Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
13 dengan
p
t diperoleh dari daftar distribusi Student dengan γ
+ =
1 2
1 p
dan 1
− = n
dk .
Contoh Sudjana
Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I dilakukan 50 kali yang menghasilkan
1
x = 60,2 dan
2 1
s = 24,7. Cara II dilakukan 60 kali dengan
2
x = 70,4 dan
2 2
s = 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95 mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut.
Penyelesaian
Diketahui
1
x = 60,2 ;
2 1
s = 24,7
2
x = 70,4 ;
2 2
s = 37,2 Dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal.
975 ,
95 ,
1 2
1 1
2 1
= +
= +
= γ
p ;
108 2
60 50
= −
+ =
dk Karena kedua populasi normal dan memiliki
σ σ
σ =
=
2 1
tetapi besarnya tidak diketahui, maka varians gabungan dari sampel adalah
53 ,
31 2
60 50
2 ,
37 1
60 7
, 24
1 50
2 1
1
2 1
2 2
2 2
1 1
2
= −
+ −
+ −
= −
+ −
+ −
= n
n s
n s
n s
Maka interval kepercayaan
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
. 1
1 .
n n
s t
x x
n n
s t
x x
p p
+ +
− −
+ −
− µ
µ
60 53
, 31
50 53
, 31
. 2
, 60
4 ,
70 60
53 ,
31 50
53 ,
31 .
2 ,
60 4
, 70
108 ;
975 ,
2 1
108 ;
975 ,
+ +
− −
+ −
− t
t µ
µ
08 ,
1 .
984 ,
1 2
, 60
4 ,
70 08
, 1
. 984
, 1
2 ,
60 4
, 70
2 1
+ −
− −
− µ
µ 34
, 12
06 ,
8
2 1
− µ
µ
Jadi, kita merasa 95 yakin percaya bahwa selisih rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.
6. Menaksir Selisih Proporsi
Misalkan dipunyai dua populasi binomial dengan parameter untuk peristiwa yang sama masing-masing
1
π dan
2
π . secara independen dari tiap populasi
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
14 diambil sebuah sampel acak berukuran
1
n dan
2
n . Proporsi untuk peristiwa yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah
1 1
1
n x
p =
dan
2 2
2
n x
p =
dengan
1
x dan
2
x menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan.
Akan ditentukan interval taksiran untuk
2 1
π π −
dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal asalkan
1
n dan
2
n cukup besar. Rumus untuk 100
γ interval kepercayaan selisih
2 1
π π −
adalah I.16
2 2
2 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
1 1
2 1
2 1
n q
p n
q p
z p
p n
q p
n q
p z
p p
+ +
− −
+ −
−
γ γ
π π
dengan
1 1
1 p
q −
= dan
2 2
1 p
q −
= sedangkan
γ 2
1
z diperoleh dari daftar
normal baku untuk peluang γ
2 1
.
Contoh Sudjana
Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas 500 pemudi dan 700 pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Ternyata diperoleh bahwa 325
pemudi dan 400 menyukai pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95 mengenai perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran
dan menyukainya.
Penyelesaian
Diketahui persentase pemudi yang menyukai pameran
65 100
500 325
1 1
1
= ×
= =
n x
p persentase pemuda yang menyukai pameran
57 100
700 400
2 2
2
= ×
= =
n x
p Jadi,
35 65
1 1
1 1
= −
= −
= p
q dan
43 57
1 1
2 2
= −
= −
= p
q Maka interval kepercayaan
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
15
2 2
2 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
1 1
2 1
2 1
n q
p n
q p
z p
p n
q p
n q
p z
p p
+ +
− −
+ −
−
γ γ
π π
700 43
, 57
, 500
35 ,
65 ,
57 ,
65 ,
700 43
, 57
, 500
35 ,
65 ,
57 ,
65 ,
95 ,
. 2
1 2
1 95
, .
2 1
+ +
− −
+ −
− z
z
π π
0284 ,
96 ,
1 57
, 65
, 0284
, 96
, 1
57 ,
65 ,
2 1
+ −
− −
− π
π 136
, 024
,
2 1
− π
π Jadi, kita merasa 95 yakin percaya bahwa perbedaan persentase pemuda dan
pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 2,4 dan 13,6.
LATIHAN
1. Diketahui populasi siswa dengan ukuran 100 Taksirlah rata-rata penguasaan
kemampuan bahasa dari populasi tersebut jika: a.
diambil sampel secara acak sebanyak 4 siswa dengan penguasaan kemampuan bahasa berikut 60,2 ; 65,4 ; 70,1 dan 72,8 dengan koefisien
kepercayaan 95. b.
diambil sampel secara acak sebanyak 10 siswa dengan penguasaan kemampuan bahasa berikut 60,4 ; 55,7 ; 70,2 ; 70,3 ; 60,5 ; 66,6 ; 62,8 ;
63,9 ; 70,1 ; 64,8 dengan koefisien kepercayaan 99. 2.
Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil dalam gram: 142, 157, 138, 175, 152, 149, 148, 200, 182, 164. Jika berat tomat berdistribusi normal,
tentukan interval kepercayaan 95 untuk rata-rata berat tomat. 3.
Diketahui dua buah sampel yang diambil dari dua buah populasi. Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45
Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63 Tentukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaan 95 , jika:
a. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar yaitu 9,5.
b. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar namun tidak
diketahui nilainya.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
16 c.
simpangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama.
4. Dari populasi tanaman padi jenis A dan jenis B, diambil sampel tinggi
tanaman padi sbb: Sampel I dari padi jenis A : 39,3 ; 45,5 ; 41,2 ; 53 ; 44,2 ; 42,5 ; 63,9.
Sampel II dari padi jenis B : 37 ; 42,4 ; 40,1 ; 52,2 ; 41,5 ; 40,8 ; 60,2. Dengan observasi berpasangan tersebut dan interval kepercayaan 95 ,,
taksirlah selisih rata-ratanya. 5.
Sebuah sampel berukuran 200 lampu yang dihasilkan oleh sebuah mesin produksi menunjukkan 15 buah lampu rusak. Sebuah sampel lain berukuran
100 buah lampu yang dihasilkan oleh mesin kedua mengandung 12 buah lampu yang rusak. Tentukan interval kepercayaan 99 untuk selisih kedua
perbandingan.
Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011
17
BAB II PENGUJIAN HIPOTESIS
1. Pendahuluan
Sebelumnya telah dipelajari cara-cara menaksir parameter untuk mengambil kesimpulan tentang berapa besar harga parameter. Cara pengambilan
kesimpulan yang kedua akan dipelajari adalah melalui pengujian hipotesis. Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk
menjelaskan hal tersebut yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya.
Jika asumsi atau dugaan tersebut dikhususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis disebut hipotesis
statistik. Contoh hipotesis
a. peluang lahirnya bayi berjenis kelamin laki-laki = 0,5.
b. 25 masyarakat termasuk golongan A.
c. Rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp 300.000,00 tiap bulan.
Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar, maka perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk
menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis.
2. Dua Macam Kekeliruan
Meskipun dalam penelitian hipotesis telah diterima atau ditolak, tidak berarti bahwa telah dibuktikan kebenaran hipotesis. Yang diperlihatkan adalah hanya
menerima atau menolak hipotesis saja. Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat
terjadi, yaitu:
