Kelakuan populasi yang akan diamati adalah mengenai parameter populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis, nilai-
nilai yang perlu yaitu statistik dihitung dan berdasarkan nilai-nilai statistik dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku.
Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter sehubungan dengan cara- cara menaksir harga parameter. Harga parameter yang sebenarnya tetapi tidak
diketahui nilainya tersebut akan ditaksir berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.
Parameter populasi yang akan ditaksir pada bab ini adalah rata-rata, simpangan baku dan proporsi.
Secara umum parameter populasi akan diberi simbol θ baca: theta. Jadi θ
bisa merupakan rata-rata µ , simpangan baku σ , proporsi π dan sebagainya.
Jika θ tidak diketahui harganya, ditaksir oleh harga
θˆ baca: theta topi, maka θˆ dinamakan penaksir.
Sangat diharapkan θ
θ = ˆ
, yaitu penaksir dapat mengatakan harga parameter θ
yang sebenarnya. Namun, keinginan ini dapat dikatakan terlalu ideal. Kenyataan yang sering terjadi adalah:
a. menaksir θ oleh θˆ terlalu tinggi, atau
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
3 b.
menaksir θ oleh θˆ terlalu rendah.
Kriteria untuk memperoleh penaksir yang baik yaitu: takbias, memiliki varians minimum dan konsisten.
a. penaksir θˆ dikatakan penaksir takbias jika rata-rata semua harga θˆ yang
mungkin akan sama dengan θ , ditulis
θ θ =
ˆ E
. Penaksir yang tidak takbias disebut penaksir bias.
b. penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil
diantara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika
1
ˆ θ dan
2
ˆ θ dua
penaksir untuk θ , jika varians
1
ˆ θ varians
2
ˆ θ , maka
1
ˆ θ merupakan
penaksir bervarians minimum. c.
Misalkan θˆ penaksir untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran
populasi menyebabkan θˆ mendekati θ , maka θˆ disebut penaksir
konsisten. d.
Penaksir yang takbias dan bervariansi minimum dinamakan penaksir terbaik.
Jika harga parameter θ ditaksir oleh
θˆ tertentu, maka θˆ dinamakan penaksir atau tepatnya titik taksiran estimasi titik.
Misalkan akan ditaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes. Maka diambil sebuah sampel acak, kemudian data sampel dikumpulkan lalu
dihitung rata-ratanya. Misalkan diperoleh x = 160 cm. Jika 160 cm ini
digunakan untuk menaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes, maka 160 adalah titik taksiran untuk rata-rata tinggi mahasiswa
matematika Unnes. Secara umum x adalah penaksir atau titik taksiran untuk
µ .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
4 Titik taksiran untuk suatu parameter
µ , harganya akan berlainan tergantung pada harga x yang diperoleh dari sampel yang diambil, sehingga hasilnya
kurang meyakinkan atau kurang dapat dipercaya. Untuk itu digunakan interval taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batas
dua harga. Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat
kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir, disebut koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang.
Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan γ baca: gamma, maka
1 γ
. Harga γ yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi
dan seberapa besar peneliti ingin yakin dalam membuat kesimpulan. Yang biasa digunakan adalah
95 ,
= γ
atau 99
, =
γ .
Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien
kepercayaan γ , diambil sebuah sampel acak lalu hitung nilai statistik yang
diperlukan. Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter
θ antara A dan B adalah: I.1
γ θ
= B
A P
Dengan A dan B fungsi daripada statistik, merupakan variabel acak, tetapi tidak tergantung pada
θ .
Bentuk I.1 dapat diartikan: peluangnya sama dengan γ bahwa θ terletak
antara A dan B. Jika A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel, maka A dan B akan merupakan bilangan tetap, sehingga pernyataan di atas
menjadi: kita merasa 100 γ percaya bahwa parameter θ akan ada di dalam
interval A, B.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
5
2. Menaksir Rata-rata µ
Misalkan dipunyai populasi berukuran N dengan rata-rata µ dan simpangan
baku σ . Dari populasi ini akan ditaksir parameter rata-rata µ . Untuk itu
ambil sebuah sampel acak berukuran n, hitung satatistik yang diperlukan yaitu x dan s . Titik taksiran untuk rata-rata
µ adalah x . Dengan kata lain,
nilai µ ditaksir oleh harga x yang diperoleh dari sampel.
Untuk memperoleh taksiran yang tinggi derajat kepercayaannya, digunakan interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang
dikehendaki.
a. Simpangan baku σ diketahui dan populasi berdistribusi normal
Rumus I.1 menjadi: I.2
γ σ
µ σ
γ γ
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
− n
z x
n z
x P
. .
2 1
2 1
Dengan γ = koefisien kepercayaan dan
γ 2
1
z = bilangan z dari tabel normal
baku untuk peluang γ
2 1
. Untuk memperoleh 100
γ interval kepercayaan parameter µ dapat digunakan rumus:
I.3 n
z x
n z
x σ
µ σ
γ γ
. .
2 1
2 1
+ −
b. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal
Kenyataannya parameter σ jarang sekali diketahui. Maka rumus I.2 diganti
I.4 γ
µ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
n s
t x
n s
t x
P
p p
. .
Dengan γ = koefisien kepercayaan dan
p
t = nilai t dari daftar distribusi Student dengan
γ +
= 1
2 1
p dan dk = n-1.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
6 Untuk interval kepercayaannya:
I.5 n
s t
x n
s t
x
p p
. .
+ −
µ
Bilangan n
s t
x
p
. −
dan n
s t
x
p
. +
masing-masing merupakan batas bawah dan batas atas kepercayaan.
Jika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi N yakni
5 N
n , maka rumus I..3 dan rumus I.5 menjadi:
I.6 1
. 1
.
2 1
2 1
− −
+ −
− −
N n
N n
z x
N n
N n
z x
σ µ
σ
γ γ
I.7 1
. 1
. −
− +
− −
− N
n N
n s
t x
N n
N n
s t
x
p p
µ
c. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi
normal
Jika ukuran sampel n tidak terlalu kecil, maka dapat digunakan dalil limit pusat. Selanjutnya aturan-aturan yang diuraikan dalam bagian b di atas dapat
digunakan dengan kekeliruan yang sangat kecil. Jika distribusi populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel
kecil sekali, maka teorinya harus dipecahkan menggunakan bentuk distribusi asli dari populasi yang bersangkutan.
Hal ini tidak dibicarakan di sini.
Contoh
Sebuah populasi berdistribusi normal berukuran 1000 dengan simpangan baku 5,75. dari populasi diambil sampel acak dan diperoleh rata-rata 68,6. Taksirlah:
a. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 30
b. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 80
dengan menggunakan kepercayaan 95 .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
7
Penyelesaian
Diketahui x = 68,6 σ = 5,75
γ = 95 = 0,95 γ
2 1
475 ,
= Æ
475 ,
z = 1,96
a. Sampel n = 30 Æ
5 1000
30 ≤ =
N n
n z
x n
z x
σ µ
σ
γ γ
. .
2 1
2 1
+ −
30 75
, 5
. 96
, 1
6 ,
68 30
75 ,
5 .
96 ,
1 6
, 68
+ −
µ 66
, 70
54 ,
66 µ
Jadi, 95 interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah 66
, 70
54 ,
66 µ
. Dengan kata lain, kita merasa 95 yakin percaya bahwa rata-rata populasi
tersebut akan ada dalam interval dengan batas 66,54 dan 70,66. b.
Sampel n = 80 Æ 5
1000 80 ≥
= N
n
1 .
1 .
2 1
2 1
− −
+ −
− −
N n
N n
z x
N n
N n
z x
σ µ
σ
γ γ
1 1000
80 1000
. 30
75 ,
5 .
96 ,
1 6
, 68
1 1000
80 1000
30 75
, 5
. 96
, 1
6 ,
68 −
− +
− −
− µ
a a
+ −
6 ,
68 6
, 68
µ Jadi, 95 interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah
a a
+ −
6 ,
68 6
, 68
µ .
Dengan kata lain, kita merasa 95 yakin percaya bahwa rata-rata populasi tersebut akan ada dalam interval dengan batas
a −
6 ,
68 dan
a +
6 ,
68 .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
8
3. Menaksir Proporsi
Misalkan sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi binomial berukuran N dimana terdapat proporsi
π untuk peristiwa A yang ada dalam populasi tersebut. Jika terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk
peristiwa A = n
x . Jadi titik taksiran untuk π adalah
n x .
Digunakan pendekatan oleh distribusi normal kepada binomial untuk ukuran sampel n cukup besar.
Rumus 100 γ keyakinan untuk interval kepercayaan π adalah
I.8 n
pq z
p n
pq z
p .
.
2 1
2 1
γ γ
π +
− dengan
n x
p =
dan p
q −
=1 sedangkan
γ 2
1
z adalah bilangan z yang
diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ
2 1
.
Contoh
Diadakan survei terhadap sebuah populasi masyarakat di kota Semarang dengan mengambil sampel 100 orang dan diperoleh yang suka berolahraga sejumlah 60
orang. Dengan koefisien kepercayaan 95, taksirlah interval kesukaan berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut.
Penyelesaian
Diketahui γ = 95 = 0,95
γ 2
1 475
, =
Æ
475 ,
z = 1,96
6 ,
100 60 =
= p
Æ q = 0,4 Interval kepercayaan
π adalah
n pq
z p
n pq
z p
. .
2 1
2 1
γ γ
π +
−
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
9 100
4 ,
6 ,
. 96
, 1
6 ,
100 4
, 6
, .
96 ,
1 6
, +
− π
696 ,
504 ,
π 6
, 69
4 ,
50 π
Jadi, kita merasa 95 yakin percaya bahwa persentase kesukaan berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut akan ada dalam interval
dengan batas 50,4 dan 69,6 .
4. Menaksir Simpangan Baku σ
Untuk menaksir varians
2
σ dari sebuah populasi, maka perlu dihitung sampel varians
2
s berdasarkan sampel acak berukuran n. I.9
1
2 2
− −
=
∑
n x
x s
i
Varians
2
s adalah penaksir takbias untuk varians
2
σ , tetapi simpangan baku s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku
σ . Jadi titik taksiran s untuk
σ adalah bias.
Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians
2
σ , maka 100 γ interval kepercayaan untuk
2
σ ditentukan dengan menggunakan distribusi chi-kuadrat.
I.10
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2
1 1
γ γ
χ σ
χ
− +
− −
s n
s n
dengan n ukuran sampel sedangkan
2 1
2 1
γ
χ
+
dan
2 1
2 1
γ
χ
−
diperoleh dari daftar chi-kuadrat berturut-turut untuk
γ +
= 1
2 1
p dan
γ −
= 1
2 1
p dengan
1 −
= n dk
. Interval taksiran simpangan baku
σ diperoleh dengan melakukan penarikan akar ketidaksamaan dalam rumus I.10.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
10
Contoh
Dari sebuah populasi yang berdistribusi normal, diambil sampel yang representatif dan diperoleh simpangan baku sebesar 6 dengan ukuran sampel 31. Dengan
koefisien kepercayaan 99, taksirlah interval dari simpangan baku populasi.
Penyelesaian
Diketahui n = 31 s = 6
γ = 99 = 0,99 7
, 53
2 30
, 995
, 2
1 31
, 99
, 1
2 1
2 ,
1 2
1
= =
=
− +
+
χ χ
χ
γ dk
8 ,
13
2 30
, 005
, 2
1 31
, 99
, 1
2 1
2 ,
1 2
1
= =
=
− −
−
χ χ
χ
γ dk
Interval kepercayaan simpangan baku populasi adalah
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2
1 1
γ γ
χ σ
χ
− +
− −
s n
s n
8 ,
13 6
1 31
7 ,
53 6
1 31
2 2
2
− −
σ
8 ,
13 6
1 31
7 ,
53 6
1 31
2 2
− −
σ 8465
, 8
4846 ,
4 σ
Jadi, kita merasa 99 yakin percaya bahwa simpangan baku populasi tersebut akan ada dalam interval dengan batas 4,4846 dan 8,8465.
5. Menaksir Selisih Rata-Rata
Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku masing-masing
1
µ dan
1
σ untuk populasi pertama,
2
µ dan
2
σ untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah sampel acak dengan ukuran
1
n dan
2
n dari masing-masing populasi. Rata-rata dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut
1
x ,
1
s dan
2
x ,
2
s .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
11 Akan ditaksir selisih rata-rata
2 1
µ µ −
. Titik taksiran untuk adalah
2 1
µ µ −
adalah
2 1
x x
− .
Untuk menaksir selisih rata-rata dibedakan hal-hal berikut:
a. Dalam hal
2 1
σ σ =
Jika kedua populasi normal dan memiliki σ
σ σ
= =
2 1
yang besarnya diketahui, maka 100
γ interval kepercayaan untuk
2 1
µ µ −
adalah I.11
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
1 1
n n
z x
x n
n z
x x
+ +
− −
+ −
− σ
µ µ
σ
γ γ
dengan
γ 2
1
z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang
γ 2
1 .
Jika kedua populasi normal dan memiliki σ
σ σ
= =
2 1
tetapi besarnya tidak diketahui, maka perlu tentukan varians gabungan dari sampel yang dinyatakan
dengan
2
s . I.12
2 1
1
2 1
2 2
2 2
1 1
2
− +
− +
− =
n n
s n
s n
s Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi Student.
Rumus untuk 100 γ interval kepercayaan
2 1
µ µ −
adalah I.13
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
. 1
1 .
n n
s t
x x
n n
s t
x x
p p
+ +
− −
+ −
− µ
µ dengan s diperoleh dari rumus I.12 dan
p
t diperoleh dari daftar distribusi Student dengan
γ +
= 1
2 1
p dan
2
2 1
− +
= n
n dk
.
b. Dalam hal
2 1
σ σ ≠
Untuk populasi normal dengan
2 1
σ σ ≠
teori di atas tidak berlaku dan teori yang ada hanya bersifat pendekatan.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
12 Dengan memisalkan
1 1
σ =
s dan
2 2
σ =
s untuk sampel-sampel acak
berukuran cukup besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal. Rumus interval kepercayaan ditentukan oleh:
I.14
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
n s
n s
z x
x n
s n
s z
x x
+ +
− −
+ −
−
γ γ
µ µ
dengan
γ 2
1
z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang
γ 2
1 .
c. Observasi berpasangan
Misalkan populasi pertama memiliki variabel acak X dan populasi kedua dengan variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing
x
µ dan
y
µ . Diambil sampel acak dari tiap populasi yang berukuran sama,
n n
n =
=
2 1
. Diperoleh data sampel
n
x x
x ,
, ,
2 1
K dan
n
y y
y ,
, ,
2 1
K , dan bila data
observasi ini berpasangan maka
1
x berpasangan dengan
1
y
2
x berpasangan dengan
2
y M
n
x berpasangan dengan
n
y
Dalam hal berpasangan, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata
y x
B
µ µ
µ −
= , dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data yaitu
1 1
1
y x
B −
= ,
2 2
2
y x
B −
= ,…,
n n
n
y x
B −
= .
Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari
1
B ,
2
B ,…,
n
B , dihitung rata-rata B dan simpangan baku
B
s dengan menggunakan
n B
B
i
∑
= dan
1
2 2
1
− −
=
∑ ∑
n n
B B
n s
i B
Rumus untuk 100 γ interval kepercayaan
B
µ adalah I.15
n s
t B
n s
t B
B p
B p
. .
B
+ −
µ
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
13 dengan
p
t diperoleh dari daftar distribusi Student dengan γ
+ =
1 2
1 p
dan 1
− = n
dk .
Contoh Sudjana
Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I dilakukan 50 kali yang menghasilkan
1
x = 60,2 dan
2 1
s = 24,7. Cara II dilakukan 60 kali dengan
2
x = 70,4 dan
2 2
s = 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95 mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut.
Penyelesaian
Diketahui
1
x = 60,2 ;
2 1
s = 24,7
2
x = 70,4 ;
2 2
s = 37,2 Dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal.
975 ,
95 ,
1 2
1 1
2 1
= +
= +
= γ
p ;
108 2
60 50
= −
+ =
dk Karena kedua populasi normal dan memiliki
σ σ
σ =
=
2 1
tetapi besarnya tidak diketahui, maka varians gabungan dari sampel adalah
53 ,
31 2
60 50
2 ,
37 1
60 7
, 24
1 50
2 1
1
2 1
2 2
2 2
1 1
2
= −
+ −
+ −
= −
+ −
+ −
= n
n s
n s
n s
Maka interval kepercayaan
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
. 1
1 .
n n
s t
x x
n n
s t
x x
p p
+ +
− −
+ −
− µ
µ
60 53
, 31
50 53
, 31
. 2
, 60
4 ,
70 60
53 ,
31 50
53 ,
31 .
2 ,
60 4
, 70
108 ;
975 ,
2 1
108 ;
975 ,
+ +
− −
+ −
− t
t µ
µ
08 ,
1 .
984 ,
1 2
, 60
4 ,
70 08
, 1
. 984
, 1
2 ,
60 4
, 70
2 1
+ −
− −
− µ
µ 34
, 12
06 ,
8
2 1
− µ
µ
Jadi, kita merasa 95 yakin percaya bahwa selisih rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.
6. Menaksir Selisih Proporsi
Misalkan dipunyai dua populasi binomial dengan parameter untuk peristiwa yang sama masing-masing
1
π dan
2
π . secara independen dari tiap populasi
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
14 diambil sebuah sampel acak berukuran
1
n dan
2
n . Proporsi untuk peristiwa yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah
1 1
1
n x
p =
dan
2 2
2
n x
p =
dengan
1
x dan
2
x menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan.
Akan ditentukan interval taksiran untuk
2 1
π π −
dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal asalkan
1
n dan
2
n cukup besar. Rumus untuk 100
γ interval kepercayaan selisih
2 1
π π −
adalah I.16
2 2
2 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
1 1
2 1
2 1
n q
p n
q p
z p
p n
q p
n q
p z
p p
+ +
− −
+ −
−
γ γ
π π
dengan
1 1
1 p
q −
= dan
2 2
1 p
q −
= sedangkan
γ 2
1
z diperoleh dari daftar
normal baku untuk peluang γ
2 1
.
Contoh Sudjana
Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas 500 pemudi dan 700 pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Ternyata diperoleh bahwa 325
pemudi dan 400 menyukai pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95 mengenai perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran
dan menyukainya.
Penyelesaian
Diketahui persentase pemudi yang menyukai pameran
65 100
500 325
1 1
1
= ×
= =
n x
p persentase pemuda yang menyukai pameran
57 100
700 400
2 2
2
= ×
= =
n x
p Jadi,
35 65
1 1
1 1
= −
= −
= p
q dan
43 57
1 1
2 2
= −
= −
= p
q Maka interval kepercayaan
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
15
2 2
2 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
1 1
2 1
2 1
n q
p n
q p
z p
p n
q p
n q
p z
p p
+ +
− −
+ −
−
γ γ
π π
700 43
, 57
, 500
35 ,
65 ,
57 ,
65 ,
700 43
, 57
, 500
35 ,
65 ,
57 ,
65 ,
95 ,
. 2
1 2
1 95
, .
2 1
+ +
− −
+ −
− z
z
π π
0284 ,
96 ,
1 57
, 65
, 0284
, 96
, 1
57 ,
65 ,
2 1
+ −
− −
− π
π 136
, 024
,
2 1
− π
π Jadi, kita merasa 95 yakin percaya bahwa perbedaan persentase pemuda dan
pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 2,4 dan 13,6.
LATIHAN
1. Diketahui populasi siswa dengan ukuran 100 Taksirlah rata-rata penguasaan
kemampuan bahasa dari populasi tersebut jika: a.
diambil sampel secara acak sebanyak 4 siswa dengan penguasaan kemampuan bahasa berikut 60,2 ; 65,4 ; 70,1 dan 72,8 dengan koefisien
kepercayaan 95. b.
diambil sampel secara acak sebanyak 10 siswa dengan penguasaan kemampuan bahasa berikut 60,4 ; 55,7 ; 70,2 ; 70,3 ; 60,5 ; 66,6 ; 62,8 ;
63,9 ; 70,1 ; 64,8 dengan koefisien kepercayaan 99. 2.
Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil dalam gram: 142, 157, 138, 175, 152, 149, 148, 200, 182, 164. Jika berat tomat berdistribusi normal,
tentukan interval kepercayaan 95 untuk rata-rata berat tomat. 3.
Diketahui dua buah sampel yang diambil dari dua buah populasi. Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45
Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63 Tentukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaan 95 , jika:
a. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar yaitu 9,5.
b. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar namun tidak
diketahui nilainya.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
16 c.
simpangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama.
4. Dari populasi tanaman padi jenis A dan jenis B, diambil sampel tinggi
tanaman padi sbb: Sampel I dari padi jenis A : 39,3 ; 45,5 ; 41,2 ; 53 ; 44,2 ; 42,5 ; 63,9.
Sampel II dari padi jenis B : 37 ; 42,4 ; 40,1 ; 52,2 ; 41,5 ; 40,8 ; 60,2. Dengan observasi berpasangan tersebut dan interval kepercayaan 95 ,,
taksirlah selisih rata-ratanya. 5.
Sebuah sampel berukuran 200 lampu yang dihasilkan oleh sebuah mesin produksi menunjukkan 15 buah lampu rusak. Sebuah sampel lain berukuran
100 buah lampu yang dihasilkan oleh mesin kedua mengandung 12 buah lampu yang rusak. Tentukan interval kepercayaan 99 untuk selisih kedua
perbandingan.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
17
BAB II PENGUJIAN HIPOTESIS
1. Pendahuluan
Sebelumnya telah dipelajari cara-cara menaksir parameter untuk mengambil kesimpulan tentang berapa besar harga parameter. Cara pengambilan
kesimpulan yang kedua akan dipelajari adalah melalui pengujian hipotesis. Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk
menjelaskan hal tersebut yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya.
Jika asumsi atau dugaan tersebut dikhususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis disebut hipotesis
statistik. Contoh hipotesis
a. peluang lahirnya bayi berjenis kelamin laki-laki = 0,5.
b. 25 masyarakat termasuk golongan A.
c. Rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp 300.000,00 tiap bulan.
Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar, maka perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk
menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis.
2. Dua Macam Kekeliruan
Meskipun dalam penelitian hipotesis telah diterima atau ditolak, tidak berarti bahwa telah dibuktikan kebenaran hipotesis. Yang diperlihatkan adalah hanya
menerima atau menolak hipotesis saja. Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat
terjadi, yaitu:
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
18 a.
Kekeliruan tipe I ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima, b.
Kekeliruan tipe II ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.
Tipe Kekeliruan Ketika Membuat Kesimpulan tentang Hipotesis Keadaan Sebenarnya
Kesimpulan Hipotesis Benar
Hipotesis Salah
Terima Hipotesis BENAR
SALAH Kekeliruan tipe II
Tolak Hipotesis SALAH
Kekeliruan tipe II BENAR
Kedua tipe kekeliruan dinyatakan dalam bentuk peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan
α alpha maka disebut pula kekeliruan
α dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan β beta dikenal dengan kekeliruan
β . α disebut taraf signifikan level of significan atau taraf arti atau sering
disebut taraf nyata. Jika
α diperkecil, maka β menjadi besar dan demikian sebaliknya.
Harga α yang biasa digunakan adalah
01 ,
= α
atau 05
, =
α .
Misalnya, dengan 05
, =
α atau sering disebut taraf nyata taraf signifikansi
5, artinya kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa akan menolak hipotesis yang harusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95 yakin
bahwa telah dibuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti mungkin salah
dengan peluang 0,05.
3. Langkah Pengujian Hipotesis
Pengujian hipotesis akan membawa pada kesimpulan untuk menerima atau menolak hipotesis. Sehingga terdapat dua pilihan, dimana digunakan
perumusan seperlunya agar lebih terperinci dan lebih mudah dalam penentuan di antara dua pilihan tersebut.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
19 Hipotesis yang biasa dinyatakan dengan H, perlu dirumuskan dengan singkat
dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Agar tampak adanya dua pilihan, maka hipotesis H ini didampingi pernyataan lain yang isinya
berlawanan yang disebut dengan hipotesis tandingan alternatif yang dinyatakan dengan A.
Pasangan hipotesis H dan A, tepatnya H melawan A, akan menentukan kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah penolakan
hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering disebut dengan daerah kritis. Bila menguji parameter
θ θ dapat berupa rata-rata µ , proporsi π ,
simpangan baku σ , dll, maka:
a. Hipotesis mengandung pengertian sama
Pengujian sederhana lawan sederhana 1
H : θ
θ = A :
1
θ θ =
dengan
1
, θ
θ dua nilai berbeda yang diketahui.
Pengujian sederhana lawan komposit 2
H : θ
θ = A :
θ θ ≠
3 H :
θ θ =
A : θ
θ 4
H : θ
θ = A :
θ θ
b. Hipotesis mengandung pengertian maksimum pengujian komposit lawan
komposit H :
θ θ ≤
A : θ
θ
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
20 c.
Hipotesis mengandung pengertian minimum pengujian komposit lawan komposit
H : θ
θ ≥ A :
θ θ
Berikut hanya akan dipelajari pengujian terhadap hipotesis yang perumusannya mengandung pengertian sama atau tidak memiliki perbedaan,
disebut hipotesis nol H melawan hipotesis tandingannya
1
H , yang mengandung pengertian tidak sama, lebih besar atau lebih kecil.
1
H harus dipilih dan ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi.
Pasangan H dan
1
H yang telah dirumuskan dituliskan dalam bentuk berikut.
⎩ ⎨
⎧ ≠
=
1
: H
: H
θ θ
θ θ
atau
⎩ ⎨
⎧ =
1
: H
: H
θ θ
θ θ
atau
⎩ ⎨
⎧ =
1
: H
: H
θ θ
θ θ
Selanjutnya, pilih bentuk statistik yang akan digunakan, apakah z, t,
2
χ , F atau lainnya. Harga statistik yang dipilih dihitung besarnya berdasarkan data
sampel yang dianalisis. kriteria pengujian ditentukan berdasarkan pilihan taraf nyata
α atau disebut ukuran daerah kritis.
Peran hipotesis tandingan
1
H dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai berikut:
1 Jika
1
H mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik yang digunakan didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung
distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
21 α
2 1
. Karena adanya dua daerah penolakan maka pengujian hipotesis dinamakan uji dua pihak.
Kedua daerah dibatasi oleh d
1
dan d
2
pada contoh gambar d
1
dinyatakan dengan nilai z = -1,96 dan d
2
dinyatakan dengan z = 1,96 yang harganya diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan
oleh α .
Kriteria yang digunakan: terima H jika harga statistik yang dihitung
berdasarkan data penelitian terletak diantara d
1
dan d
2
, selain itu tolak H .
2 Jika
1
H mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi statistik yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah
kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
22 Harga d pada contoh gambar d
dinyatakan dengan nilai z = 1,96 diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan oleh
α , menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan
H . Kriteria yang digunakan: tolak
H jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d, selain itu terima
H . Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.
3 Jika
1
H mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah
kiri. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .
Gambar daerah penerimaan dan penolakan akan sama dengan pada option 2 di atas, namun daerah penolakan terletak disebelah kiri.
Kriteria yang digunakan: terima H jika statistik yang dihitung berdasarkan
penelitian lebih besar dari d, selain itu tolak H .
Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri. Secara ringkas langkah pengujian hipotesis adalah:
1. Rumuskan hipotesis pengujian yang akan digunakan.
2. Tentukan besarnya taraf nyata α .
3. Tentukan kriteria pengujian.
4. Tentukan nilai statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang
diambil. 5.
Menarik kesimpulan menerima atau menolah H berdasarkan hasil 3 dan 4.
4. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ
dan simpangan baku σ . Untuk menguji parameter rata-rata µ , diambil
sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik x dan s .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
23
a. Dalam hal σ diketahui
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
≠ =
1
: H
: H
µ µ
µ µ
dengan µ sebuah harga yang
diketahui. 2.
Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3.
Kriteria pengujian. Terima
H jika
α α
− −
−
1 2
1 1
2 1
z z
z , selainnya tolak
H . Dengan
α −
1 2
1
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang α
− 1
2 1
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil. II.1
n x
z σ
µ −
=
dengan x adalah rata-rata sampel,
µ nilai yang diketahui, σ adalah simpangan baku populasi.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Namun timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut telah berubah.
Maka dilakukan pengujian terhadap 50 lampu untuk menentukan hal ini. Ternyata diperoleh rata-ratanya 792 jam. Berdasarkan pengalaman diketahui simpangan
baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan menggunakan kepercayaan 95 apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.
Penyelesaian
Diketahui x = 792 ; n = 50 ;
σ = 60
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
24 Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ ≠
=
1
: H
: H
µ µ
µ µ
yaitu ⎩
⎨ ⎧
≠ =
800 :
H 800
: H
1
µ µ
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
α α
− −
−
1 2
1 1
2 1
z z
z
05 ,
1 2
1 05
, 1
2 1
− −
− z
z z
Æ 96 ,
1 96
, 1
− z
Dengan
α −
1 2
1
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
α −
1 2
1 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil
94 ,
50 60
800 792
− =
− =
− =
n x
z σ
µ
5. Kesimpulan : karena
94 ,
− =
hitung
z terletak dalam daerah penerimaan
H maka H diterima. Jadi,
800 =
µ . Artinya, dalam taraf signifikansi 5
hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu masih 800 jam.
b. Dalam hal σ tidak diketahui
Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka
digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s . Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ ≠
=
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima H
jika
α α
2 1
1 2
1 1
− −
− t
t t
, selainnya tolak H
.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
25 Dengan
α 2
1 1
−
t diperoleh dari daftar distribusi t distribusi Student
dengan peluang α
2 1
1 −
dan 1
− = n
dk .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil.
II.2 n
s x
t µ
− =
II.3 1
2
− −
=
∑
n x
x s
i
dengan x adalah rata-rata sampel,
µ nilai yang diketahui, s adalah simpangan baku sampel.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Untuk contoh sebelumnya kasus masa hidup lampu pijar, dimisalkan simpangan baku populasi tidak diketahui, dan dari sampel diperoleh s = 55 jam. Selidikilah
dengan menggunakan kepercayaan 95 apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.
Penyelesaian
Diketahui x = 792 ; n = 50 ; s = 55
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
≠ =
1
: H
: H
µ µ
µ µ
yaitu ⎩
⎨ ⎧
≠ =
800 :
H 800
: H
1
µ µ
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Terima H
jika
α α
2 1
1 2
1 1
− −
− t
t t
dengan dk = 50 - 1 = 49
05 ,
1 2
1 05
, 1
2 1
− −
− t
t t
Æ 01
, 2
01 ,
2 −
t 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
26 029
, 1
50 55
800 792
− =
− =
− =
n s
x t
µ
5. Kesimpulan : karena
029 ,
1 −
=
hitung
t terletak dalam daerah penerimaan
H maka
H diterima. Jadi,
800 =
µ . Artinya, dalam taraf signifikansi 5
hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu masih 800 jam.
5. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Satu Pihak
Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dan diambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu dihitung statistik
x dan s . Uji Pihak Kanan
a. Dalam hal σ diketahui
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
=
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
≥
5 ,
z z
, selainnya H diterima.
Dengan
α −
5 ,
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang α
− 5
, .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil
menggunakan statistik z yang sama dengan rumus II.1. 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
b. Dalam hal σ tidak diketahui
Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka
digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
27 Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ =
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
≥
1
t t
, selainnya H diterima.
Dengan
α −
1
t diperoleh dari daftar distribusi t distribusi Student
dengan peluang α
− 1
dan 1
− = n
dk .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil
menggunakan statistik t yang sama dengan rumus II.2. 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi memiliki varians 2,3. metode baru diusulkan untuk mengganti metode lama jika
rata-ratanya per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode akan diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata
rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil risiko 5 untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan
labih dari 16 buah. Apakah keputusan yang akan diambil pengusaha?
Penyelesaian
Diketahui x = 16,9 ; n = 20 ;
σ = 3
, 2
, µ =16
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
≠ =
1
: H
: H
µ µ
µ µ
yaitu ⎩
⎨ ⎧
= 16
: H
16 :
H
1
µ µ
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
≥
5 ,
z z
Æ 64
, 1
05 ,
5 ,
5 ,
= =
− −
z z
α
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
28 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil 65
, 2
20 3
, 2
16 9
, 16
= −
= −
= n
x z
σ µ
5. Kesimpulan : karena
64 ,
1 65
, 2
5 ,
= =
− α
z z
hitung
terletak pada daerah kritis maka
H ditolak. Jadi, 16
µ . Sehingga dapat disimpulkan bahwa dengan
risiko 5 metode baru dapat menggantikan metode lama.
Uji Pihak Kiri a.
Dalam hal σ diketahui
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
=
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
− ≤
5 ,
z z
, selainnya H diterima.
Dengan
α −
5 ,
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang α
− 5
, .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil
menggunakan statistik z yang sama dengan rumus II.1. 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
b. Dalam hal σ tidak diketahui
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
=
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
− ≤
1
t t
. Terima
H jika
α −
−
1
t t
.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
29 Dengan
α −
1
t diperoleh dari daftar distribusi Student t dengan peluang
α −
1 dan
1 −
= n dk
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus II.2.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan kaleng tidak sesuai dengan yang tertera pada kemasannya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini,
23 kaleng makanan diteliti secara acak. Dari sampel tersebut diperoleh berat rata- rata 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 5, bagaimanakah
pendapat anda mengenai keluhan masyarakat tersebut.
Penyelesaian
Diketahui x = 4,9 ; n = 23 ; s = 0,2 ; µ = 5
Langkah pengujian hipotesis dengan varians populasi tidak diketahui: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
≠ =
1
: H
: H
µ µ
µ µ
yaitu ⎩
⎨ ⎧
= 5
: H
5 :
H
1
µ µ
Jika rata-rata berat makanan kaleng tidak kurang dari 5 ons tentu masyarakat tidak akan mengeluh.
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
− ≤
1
t t
Æ 72 ,
1
05 ,
1 1
− =
− =
−
− −
t t
α
dengan dk = 23 - 1 = 22 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil 398
, ,
2 23
2 ,
5 9
, 4
− =
− =
− =
n s
x t
µ
5. Kesimpulan : karena
72 ,
1 398
, 2
1
− =
− −
=
− α
t t
hitung
terletak pada daerah kritis maka
H ditolak. Jadi, 5
µ . Sehingga dapat disimpulkan penelitian tersebut
menguatkan keluhan masyarakat mengenai berat makanan kaleng yang kurang dari berat yang tertera pada kemasan yaitu 5 ons.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
30
6. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai populasi binomial dengan proporsi peristiwa A adalah π .
Untuk menguji parameter proporsi π , diambil sebuah sampel acak berukuran
n dari populasi dan menghitung proporsi sampel peristiwa A sebesar n
x .
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
≠ =
1
: H
: H
π π
π π
dengan π sebuah harga yang diketahui.
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
α α
− −
−
1 2
1 1
2 1
z z
z , selainnya tolak
H . Dengan
α −
1 2
1
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang α
− 1
2 1
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil. II.4
n n
x z
1 π
π π
− −
=
dengan n
x adalah proporsi peristiwa A dari sampel dan π adalah
proporsi yang diuji. 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Akan diuji distribusi jenis kelamin laki-laki dan jenis kelamin perempuan adalah sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang terdiri atas 2.458 laki-laki.
Dalam taraf nyata 5, apakah benar distribusi kedua jenis kelamin tersebut adalah sama.
Penyelesaian
Diketahui x = 2.458; n = 4800 ; µ = 0,5
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
31 Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ ≠
=
1
: H
: H
π π
π π
yaitu ⎩
⎨ ⎧
≠ =
5 ,
: H
5 ,
: H
1
π π
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
α α
− −
−
1 2
1 1
2 1
z z
z
05 ,
1 2
1 05
, 1
2 1
− −
− z
z z
Æ 96 ,
1 96
, 1
− z
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil.
68 ,
1 4800
5 ,
1 5
, 5
, 4800
2458 1
= −
− =
− −
= n
n x
z π
π π
5. Kesimpulan :
karena 68
, 1
=
hitung
z terletak dalam daerah penerimaan
H maka H diterima. Jadi,
5 ,
= µ
. Artinya, benar distribusi kedua jenis kelamin tersebut adalah sama.
7. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Satu Pihak
Uji Pihak Kanan
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
=
1
: H
: H
π π
π π
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
≥
5 ,
z z
. Terima
H jika
α −
5 ,
z z
. Dengan
α −
5 ,
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
α −
5 ,
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus II.4.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
32 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Uji Pihak Kiri
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
=
1
: H
: H
π π
π π
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
− ≤
5 ,
z z
, selainnya terima H .
Dengan
α −
5 ,
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
α −
5 ,
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus II.4.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Berbagai media memberitakan bahwa dari seluruh wanita 60 nya suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya. Untuk menyelidiki kebenaran
berita tersebut, maka diambil sampel acak 100 orang wanita dan setelah diwawancarai ternyata yang suka menonton sinetron hanya 40 orang. Dengan
α = 5, ujilah kebenaran pernyataan berita tersebut dengan alternatif bahwa wanita
suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya kurang dari 60.
Penyelesaian
Diketahui x = 40 n = 100 6
, 60
= =
π Langkah pengujian hipotesis uji pihak kiri:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ =
1
: H
: H
π π
π π
yaitu ⎩
⎨ ⎧
= 6
, :
H 6
, :
H
1
π π
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
33 Tolak
H jika
α −
− ≤
5 ,
z z
Æ
005 ,
5 ,
−
− ≤ z
z Æ
45 ,
z z
− ≤
Æ 64
, 1
− ≤
z Terima
H jika
α −
−
5 ,
z z
Æ 64
, 1
− z
α −
5 ,
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
α −
5 ,
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel 08
, 4
100 6
, 1
6 ,
6 ,
100 40
1 −
= −
− =
− −
= n
n x
z π
π π
5. Kesimpulan: karena
α −
− =
− −
=
5 ,
64 ,
1 08
, 4
z z
hitung
maka H ditolak.
Jadi, π
π . Artinya, pemberitaan di media mengenai kesukaan wanita
menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya tidak benar.
8. Uji Hipotesis Varians
2
σ : Uji Dua Pihak
Pada pengujian rata-rata
µ untuk populasi normal diperoleh hal dimana
simpangan baku σ diketahui yang umumnya diperoleh dari pengalaman dan
untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk itu dimisalkan populasi berdistribusi normal dengan varians
2
σ
dan daripadanya diambil sebuah sampel acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya
2
s dihitung dengan rumus:
1
2 2
− −
=
∑
n x
x s
i
atau 1
2 2
2
− −
=
∑ ∑
n n
x x
n s
i i
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ≠
=
2 2
1 2
2
: H
: H
σ σ
σ σ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
2 2
1 1
2 2
2 1
α α
χ χ
χ
−
, selainnya tolak H .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
34 Dengan
2 2
1 α
χ dan
2 2
1 1
α
χ
−
diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan
1 −
= n dk
dan masing-masing peluang α
2 1
dan α
2 1
1 −
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil. II.5
2 2
2
1 σ
χ s
n −
=
II.6 1
2 2
− −
=
∑
n x
x s
i
atau
II.7 1
2 2
2
− −
=
∑ ∑
n n
x x
n s
i i
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Pada kasus sebelumnya tentang masa hidup lampu, diambil σ = 60 jam dengan
ukuran sampel n = 50 diperoleh s = 55 jam. Jika masa hidup lampu berdistribusi normal, benarkah
σ = 60 jam dalam taraf nyata 5.
Penyelesaian
Diketahui σ = 60 jam ; n = 50 ; s = 55 jam
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ≠
=
2 2
1 2
2
: H
: H
σ σ
σ σ
yaitu ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ≠
= 3600
: H
3600 :
H
2 1
2
σ σ
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
2 2
1 1
2 2
2 1
α α
χ χ
χ
−
dengan 49
1 50
1 =
− =
− = n
dk
2 05
, .
2 1
1 2
2 05
, .
2 1
−
χ χ
χ Æ
2 975
, 2
2 025
,
χ χ
χ 4
, 71
4 ,
32
2
χ 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil. 174
, 41
3600 025
, 3
1 50
1
2 2
2
= −
= −
= σ
χ s
n
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
35 5.
Kesimpulan : karena
174 ,
41
2
= χ
terletak dalam daerah penerimaan H maka
H diterima. Jadi, 3600
2
= σ
. Artinya, benar σ = 60 jam dalam taraf nyata
5.
9. Uji Hipotesis Varians
2
σ : Uji Satu Pihak Uji Pihak Kanan
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ =
2 2
1 2
2
: H
: H
σ σ
σ σ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
2 1
2 α
χ χ
−
≥ , selainnya terima
H . Dengan
2 1
α
χ
−
diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan 1
− = n
dk dan peluang
α −
1 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil
menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus II.5. 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Uji Pihak Kiri
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ =
2 2
1 2
2
: H
: H
σ σ
σ σ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
2 2
α
χ χ ≤
, selainnya terima H .
Dengan
2 α
χ diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan 1
− = n
dk dan peluang
α .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
36 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus II.5.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh Walpole
Seorang pengusaha pembuat baterai menyatakan umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku sama dengan 0,9 tahun. Diambil sampel
acak sebesar 10 baterai mempunyai simpangan baku 1,2 tahun. Gunakan taraf nyata 5 untuk menguji apakah
σ 0,81 tahun
Penyelesaian
Diketahui σ = 0,81 tahun ; n = 10 ; s = 1,2 tahun
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ =
2 2
1 2
2
: H
: H
σ σ
σ σ
yaitu ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ =
81 ,
: H
81 ,
: H
2 1
2
σ σ
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
2 1
2 α
χ χ
−
≥ , selainnya terima
H . 919
, 16
2 05
, .
2 1
= χ
dengan 9
1 10
1 =
− =
− = n
dk 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil. ,
16 81
, 44
, 31
1 10
1
2 2
2
= −
= −
= σ
χ s
n 5.
Kesimpulan : karena
919 ,
16 16
2 05
, .
2 1
2
= =
χ χ
terletak dalam daerah penerimaan
H maka H diterima. Jadi,
81 ,
2
= σ
. Artinya, tidak ada alasan meragukan bahwa simpangan baku umur baterai adalah 0,9 tahun.
10. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Dua Pihak
Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua populasi. Misalnya membandingkan hasil belajar, daya kerja suatu obat, dsb. Maka
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
37 akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya
selisih rata-rata dan selisih proporsi. Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan
rata-rata dan simpangan baku masing-masing
1
µ dan
1
σ untuk populasi pertama,
2
µ dan
2
σ untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah sampel acak dengan ukuran
1
n dan
2
n dari masing-masing populasi. Rata-rata dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut
1
x ,
1
s dan
2
x ,
2
s . Akan diuji tentang rata-rata
1
µ dan
2
µ .
a. Dalam hal
σ σ
σ =
=
2 1
dan σ diketahui
Langkah pengujian hipotesis: a.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
≠ =
2 1
1 2
1
: H
: H
µ µ
µ µ
b. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
c. Kriteria pengujian.
Terima H
jika
α α
− −
−
1 2
1 1
2 1
z z
z , selainnya tolak
H .
Dengan
α −
1 2
1
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang α
− 1
2 1
. d.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil. II.8
2 1
2 1
1 1
n n
x x
z +
− =
σ e.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
b. Dalam hal
σ σ
σ =
=
2 1
tetapi σ tidak diketahui
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
≠ =
2 1
1 2
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
38 3.
Kriteria pengujian. Terima
H jika
α α
2 1
1 2
1 1
− −
− t
t t
, selainnya tolak H .
Dengan
α 2
1 1
−
t diperoleh dari daftar distribusi t distribusi Student
dengan peluang α
2 1
1 −
dan 2
2 1
− +
= n
n dk
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil. II.9
2 1
2 1
1 1
n n
s x
x t
+ −
=
II.10 2
1 1
2 1
2 2
2 2
1 1
2
− +
− +
− =
n n
s n
s n
s 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh Sudjana
Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui makanan mana yang lebih baik bagi ayam.
Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi makanan B. Hasil percobaan pertambahan berat badan ayam ons sebagai berikut
Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4
Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 2,6 3,7
Bila populasinya dianggap normal, ujilah pada taraf nyata 5, apakah kedua makanan tersebut sama baiknya atau tidak
Penyelesaian
Diketahui dari data di atas
A
x = 3,22 ;
B
x = 3,07 ;
2 A
s = 0,1996 ;
2 B
s = 0,1112. Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun
sama besar. Langkah pengujian hipotesis dalam hal
σ σ
σ =
=
2 1
tetapi
σ tidak diketahui
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ ≠
=
2 1
1 2
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2. Taraf signifikansi α = 5.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
39 3.
Kriteria pengujian. Terima
H jika
α α
2 1
1 2
1 1
− −
− t
t t
dengan 19
2 10
11 2
2 1
= −
+ =
− +
= n
n dk
α α
2 1
1 2
1 1
− −
− t
t t
Æ
05 ,
. 2
1 1
05 ,
. 2
1 1
− −
− t
t t
Æ 09
, 2
09 ,
2 −
t 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil. Simpangan baku gabungan
2 1
1
2 1
2 2
2 2
1 1
2
− +
− +
− =
n n
s n
s n
s diperoleh s = 0,397.
862 ,
10 1
11 1
397 ,
07 ,
3 22
, 3
1 1
2 1
2 1
= +
− =
+ −
= n
n s
x x
t
5. Kesimpulan :
karena 09
, 2
862 ,
09 ,
2 =
−
hitung
t terletak dalam daerah
penerimaan H maka
H diterima. Jadi,
2 1
µ µ =
. Artinya, kedua macam makanan tersebut memberikan pertambahan berat badan ayam yang sama,
sehingga kedua makanan tersebut sama baiknya.
c. Dalam hal
2 1
σ σ ≠
dan keduanya tidak diketahui
Untuk kasus ini belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan. Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik
t′ . Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ ≠
=
2 1
1 2
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
2 1
2 2
1 1
2 1
2 2
1 1
w w
t w
t w
t w
w t
w t
w +
+ ′
+ +
− , untuk harga t yang
lain H ditolak.
Dengan
1 2
1 1
n s
w =
;
2 2
2 2
n s
w =
1 ,
2 1
1 1
1
− −
=
n
t t
α
dan
1 ,
2 1
1 2
2
− −
=
n
t t
α
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
40
m
t
, β
diperoleh dari daftar distribusi Student dengan peluang β dan
m dk
= . 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil. II.11
2 2
2 1
2 1
2 1
n s
n s
x x
t +
− =
′
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh Sudjana
Suatu barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah kedua proses itu menghasilkan barang yang sama kualitasnya ditinjau dari rata-
rata daya tekannya. Maka diadakan percobaan sebanyak 20 kali masing-masing dari hasil proses pertama maupun kedua. Diperoleh informasi
1
x = 9,25 kg ;
2
x = 10,4 kg ;
1
s = 2,24 kg ;
2
s = 3,12 kg. Bila populasinya dianggap normal dengan varians kedua populasi tidak sama, dengan taraf nyata 5, ujilah bagaimana
hasilnya
Penyelesaian
Diketahui
1
x = 9,25 kg ;
2
x = 10,4 kg ;
1
s = 2,24 kg ;
2
s = 3,12 kg. Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun
sama besar. Langkah pengujian hipotesis dalam hal
2 1
σ σ ≠
dan keduanya tidak diketahui
1. Hipotesis pengujian
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨
⎧ ≠
=
berbeda yang
tekan daya
rata -
rata kualitas
dengan barang
an menghasilk
proses kedua
; :
H sama
yang tekan
daya rata
- rata
kualitas dengan
barang an
menghasilk proses
kedua ;
: H
2 1
1 2
1
µ µ
µ µ
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
2 1
2 2
1 1
2 1
2 2
1 1
w w
t w
t w
t w
w t
w t
w +
+ ′
+ +
−
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
41 2509
, 20
0176 ,
5
1 2
1 1
= =
= n
s w
; 4867
, 20
7344 ,
9
2 2
2 2
= =
= n
s w
09 ,
2
19 ;
975 ,
1 20
, 05
, .
2 1
1 1
, 2
1 1
1
1
= =
== =
− −
− −
t t
t t
n α
09 ,
2
19 ;
975 ,
1 20
, 05
, .
2 1
1 1
, 2
1 1
2
2
= =
= =
− −
− −
t t
t t
n α
Sehingga
2 1
2 2
1 1
2 1
2 2
1 1
w w
t w
t w
t w
w t
w t
w +
+ ′
+ +
−
4867 ,
2509 ,
09 ,
2 4867
, 09
, 2
2509 ,
4867 ,
2509 ,
09 ,
2 4867
, 09
, 2
2509 ,
+ +
′ +
+ −
t 09
, 2
09 ,
2 ′
− t
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil.
339 ,
1 20
7344 ,
9 20
0176 ,
5 4
, 10
25 ,
9
2 2
2 1
2 1
2 1
= +
− =
+ −
= ′
n s
n s
x x
t
5. Kesimpulan :
karena 09 ,
2 339
, 1
09 ,
2 =
′ −
t terletak dalam daerah
penerimaan H maka
H diterima. Jadi,
2 1
µ µ =
. Artinya, kedua proses menghasilkan barang dengan kualitas yang sama baiknya.
d. Observasi berpasangan
Untuk observasi berpasangan, maka diambil
y x
B
µ µ
µ −
= .
Jika
1 1
1
y x
B −
= ,
2 2
2
y x
B −
= ,…,
n n
n
y x
B −
= , maka data
1
B ,
2
B ,…,
n
B menghasilkan rata-rata B dan simpangan baku
B
s . Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ ≠
= :
H :
H
1 B
B
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
α α
2 1
1 2
1 1
− −
− t
t t
, selainnya tolak H .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
42 Dengan
α 2
1 1
−
t diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang
α 2
1 1
− dan
1 −
= n dk
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil. II.12
n s
B t
B
=
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
11. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Satu Pihak
Serupa dengan uji dua pihak, pada uji satu pihak juga dimisalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing
1
µ dan
2
µ dan simpangan baku
1
σ dan
2
σ .
Uji Pihak Kanan a.
Dalam hal
2 1
σ σ =
Langkah pengujian hipotesis: 1
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
=
2 1
1 2
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2 Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3 Kriteria pengujian.
Terima H jika
α −
1
t t
, dan tolak H untuk harga t yang lain.
Dengan 2
2 1
− +
= n
n dk
dan peluang α
− 1
dari daftar distribusi t. 4
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus II.9 dan II.10.
5 Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
b. Dalam hal
2 1
σ σ ≠
Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik t′ .
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
43 Langkah pengujian hipotesis:
a Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ =
2 1
1 2
1
: H
: H
µ µ
µ µ
b Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
c Kriteria pengujian.
Tolak H jika
2 1
2 2
1 1
w w
t w
t w
t +
+ ≥
′ , dan terima
H jika terjadi sebaliknya. Dengan
1 2
1 1
n s
w =
;
2 2
2 2
n s
w =
1 ,
2 1
1 1
1
− −
=
n
t t
α
dan
1 ,
2 1
1 2
2
− −
=
n
t t
α
Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah α
− 1
sedangkan derajat kebebasannya masing-masing
1
1
− n
dan 1
2
− n
. d
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik t′ yang sama dengan rumus II.11.
e Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
c. Observasi berpasangan
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
= :
H :
H
1 B
B
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
≥
1
t t
, selainnya terima H .
Dengan
α −
1
t diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang
α −
1 dan
1 −
= n dk
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus II.12.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
44
Uji Pihak Kiri a.
Dalam hal
2 1
σ σ =
dan keduanya tidak diketahui
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
=
2 1
1 2
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
− ≤
1
t t
, dan terima H untuk harga t yang lain.
Dengan
α −
1
t diperoleh dari daftar distribusi t dengan
2
2 1
− +
= n
n dk
dan peluang α
− 1
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus II.9 dan II.10.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
b. Dalam hal
2 1
σ σ ≠
Pendekatan yang diggunakan adalah statistik t′ . Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ =
2 1
1 2
1
: H
: H
µ µ
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
2 1
2 2
1 1
w w
t w
t w
t +
+ −
≤ ′
, dan terima H jika terjadi
sebaliknya. Dengan
1 2
1 1
n s
w =
;
2 2
2 2
n s
w =
1 ,
2 1
1 1
1
− −
=
n
t t
α
dan
1 ,
2 1
1 2
2
− −
=
n
t t
α
Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah α
− 1
sedangkan derajat kebebasannya masing-masing
1
1
− n
dan 1
2
− n
.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
45 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik t′ yang sama dengan rumus II.11.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
c. Observasi berpasangan
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
= :
H :
H
1 B
B
µ µ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
1 ,
1 −
−
− ≤
n
t t
α
, dan terima H untuk
1 ,
1 −
−
−
n
t t
α
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus II.12.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
12. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Dua Pihak
Misalkan dipunyai dua populasi binomial yang di dalamnya didapat proporsi peristiwa A sebesar
1
π dan
2
π . Secara independen dari tiap populasi diambil sebuah sampel acak berukuran
1
n dan
2
n . Proporsi untuk peristiwa yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah
1 1
n x
dan
2 2
n x
. Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ ≠
= :
H :
H
2 1
1 2
1
π π
π π
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
α α
− −
−
1 2
1 1
2 1
z z
z , selainnya tolak
H . Dengan
α −
1 2
1
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan
peluang α
− 1
2 1
.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
46 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan pendekatan distribusi normal.
II.13 ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ +
− =
2 1
2 2
1 1
1 1
n n
pq n
x n
x z
dengan
2 1
2 1
n n
x x
p +
+ =
dan p
q −
= 1 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Di kecamatan Semarang Barat dari 250 siswa SD, 150 orang suka matematika. Di kecamatan Gunungpati dari 300 siswa SD, 162 orang suka matematika.
Dengan α = 5, ujilah adakah perbedaan yang signifikan tentang kesukaan
matematika di kedua kecamatan tersebut.
Penyelesaian
Diketahui x
1
= 150 n
1
= 250 X
2
= 162 n
2
= 300 Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ ≠
= :
H :
H
2 1
1 2
1
π π
π π
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
α α
− −
−
1 2
1 1
2 1
z z
z
05 ,
1 2
1 05
, 1
2 1
− −
− z
z z
96 ,
1 96
, 1
− z
α −
1 2
1
z dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
α −
1 2
1 .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel
5673 ,
300 250
162 150
2 1
2 1
= +
+ =
+ +
= n
n x
x p
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
47 4327
, 5673
, 1
1 =
− =
− =
p q
43 ,
1 300
1 250
1 4327
, 5673
, 300
162 250
150 1
1
2 1
2 2
1 1
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ +
− =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
+ −
= n
n pq
n x
n x
z
5. Kesimpulan: karena
96 ,
1 43
, 1
96 ,
1 =
−
hitung
z maka
H diterima. Jadi,
2 1
π π = . Artinya tidak ada perbedaan yang signifikan kesukaan
matematika di kecamatan Semarang Barat maupun di kecamatan Gunungpati.
13. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Satu Pihak
Uji Pihak Kanan
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
= :
H :
H
2 1
1 2
1
π π
π π
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
≥
5 ,
z z
dan Terima H jika
α −
5 ,
z z
. Dengan
α −
5 ,
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
α −
5 ,
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus II.13.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Uji Pihak Kiri
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎩
⎨ ⎧
= :
H :
H
2 1
1 2
1
π π
π π
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
48 Tolak
H jika
α −
− ≤
5 ,
z z
, dan terima H jika
α −
−
5 ,
z z
. Dengan
α −
5 ,
z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang
α −
5 ,
. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus II.13.
5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh Sudjana
Terdapat dua kelompok A dan B, masing-masing terdiri atas 100 pasien yang menderita suatu penyakit. Kepada kelompok A diberika obat tertentu sedangkan
pada kelompok B tidak. Dalam waktu 1 bulan, terdapat 80 orang yang sembuh dari kelompok A dan 68 orang yang sembuh dari kelompok B. Dengan
α = 1, ujilah adakah penelitian dengan pemberian obat ini membantu menyembuhkan
penyakit
Penyelesaian
Diketahui x
A
= 80 n
A
= 100 x
B
= 68 n
B
= 100 Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎩ ⎨
⎧ =
: H
: H
B 1
B
π π
π π
A A
2. Taraf signifikansi α = 5.
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
α −
≥
5 ,
z z
dan Terima H jika
α −
5 ,
z z
. 64
, 1
05 ,
5 ,
5 ,
= =
− −
z z
α
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel
74 ,
100 100
68 80
= +
+ =
+ +
=
B A
B A
n n
x x
p 26
, 74
, 1
1 =
− =
− =
p q
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
49 94
, 1
100 1
100 1
26 ,
74 ,
100 68
100 80
1 1
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ +
− =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
+ −
=
B A
B B
A A
n n
pq n
x n
x z
5. Kesimpulan: karena
64 ,
1 94
, 1
=
hitung
z maka
H ditolak. Jadi,
B
π π
A
. Artinya, pada taraf 5, pemberian obat dapat membantu penyembuhan penyakit.
Bagaimanakah bila penelitian ini diuji dengan taraf nyata 1, apakah masih memberikan hasil yang sama dengan kesimpulan di atas
14. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians: Uji Dua Pihak
Ketika menaksir selisih rata-rata dan menguji kesamaan atau perbedaan dua rata-rata ditekankan asumsi bahwa kedua populasi memiliki varians yang
sama agar menaksir dan menguji bisa dilakukan. Dalam hal varians yang berbeda, hingga saat ini hanya digunakan cara pendekatan. Oleh karena itu,
maka perlu dilakukan pengujian mengenai kesamaan dua varians atau lebih. Populasi-populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi
dengan varians yang homogen. Bila populasi tersebut memiliki varians yang berbeda disebut populasi dengan varians yang heterogen.
Berikut akan dilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua populasi. Misalkan dipunyai dua populasi normal dengan varians
2 1
σ dan
2 2
σ . Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≠ =
2 2
2 1
1 2
2 2
1
: :
H :
H σ
σ σ
σ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Terima H jika
1 ,
1 2
1 1
, 1
, 2
1 1
2 1
2 1
− −
− −
− n
n n
n
F F
F
α α
, selainnya tolak H .
Dengan
n m
F
,
β
diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang β dan
dk pembilang m dan dk penyebut n.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
50 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil jika sampel dari populasi pertama berukuran
1
n dengan variansi
2 1
s dan sampel dari populasi kedua berukuran
2
n dengan variansi
2 2
s . II.14
2 2
2 1
s s
F =
Statistik lain yang digunakan II.15
terkecil Varians
terbesar Varians
F =
Kriteria pengujian. Tolak
H jika
2 1
, 2
1 v
v
F F
α
≥ .
Dengan
2 1
, 2
1 v
v
F
α
diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang α
2 1
dan derajat kebebasan v
1
dan v
2
. 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Contoh
Dari dua populasi siswa diukur hasil prestasi belajar siswa. Dari populasi pertama diukur 10 orang siswa ternyata
2 1
s = 24,7. Dari populasi kedua diukur 13 siswa ternyata
2 2
s = 37,2. Dengan α = 10, ujilah apakah kedua populasi tersebut
homogen.
Penyelesaian
Diketahui
2 1
s = 24,7 n
1
= 10
2 2
s = 37,2 n
2
= 13 Langkah pengujian hipotesis:
1. Hipotesis pengujian
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≠ =
2 2
2 1
1 2
2 2
1
: :
H :
H σ
σ σ
σ
2. Taraf signifikansi α = 10.
3. Kriteria pengujian.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
51 Terima
H jika
1 ,
1 2
1 1
, 1
, 2
1 1
2 1
2 1
− −
− −
− n
n n
n
F F
F
α α
1 13
, 1
10 ,
1 ,
2 1
1 13
, 1
10 ,
1 ,
2 1
1 −
− −
− −
F F
F
12 ,
9 ,
05 ,
12 ,
9 ,
95 ,
F F
F
12 ,
9 ,
05 ,
12 ,
9 ,
05 ,
1 F
F F
80 ,
2 07
, 3
1 F
80 ,
2 3257
, F
Dengan
n m
F
, β
diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang β dan
dk pembilang m dan dk penyebut n. 4.
Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel 664
, 2
, 37
7 ,
24
2 2
2 1
= =
= s
s F
5. Kesimpulan: karena
80 ,
2 664
, 3257
, =
hitung
F maka
H diterima. Jadi,
2 2
1
σ σ =
. Artinya kedua varians populasi sama atau kedua populasi tersebut homogen.
Bila digunakan statistik lain 506
, 1
7 ,
24 2
, 37
= =
= terkecil
Varians terbesar
Varians F
Kriteria pengujian. Tolak
H jika
2 1
, 2
1 v
v
F F
α
≥ Æ
07 ,
3
9 ,
12 1
, 2
1
= ≥ F
F .
Dengan
2 1
, 2
1 v
v
F
α
diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang α
2 1
dan derajat kebebasan v
1
dan v
2
. Kesimpulan: karena
07 ,
3 506
, 1
=
hitung
F maka
H diterima. Jadi,
2 2
1
σ σ =
. Artinya kedua varians populasi sama atau kedua populasi tersebut homogen.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
52
15. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians: Uji Satu Pihak
Uji Pihak Kanan
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ =
2 2
2 1
1 2
2 2
1
: :
H :
H σ
σ σ
σ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
1 ,
1
2 1
− −
≥
n n
F F
α
, selainnya terima H .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil
menggunakan statistik yang sama dengan rumus II.14 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
Uji Pihak Kiri
Langkah pengujian hipotesis: 1.
Hipotesis pengujian ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ =
2 2
2 1
1 2
2 2
1
: :
H :
H σ
σ σ
σ
2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .
3. Kriteria pengujian.
Tolak H jika
1 ,
1 1
2 1
− −
− n
n
F F
α
, selainnya terima H .
4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian sampel yang diambil
menggunakan statistik yang sama dengan rumus II.14. 5.
Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.
16. Uji Homogenitas Varians Populasi
Berikut merupakan perluasan untuk menguji kesamaan k buah 2
≥ k
varians populasi yang berdistribusi normal.
Misalkan dipunyai k 2
≥ k
buah populasi berdistribusi independen dan normal massing-masing dengan varians
2 2
2 2
1
, ,
,
k
σ σ
σ K
.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
53 Akan diuji hipotesis
⎩ ⎨
⎧ =
= =
berlaku tidak
dengan sama
tanda satu
sedikit aling
: H
: H
1 2
2 2
2 1
p
k
σ σ
σ K
berdasarkan sampel acak yang diambil dari setiap populasi. Terdapat beberapa metode untuk melakukan pengujian homogenitas varians
populasi, antara lain uji Bartlett.
LATIHAN
1. Pengusaha ban mobil X mengatakan bahwa produksi bannya tahan pakai
dalam pemakaian mobil sejauh 80.000 km. Timbul dugaan bahwa masa pakai ban telah berubah, untuk menentukan hal ini dilakukan penelitian dengan cara
menguji 50 ban dan diperoleh rata-rata pemakaian 79.200 km. Dari pengalaman diketahui simpangan baku mas apakai ban 6000 km dengan taraf
nyata 5. Selidiki apakah kualitas ban tersebut telah berubah atau belum 2.
Diambil sampel sebanyak 20 mahasiswa FMIPA dengan nilai matematika sbb: 65, 66, 67, 60, 62, 64, 70, 72, 60, 62, 63, 64, 65, 65, 66, 65, 64, 64, 63,
65. Dengan menggunakan taraf signifikansi α = 5 dan α = 1, ujilah
hipotesis yang mengatakan bahwa rata-rata penguasaan matematika mahasiswa FMIPA adalah 65.
3. Ujilah apakah ada perbedaan yang signifikan berarti dari prestasi hasil
belajar siswa dengan penerapan dua metode pembelajaran yang berbeda yaitu Metode A dan Metode B. Diketahui informasi dari sampel yang diberi Metode
A yaitu n = 30 dan x = 60. Sedangkan dari sampel yang diberi Metode B dengan n = 32 dan x = 62. Dan diketahui dari pengalaman bahwa
2 1
σ σ =
=6 dan
α = 5. 4.
Dua jenis makanan ternak A dan B diberikan pada sapi secara terpisah dalam jangka waktu tertentu. Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik
untuk ternak tersebut, untuk itu diambil sampel 11 ekor sapi diberi makanan A
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
54 dan 10 ekor sapi lain diberi makanan B. Setelah pemberian makanan ternak
tersebut dalam waktu 1 minggu, dicatat pertambahan berat sapi dalam kg sbb:
Makanan A : 3,4 4,0 3,8 2,7 3,6 3,0 2,6 2,9 3,3 3,0 3,1 Makanan B : 3,7 2,6 3,0 3,0 2,9 3,3 3,2 3,4 2,9 2,7
Dengan
α
= 5, tentukan apakah kedua jenis makanan ternak tersebut sama baiknya jika diasumsikan:
a. Simpangan baku pertambahan berat badan dari dua populasi sama tapi
tidak diketahui. b.
Simpangan baku pertambahan berat badan dari dua populasi tidak sama tidak diketahui.
5. Dilakukan penelitian untuk menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan
kemampuan pegawai pria dan wanita dalam bidang elektronika. Berdasarkan sampel yang diambil secara acak, dan setelah ditest diperoleh kemampuan
pegawai pria X1 dan kemampuan pegawai wanita X2 sebagai berikut: X1
: 70 80 76 40 80 70 90 99 60 50 76 41 72 90 50 X2
: 70 70 90 40 90 80 70 40 50 90 70 40 72 80 42 Buktikan hipotesis tersebut dengan
α
= 5 6.
Diadakan eksperimen pembelajaran matematika dengan Model I dan Model II. Digunakan sampel berpasangan sejumlah 12 pasang. Setelah dilakukan
eksperimen diperoleh hasil tes matematika sbb: Model
I 60 64 52 70 53 100 20 40 30 45 66 65
Model II 58 62 54 70 50 96 22 38 35 42 65 66
Dengan
α
= 5, ujilah apakah rata-rata hasil belajar dari kedua populasi tersebut sama atau berbeda secara signifikan
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
55
BAB III ANALISIS VARIANS
Analisis varians ANAVA atau analysis of variance ANOVA adalah suatu teknik statistik yang memungkinkan untuk mengetahui apakah dua atau lebih
mean populasi bernilai sama dengan menggunakan sampel dari masing-masing populasi yang diuji. Analisis varians merupakan teknik analisis yang fungsinya
hampir sama dengan teknik t-tes, yaitu untuk menguji perbedaan mean rata-rata dari sampel. Kelebihan analisis varians dibandingkan dengan uji-t dalam
rancangan penelitian eksperimen adalah dalam menguji beda mean analisis varians tidak hanya terbatas pada mean dua sampel namun dapat digunakan untuk
menguji kesamaan atau perbedaan antar rata-rata dari k buah 2
k populasi
yang berdistribusi normal. Dasar pemikiran penggunaan analisis varians adalah bahwa varians total semua
subjek dalam suatu eksperimen dapat dianalisis dari dua sumber, yaitu variansi antar kelompok dan variansi di dalam kelompok.
Asumsi dasar dari analisis varians adalah sebagai berikut: Populasi yang diamati memiliki distribusi normal.
Pengambilan sampel dilakukan secara acak dan setiap sampel independentidak terikat sampel yang lain.
Populasi-populasi dimana nilai sampel diperoleh memiliki varians populasi yang sama atau dapat ditulis
2 2
2 2
1
,
k
σ σ
σ =
= =
K dengan k jumlah populasi.
Dikenal beberapa jenis varians sampel
2
s , salah satunya dihitung dengan rumus 1
2 2
− −
=
∑
n x
x s
i
dan varians populasi adalah
2
σ . Varians untuk sekumpulan data ini melukiskan derajat perbedaan atau variansi
nilai data individu yang ada dalam kelompok atau kumpulan data tersebut.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
56 Variansi ini dihitung dari nilai rata-rata kumpulan data. Selain itu dikenal pula
varians sampling berbagai statistik, untuk rata-rata diberi lambang
2 x
σ , untuk proporsi dengan lambang
2 n
x
σ , dan sebagainya.
Langkah-langkah Analisis varians adalah sebagai berikut: 1.
Rumuskan hipotesis nol H dan hipotesis tandingannya
1
H . H : mean k populasi
2 k
yang berdistribusi normal adalah sama.
1
H : diantara k populasi 2
k terdapat mean populasi yang berbeda.
minimum ada satu tanda sama dengan tidak berlaku Atau secara matematis
k
H µ
µ µ
µ =
= =
= K
3 2
1
:
k k
k
H µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ ≠
≠ ≠
≠ ≠
= ≠
= =
= =
≠ K
K K
3 2
1 3
2 1
3 2
1 1
:
2. Ambil sampel acak dari k buah
2 k
populasi sbb: Sampel I
Sampel II Sampel III
... Sampel k
11
x
12
x
13
x ...
k
x
1 21
x
22
x
23
x ...
k
x
2 31
x
32
x
33
x ...
k
x
3
M M
M ...
M
1 n
x
2 n
x
3 n
x ...
nk
x
1
x
2
x
3
x ...
k
x 3.
Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 4.
Gunakan statistik F Fisher kelompok
dalam ians
means antar
ians VDK
VAM F
hitung
var var
= =
1
1 2
2 2
− −
= =
=
∑
=
k x
x n
nS VAM
k j
j x
σ ,
1 −
= k dk
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
57 1
1 1
2
− −
=
∑∑
= =
n k
x x
VDK
n i
k j
j ij
Dengan x mean dari semua mean sampel
j
x mean sampel ke-j, j = 1, 2, ..., k
ij
x nilai data observasi ke-i dari sampel ke-j 5.
Kriteria pengujian. Terima
H jika
1 ,
1 ;
− −
≤
n k
k hitung
F F
α
. Tolak
H jika
1 ,
1 ;
− −
n k
k hitung
F F
α
. 6.
Mengambil kesimpulan berdasarkan hasil 4 dan 5. 7.
Jika H diterima maka pengujian berakhir.
Jika H ditolak, analisis dilanjutkan dengan Uji Lanjut salah satunya
dengan menggunakan Uji
α 2
1
LSD Least Significant Different.
d n
k
S t
LSD .
1 ,
2 1
1 2
1 1
− −
−
=
α α
j i
d
n s
n s
S
2 2
+ =
, VDK
s =
2
Kriteria pengujian Uji lanjut
α 2
1 1
−
LSD Bandingkan antara
i
x dan
j
x :
j i
x x
≠ jika
α 2
1 1
−
− =
LSD x
x d
j i
ij
.
Contoh
Diterapkan model pembelajaran dengan 3 metode, kemudian dilakukan tes dan diperoleh skor hasil tes sbb:
Sampel ke-
Metode I Metode II
Metode III 1 25 22 22
2 29 25 21 3 28 24 26
4 30 25 23
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
58 a.
Dengan anava selidikilah apakah ada perbedaan diantara tiga mean skor hasil belajar dengan ketiga metode tersebut.
b. Bila terdapat perbedaan, dengan uji lanjut selidikilah model pembelajaran
yang manakah yang terbaik. Gunakan
α
= 5.
Penyelesaian
Diketahui
1
x = 28
2
x = 24
3
x = 23 x = 25
Langkah-langkah Analisis varians: Merumuskan hipotesis uji
3 2
1
: µ
µ µ
= =
H
1
H : paling sedikit ada satu tanda sama dengan tidak berlaku. Sampel acak dari 3 buah populasi seperti tertera pada soal di atas.
Taraf signifikansi
α
= 5.. Gunakan statistik F Fisher
{ }
28 1
3 25
23 25
24 25
28 4
1
2 2
2 1
2
= −
− +
− +
− =
− −
=
∑
=
k x
x n
VAM
k j
j
78 ,
3 9
1 1
4 3
28 23
28 26
28 21
28 22
28 25
28 24
28 25
28 22
28 30
28 28
28 29
28 25
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
2
= =
− ⎪⎭
⎪ ⎬
⎫ ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ −
+ −
+ −
+ −
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ −
+ −
+ −
+ −
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ −
+ −
+ −
+ −
= −
− =
∑∑
= =
n k
x x
VDK
n i
k j
j ij
41 ,
7 78
, 3
28 = =
= VDK
VAM F
hitung
Kriteria pengujian. Terima
H jika
1 ,
1 ;
− −
≤
n k
k hitung
F F
α
Tolak H jika
1 ,
1 ;
− −
n k
k hitung
F F
α
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
59 26
, 4
9 ,
2 ;
05 ,
1 4
3 ,
1 3
; 05
, 1
, 1
;
= =
=
− −
− −
F F
F
n k
k α
Kesimpulan : karena 26
, 4
41 ,
7
1 ,
1 ;
= =
− −
n k
k hitung
F F
α
maka H ditolak.
Artinya, ada perbedaan diantara ketiga mean skor hasil belajar dengan ketiga metode tersebut.
Karena H ditolak, maka analisis dilanjutkan dengan Uji Lanjut menggunakan
Uji
α 2
1 1
−
LSD
3748 ,
1 4
78 ,
3 4
78 ,
3
2 2
= +
= +
=
j i
d
n s
n s
S ,
78 ,
3
2
= = VDK
s
11 ,
3 3748
, 1
. 26
, 2
3748 ,
1 .
3748 ,
1 .
.
9 ,
975 ,
1 4
3 ,
05 ,
2 1
1 1
, 2
1 1
2 1
1
= =
= =
=
− −
− −
−
t t
S t
LSD
d n
k α
α
Kriteria pengujian Uji lanjut
α 2
1 1
−
LSD Bandingkan antara
i
x dan
j
x :
j i
x x
≠ jika
α 2
1 1
−
− =
LSD x
x d
j i
ij
. 11
, 3
4 24
28
2 1
1 2
1 12
= =
− =
− =
− α
LSD x
x d
. Berarti
1
x
2
x .
11 ,
3 5
23 28
2 1
1 3
1 13
= =
− =
− =
− α
LSD x
x d
. Berarti
1
x
3
x . 11
, 3
1 23
24
2 1
1 3
2 23
= =
− =
− =
− α
LSD x
x d
. Berarti
2
x =
3
x . Kesimpulan : Metode pembelajaran yang paling efektif adalah model
pembelajaran I, yang paling berbeda diantara ketiga metode tersebut.
LATIHAN
1. Dilakukan penelitian tentang produksi susu sapi dari 3 lokasi. Diambil 10 sapi sebagai sampel dari masing-masing lokasi. Penelitian selama 3 bulan tercatat
hasil seperti pada data berikut.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
60
Jawa Madura
Bali 341 360 302
323 300 304 356 296 286
289 223 245 343 250 235
335 296 216 361 284 287
298 200 296 300 208 264
Produksi su su liter
309 231 259
Dengan taraf signifikansi
α
= 5, selidiki apakah ada perbedaan perbandingan produksi susu sapi di 3 lokasi tersebut? Jika ada perbedaan
manakah yang paling berbeda 2. Dilakukan pengamatan terhadap hasil tes UAN siswa SMA. Para siswa itu
dikelompokkan dalam 3 kategori 1 SMA Favorit, 2 SMA Negeri, dan 3 SMA Swasta. Diperoleh data pengamatan sebagai berikut:
No SMA Nilai No SMA Nilai No
SMA Nilai 1 favorit 4,25 8 negeri 4,00 15
swasta 4,00 2 favorit 5,00 9 negeri 3,00 16
swasta 3,50 3 favorit 4,75 10 negeri 3,50 17
swasta 3,75 4 favorit 3,75 11 negeri 3,75 18
swasta 3,00 5 favorit 4,50 12 negeri 3,50 19
swasta 3,25 6 favorit 4,25 13 negeri 3,25 20
swasta 3,50 7 favorit 4,00 14 negeri 4,25 21
swasta 2,75 Selidiki apakah ketiga kelompok tersebut memiliki nilai rata-rata UAN yang
sama dengan taraf signifikansi
α
= 5. 3. Dilakukan penelitian mengenai berat badan mahasiswa berdasarkan sarapan
yang dimakan dari 4 kelompok sampel dan diperoleh data berat badan dalam kg sbb:
Sampel ke-
Mie instan
Nasi Roti
Singkong 1 45
46 47
43 2 55
54 58
52 3 40
45 44
40 4 65
64 65
48 5 60
62 63
58 6 58
59 62
60 7 57
54 59
55
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
61 Dengan taraf signifikansi
α
= 5, selidiki sarapan manakah yang membuat berat badan mahasiswa lebih tinggi dari yang lain
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
62
BAB IV ANALISIS REGRESI
