Bahan Ajar Statistika Inferensial

BAHAN AJAR

STATISTIKA INFERENSIAL

KODE MATA KULIAH

MAT 201

ROMBEL

410140-03

410140-04

410140-05

410140-06

410140-07

Semester Gasal 2011/2012

Disusun Oleh

Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc.

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Semarang

DAFTAR ISI

BAB I PENAKSIRAN PARAMETER

1. Pengertian Penaksiran 2. Menaksir Rata-rata µ 3. Menaksir Proporsi π

4. Menaksir Simpangan Baku σ 5. Menaksir Selisih Rata-Rata 6. Menaksir Selisih Proporsi

BAB II PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Pendahuluan

2. Dua Macam Kekeliruan 3. Langkah Pengujian Hipotesis 4. Uji Hipotesis Rata-Rata 5. Uji Hipotesis Proporsi 6. Uji Hipotesis Varians

7. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata 8. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi 9. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians 10.Uji Homogenitas Varians Populasi

BAB III ANALISIS VARIANS

BAB IV ANALISIS REGRESI

BAB I

PENAKSIRAN PARAMETER

1. Pengertian Penaksiran

Statistika digunakan untuk menyimpulkan populasi.

Kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara sampling maupun sensus. Namun, karena berbagai faktor untuk menyimpulkan populasi diambil sebuah sampel yang representatif kemudian berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan mengenai populasi dibuat.

Kelakuan populasi yang akan diamati adalah mengenai parameter populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis, nilai-nilai yang perlu yaitu statistik dihitung dan berdasarkan nilai-nilai-nilai-nilai statistik dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku.

Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter sehubungan dengan cara-cara menaksir harga parameter. Harga parameter yang sebenarnya tetapi tidak diketahui nilainya tersebut akan ditaksir berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.

Parameter populasi yang akan ditaksir pada bab ini adalah rata-rata, simpangan baku dan proporsi.

Secara umum parameter populasi akan diberi simbol θ (baca: theta). Jadi θ bisa merupakan rata-rata µ, simpangan baku σ , proporsi πdan sebagainya. Jika θ tidak diketahui harganya, ditaksir oleh harga θˆ (baca: theta topi), maka

θˆ dinamakan penaksir.

Sangat diharapkan θˆ=θ, yaitu penaksir dapat mengatakan harga parameter θ yang sebenarnya. Namun, keinginan ini dapat dikatakan terlalu ideal. Kenyataan yang sering terjadi adalah:

b. menaksir θ oleh θˆ terlalu rendah.

Kriteria untuk memperoleh penaksir yang baik yaitu: takbias, memiliki varians minimum dan konsisten.

a. penaksir θˆ dikatakan penaksir takbias jika rata-rata semua harga θˆ yang mungkin akan sama dengan θ, ditulis E

( )

θˆ =θ. Penaksir yang tidak takbias disebut penaksir bias.

b. penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil diantara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika θˆ₁ dan θˆ₂ dua penaksir untuk θ, jika varians θˆ₁ < varians θˆ₂, maka θˆ₁ merupakan penaksir bervarians minimum.

c. Misalkan θˆ penaksir untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan θˆ mendekati θ, maka θˆ disebut penaksir konsisten.

d. Penaksir yang takbias dan bervariansi minimum dinamakan penaksir terbaik.

Jika harga parameter θ ditaksir oleh θˆ tertentu, maka θˆ dinamakan penaksir atau tepatnya titik taksiran (estimasi titik).

Misalkan akan ditaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes. Maka diambil sebuah sampel acak, kemudian data sampel dikumpulkan lalu dihitung rata-ratanya. Misalkan diperoleh x= 160 cm. Jika 160 cm ini digunakan untuk menaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes, maka 160 adalah titik taksiran untuk rata-rata tinggi mahasiswa matematika Unnes.

Titik taksiran untuk suatu parameter µ, harganya akan berlainan tergantung pada harga x yang diperoleh dari sampel yang diambil, sehingga hasilnya kurang meyakinkan atau kurang dapat dipercaya. Untuk itu digunakan interval taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batas dua harga.

Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir, disebut koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang.

Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan γ (baca: gamma), maka 1

0<γ < . Harga γ yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi dan seberapa besar peneliti ingin yakin dalam membuat kesimpulan. Yang biasa digunakan adalah γ =0,95 atau γ =0,99.

Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien kepercayaan γ , diambil sebuah sampel acak lalu hitung nilai statistik yang diperlukan.

Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter θ antara A dan B adalah: (I.1) P

(

A<θ <B

)

=γ

Dengan A dan B fungsi daripada statistik, merupakan variabel acak, tetapi tidak tergantung pada θ.

Bentuk (I.1) dapat diartikan: peluangnya sama dengan γ bahwa θ terletak antara A dan B. Jika A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel, maka A dan B akan merupakan bilangan tetap, sehingga pernyataan di atas menjadi: kita merasa 100 γ% percaya bahwa parameter θ akan ada di dalam interval (A, B).

2. Menaksir Rata-rata µ

Misalkan dipunyai populasi berukuran N dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ . Dari populasi ini akan ditaksir parameter rata-rata µ. Untuk itu ambil sebuah sampel acak berukuran n, hitung satatistik yang diperlukan yaitu

xdan s. Titik taksiran untuk rata-rata µ adalah x. Dengan kata lain, nilai µ ditaksir oleh harga x yang diperoleh dari sampel.

Untuk memperoleh taksiran yang tinggi derajat kepercayaannya, digunakan interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang dikehendaki.

a. Simpangan baku σ diketahui dan populasi berdistribusi normal

Rumus (I.1) menjadi:

(I.2) _γ σ µ _γ σ _⎟⎟=γ

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ _{− < < +}

n z x n

z x

P . .

2 1 2

1

Dengan γ = koefisien kepercayaan dan _γ

2 1

z = bilangan z dari tabel normal baku untuk peluang 1₂γ.

Untuk memperoleh 100 γ% interval kepercayaan parameter µ dapat digunakan rumus:

(I.3)

n z x n

z

x _γ. σ µ _γ. σ

2 1 2

1 < < + −

b. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal

Kenyataannya parameter σ jarang sekali diketahui. Maka rumus (I.2) diganti

(I.4) µ _⎟⎟=γ

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ _{− < < +}

n s t x n

s t x

P _p. _p.

Dengan γ = koefisien kepercayaan dan t_p= nilai t dari daftar distribusi Student dengan =

(

1+γ

)

2 1

Untuk interval kepercayaannya: (I.5)

n s t x n

s t

x− _p. <µ< + _p. Bilangan

n s t

x− _p. dan

n s t

x+ _p. masing-masing merupakan batas bawah dan batas atas kepercayaan.

Jika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi N yakni >5%

N n

, maka rumus (I..3) dan rumus (I.5) menjadi:

(I.6)

1 .

1 .

2 1 2

1 ₋

− +

< < − − −

N n N n z x N

n N n z

x _γ σ µ _γ σ

(I.7)

1 .

1 .

− − +

< < − − −

N n N n s t x N

n N n s t

x _p µ _p

c. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi normal

Jika ukuran sampel n tidak terlalu kecil, maka dapat digunakan dalil limit pusat. Selanjutnya aturan-aturan yang diuraikan dalam bagian (b) di atas dapat digunakan dengan kekeliruan yang sangat kecil.

Jika distribusi populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel kecil sekali, maka teorinya harus dipecahkan menggunakan bentuk distribusi asli dari populasi yang bersangkutan.

Hal ini tidak dibicarakan di sini.

Contoh

Sebuah populasi berdistribusi normal berukuran 1000 dengan simpangan baku 5,75. dari populasi diambil sampel acak dan diperoleh rata-rata 68,6. Taksirlah:

a. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 30 b. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 80

Penyelesaian

Diketahui x= 68,6 σ= 5,75 γ = 95% = 0,95 γ 2 1 475 , 0

= Æ z_0,475= 1,96

a. Sampel n = 30 Æ 5%

1000 30 _≤ = N n n z x n z

x _γ. σ µ _γ. σ

2 1 2

1 < < + −

( )

( )

30 75 , 5 . 96 , 1 6 , 68 30 75 , 5 . 96 , 1 6 ,

68 − <µ< +

66,54<µ<70,66

Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah 66

, 70 54

,

66 <µ< .

Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi tersebut akan ada dalam interval dengan batas 66,54 dan 70,66.

b. Sampel n = 80 Æ 5%

1000 80 ≥ = N n 1 . 1 . 2 1 2 1 ₋ − + < < − − − N n N n z x N n N n z

x _γ σ µ _γ σ

( )

( )

1 1000 80 1000 . 30 75 , 5 . 96 , 1 6 , 68 1 1000 80 1000 30 75 , 5 . 96 , 1 6 , 68 − − + < < − − − µ

68,6−a<µ<68,6+a

Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah

a a< < +

− 68,6 6

,

68 µ .

Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi tersebut akan ada dalam interval dengan batas 68,6−a dan 68,6+a.

3. Menaksir Proporsi

Misalkan sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi binomial berukuran N dimana terdapat proporsi π untuk peristiwa A yang ada dalam populasi tersebut. Jika terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk peristiwa A =

n

x _{. Jadi titik taksiran untuk π adalah} n x _.

Digunakan pendekatan oleh distribusi normal kepada binomial untuk ukuran sampel n cukup besar.

Rumus 100 γ% keyakinan untuk interval kepercayaan π adalah (I.8)

n pq z

p n

pq z

p . .

2 1 2

1 _γ <π < + _γ −

dengan

n x

p= dan q=1−p sedangkan _γ

2 1

z adalah bilangan z yang diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ

2 1 _.

Contoh

Diadakan survei terhadap sebuah populasi masyarakat di kota Semarang dengan mengambil sampel 100 orang dan diperoleh yang suka berolahraga sejumlah 60 orang. Dengan koefisien kepercayaan 95%, taksirlah interval kesukaan berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut.

Penyelesaian

Diketahui γ= 95% = 0,95 γ

2 1

475 , 0

= Æ z0,475= 1,96

0,6

100 60 ₌

=

p Æ q= 0,4

Interval kepercayaan π adalah

n pq z

p n

pq z

p . .

2 1 2

1 _γ <π < + _γ −

( ) ( )( )

( ) ( )( )

100

4 , 0 6 , 0 . 96 , 1 6 , 0 100

4 , 0 6 , 0 . 96 , 1 6 ,

0 − <π < +

6960,504<π <0, % 6 , 69 %

4 ,

50 <π <

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa persentase kesukaan berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut akan ada dalam interval dengan batas 50,4 % dan 69,6 %.

4. Menaksir Simpangan Baku σ

Untuk menaksir varians σ2 dari sebuah populasi, maka perlu dihitung sampel varians s2 berdasarkan sampel acak berukuran n.

(I.9)

(

)

1

2 2

− − =

∑

n x x

s i

Varians _s2 _{adalah penaksir takbias untuk varians} σ2_{, tetapi simpangan baku}

s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku σ. Jadi titik taksiran s

untuk σ adalah bias.

Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians σ2_{, maka 100} γ_%

interval kepercayaan untuk σ2 ditentukan dengan menggunakan distribusi chi-kuadrat.

(I.10)

(

)

( )

(

)

( )

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

2

1 1

γ

γ χ

σ

χ _{+ −}

− < <

− s n s n

dengan n ukuran sampel sedangkan 2_{(1 )}

2 1 γ

χ ₊ dan 2_{(1 )}

2 1 γ

χ ₋ diperoleh dari daftar chi-kuadrat berturut-turut untuk =

(

1+γ

)

2 1

p dan =

(

1−γ

)

2 1

p dengan

(

−1

)

= n

dk .

Interval taksiran simpangan baku σ diperoleh dengan melakukan penarikan akar ketidaksamaan dalam rumus (I.10).

Contoh

Dari sebuah populasi yang berdistribusi normal, diambil sampel yang representatif dan diperoleh simpangan baku sebesar 6 dengan ukuran sampel 31. Dengan koefisien kepercayaan 99%, taksirlah interval dari simpangan baku populasi.

Penyelesaian

Diketahui n = 31 s = 6

γ = 99 % = 0,99

_{( )} 2_{(10,99) (,311) (}2_{0,995) ( ),30} 53,7

2 1 2

, 1 2

1 + =χ + − =χ =

χ _{γ dk}

_{( )} 2_{( ) ( ) (}2_{0,005) ( ),30} 13,8

1 31 , 99 , 0 1 2 1 2

, 1 2

1 ₋ =χ _{− −} =χ =

χ _{γ dk}

Interval kepercayaan simpangan baku populasi adalah

(

)

( )

(

)

( )

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

2

1 1

γ

γ χ

σ

χ _{+ −}

− < <

− s n s n

(

)( )

(

)( )

8 , 13

6 1 31 7

, 53

6 1

31 2 2

2 ₋

< < − _σ

(

)( )

(

)( )

8 , 13

6 1 31 7

, 53

6 1

31− 2 _{<σ <} − 2

4,4846<σ <8,8465

Jadi, kita merasa 99% yakin (percaya) bahwa simpangan baku populasi tersebut akan ada dalam interval dengan batas 4,4846 dan 8,8465.

5. Menaksir Selisih Rata-Rata

Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku masing-masing µ₁dan σ₁ untuk populasi pertama, µ₂dan σ₂untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah sampel acak dengan ukuran n₁ dan n₂ dari masing-masing populasi. Rata-rata dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut x₁, s₁dan x₂, s₂.

Akan ditaksir selisih rata-rata (µ₁−µ₂).

Titik taksiran untuk adalah (µ₁−µ₂) adalah (x₁−x₂). Untuk menaksir selisih rata-rata dibedakan hal-hal berikut:

a. Dalam hal σ₁=σ₂

Jika kedua populasi normal dan memiliki σ₁=σ₂ =σ yang besarnya diketahui, maka 100 γ% interval kepercayaan untuk (µ₁−µ₂) adalah

(I.11) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( n n z x x n n z x

x − − _γσ + <µ −µ < − + _γσ +

dengan _γ

2 1

z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ 2 1 _.

Jika kedua populasi normal dan memiliki σ₁ =σ₂ =σ tetapi besarnya tidak diketahui, maka perlu tentukan varians gabungan dari sampel yang dinyatakan dengan s2.

(I.12)

(

)

(

)

2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 − + − + − = n n s n s n s

Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi Student. Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan (µ₁−µ₂) adalah

(I.13) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 . ) ( 1 1 . ) ( n n s t x x n n s t x

x − − _p + <µ −µ < − + _p +

dengan s diperoleh dari rumus (I.12) dan t_p diperoleh dari daftar distribusi

Student dengan =

(

1+γ

)

2 1

p dan dk =n₁+n₂−2.

b. Dalam hal σ₁≠σ₂

Untuk populasi normal dengan σ₁≠σ₂ teori di atas tidak berlaku dan teori yang ada hanya bersifat pendekatan.

Dengan memisalkan s₁=σ₁ dan s₂ =σ₂ untuk sampel-sampel acak berukuran cukup besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal. Rumus interval kepercayaan ditentukan oleh:

(I.14)

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 ) ( )

(

n s n s z x x n

s n s z x

x − − _γ + <µ −µ < − + _γ +

dengan _γ

2 1

z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ 2 1 _.

c. Observasi berpasangan

Misalkan populasi pertama memiliki variabel acak X dan populasi kedua dengan variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing µ_x dan µ_y. Diambil sampel acak dari tiap populasi yang berukuran sama, n₁=n₂ =n.

Diperoleh data sampel

(

x₁,x₂,K,x_n

)

dan

(

y₁,y₂,K,y_n

)

, dan bila data observasi ini berpasangan maka

1

x berpasangan dengan y₁

2

x berpasangan dengan y₂ M

n

x berpasangan dengan y_n

Dalam hal berpasangan, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata

y x B µ µ

µ = − , dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data yaitu

1 1 1 x y

B = − , B₂ =x₂−y₂,…, B_n =x_n−y_n.

Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari B₁, B₂,…, B_n, dihitung

rata-rata Bdan simpangan baku s_Bdengan menggunakan

n B

B =

∑

i dan

₍

(

₎

)

1

2 2

1 − − =

∑

∑

n n

B B

n

s_B i

Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan µ_B adalah

s s _{< < +}

dengan t_p diperoleh dari daftar distribusi Student dengan =

(

1+γ

)

2 1

p dan

(

−1

)

= n

dk .

Contoh (Sudjana)

Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I dilakukan 50 kali yang menghasilkan x = 60,2 dan ₁ s₁2= 24,7. Cara II dilakukan 60 kali dengan x₂= 70,4 dan s₂2= 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95% mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut.

Penyelesaian

Diketahui x = 60,2 ; ₁ s₁2= 24,7 x₂= 70,4 ; s₂2= 37,2

Dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal.

(

)

(

1 0,95

)

0,975

2 1 1

2

1 _{+ = + =}

= γ

p ; dk=50+60−2=108

Karena kedua populasi normal dan memiliki σ₁=σ₂ =σ tetapi besarnya tidak diketahui, maka varians gabungan dari sampel adalah

(

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

53 , 31 2 60 50 2 , 37 1 60 7 , 24 1 50 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 = − + − + − = − + − + − = n n s n s n s

Maka interval kepercayaan 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 . ) ( 1 1 . ) ( n n s t x x n n s t x

x − − _p + <µ −µ < − + _p +

60 53 , 31 50 53 , 31 . ) 2 , 60 4 , 70 ( 60 53 , 31 50 53 , 31 . ) 2 , 60 4 , 70

( − −t_0,975;108 + <µ₁−µ₂ < − +t_0,975;108 +

(70,4−60,2)−

(

1,984

) ( )

.1,08 <µ1−µ2 <(70,4−60,2)+

(

1,984

) ( )

.1,08

8,06<µ1−µ2 <12,34

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa selisih rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.

diambil sebuah sampel acak berukuran n₁ dan n₂. Proporsi untuk peristiwa

yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah

1 1 1

n x

p = dan

2 2 2

n x

p = dengan

1

x dan x₂menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan.

Akan ditentukan interval taksiran untuk

(

π₁−π₂

)

dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal asalkan n₁ dan n₂cukup besar.

Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan selisih

(

π₁−π₂

)

adalah (I.16)

(

)

(

)

2 2 2 1

1 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 1

1 1 2 1 2 1

n q p n

q p z

p p n

q p n

q p z

p

p − − _γ + <π −π < − + _γ +

dengan q₁ =1−p₁ dan q₂ =1− p₂ sedangkan _γ

2 1

z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ

2

1 _.

Contoh (Sudjana)

Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas 500 pemudi dan 700 pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Ternyata diperoleh bahwa 325 pemudi dan 400 menyukai pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95% mengenai perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya.

Penyelesaian

Diketahui

persentase pemudi yang menyukai pameran 100% 65%

500 325

1 1

1= = × =

n x

p

persentase pemuda yang menyukai pameran 100% 57%

700 400

2 2

2= = × =

n x p

Jadi, q₁=1−p₁=1−65%=35% dan q₂=1− p₂=1−57%=43% Maka interval kepercayaan

(

)

(

)

2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 n q p n q p z p p n q p n q p z p

p − − _γ + <π −π < − + _γ +

(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

(

)(

) (

)(

)

700 43 , 0 57 , 0 500 35 , 0 65 , 0 57 , 0 65 , 0 700 43 , 0 57 , 0 500 35 , 0 65 , 0 57 , 0 65 , 0 95 , 0 . 2 1 2 1 95 , 0 . 2

1 + < − < − + +

−

− z π π z

(

0,65−0,57

) ( ) (

− 1,96 0,0284

)

<π₁−π₂ <

(

0,65−0,57

) ( ) (

+ 1,96 0,0284

)

0,024<π₁−π₂<0,136

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 2,4% dan 13,6%.

LATIHAN

1. Diketahui populasi siswa dengan ukuran 100 Taksirlah rata-rata penguasaan kemampuan bahasa dari populasi tersebut jika:

a. diambil sampel secara acak sebanyak 4 siswa dengan penguasaan kemampuan bahasa berikut 60,2 ; 65,4 ; 70,1 dan 72,8 dengan koefisien kepercayaan 95%.

b. diambil sampel secara acak sebanyak 10 siswa dengan penguasaan kemampuan bahasa berikut 60,4 ; 55,7 ; 70,2 ; 70,3 ; 60,5 ; 66,6 ; 62,8 ; 63,9 ; 70,1 ; 64,8 dengan koefisien kepercayaan 99%.

2. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138, 175, 152, 149, 148, 200, 182, 164. Jika berat tomat berdistribusi normal, tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata berat tomat.

3. Diketahui dua buah sampel yang diambil dari dua buah populasi. Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45

Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63

Tentukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaan 95 %, jika: a. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar yaitu 9,5.

c. simpangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama.

4. Dari populasi tanaman padi jenis A dan jenis B, diambil sampel tinggi tanaman padi sbb:

Sampel I dari padi jenis A : 39,3 ; 45,5 ; 41,2 ; 53 ; 44,2 ; 42,5 ; 63,9. Sampel II dari padi jenis B : 37 ; 42,4 ; 40,1 ; 52,2 ; 41,5 ; 40,8 ; 60,2.

Dengan observasi berpasangan tersebut dan interval kepercayaan 95 %,, taksirlah selisih rata-ratanya.

5. Sebuah sampel berukuran 200 lampu yang dihasilkan oleh sebuah mesin produksi menunjukkan 15 buah lampu rusak. Sebuah sampel lain berukuran 100 buah lampu yang dihasilkan oleh mesin kedua mengandung 12 buah lampu yang rusak. Tentukan interval kepercayaan 99% untuk selisih kedua perbandingan.

BAB II

PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Pendahuluan

Sebelumnya telah dipelajari cara-cara menaksir parameter untuk mengambil kesimpulan tentang berapa besar harga parameter. Cara pengambilan kesimpulan yang kedua akan dipelajari adalah melalui pengujian hipotesis. Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal tersebut yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya.

Jika asumsi atau dugaan tersebut dikhususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis disebut hipotesis statistik.

Contoh hipotesis

a. peluang lahirnya bayi berjenis kelamin laki-laki = 0,5. b. 25 % masyarakat termasuk golongan A.

c. Rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp 300.000,00 tiap bulan.

Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar, maka perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis.

2. Dua Macam Kekeliruan

Meskipun dalam penelitian hipotesis telah diterima atau ditolak, tidak berarti bahwa telah dibuktikan kebenaran hipotesis. Yang diperlihatkan adalah hanya menerima atau menolak hipotesis saja.

a. Kekeliruan tipe I ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima, b. Kekeliruan tipe II ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Tipe Kekeliruan Ketika Membuat Kesimpulan tentang Hipotesis Keadaan Sebenarnya

Kesimpulan

Hipotesis Benar Hipotesis Salah

Terima Hipotesis BENAR SALAH

(Kekeliruan tipe II)

Tolak Hipotesis SALAH

(Kekeliruan tipe II)

BENAR

Kedua tipe kekeliruan dinyatakan dalam bentuk peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan α(alpha) maka disebut pula

kekeliruan αdan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan β (beta) dikenal dengan kekeliruan β.

α disebut taraf signifikan (level of significan) atau taraf arti atau sering disebut taraf nyata.

Jika αdiperkecil, maka βmenjadi besar dan demikian sebaliknya. Harga α yang biasa digunakan adalah α =0,01 atau α=0,05.

Misalnya, dengan α=0,05 atau sering disebut taraf nyata (taraf signifikansi) 5%, artinya kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa akan menolak hipotesis yang harusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa telah dibuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti mungkin salah dengan peluang 0,05.

3. Langkah Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis akan membawa pada kesimpulan untuk menerima atau menolak hipotesis. Sehingga terdapat dua pilihan, dimana digunakan perumusan seperlunya agar lebih terperinci dan lebih mudah dalam penentuan di antara dua pilihan tersebut.

Hipotesis yang biasa dinyatakan dengan H, perlu dirumuskan dengan singkat dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Agar tampak adanya dua pilihan, maka hipotesis H ini didampingi pernyataan lain yang isinya berlawanan yang disebut dengan hipotesis tandingan (alternatif) yang dinyatakan dengan A.

Pasangan hipotesis H dan A, tepatnya H melawan A, akan menentukan kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah penolakan

hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering disebut dengan daerah kritis.

Bila menguji parameter θ (θ dapat berupa rata-rata µ, proporsi π, simpangan baku σ , dll), maka:

a. Hipotesis mengandung pengertian sama Pengujian sederhana lawan sederhana

1) H : θ =θ₀ A : θ=θ₁

dengan θ₀,θ₁ dua nilai berbeda yang diketahui. Pengujian sederhana lawan komposit

2) H : θ =θ₀ A : θ≠θ₀ 3) H : θ =θ₀ A : θ>θ₀ 4) H : θ =θ₀ A : θ<θ₀

b. Hipotesis mengandung pengertian maksimum (pengujian komposit lawan komposit)

H : θ≤θ₀ A : θ >θ

c. Hipotesis mengandung pengertian minimum pengujian komposit lawan komposit)

H : θ≥θ₀ A : θ<θ₀

Berikut hanya akan dipelajari pengujian terhadap hipotesis yang perumusannya mengandung pengertian sama atau tidak memiliki perbedaan, disebut hipotesis nol H₀ melawan hipotesis tandingannya H₁, yang mengandung pengertian tidak sama, lebih besar atau lebih kecil. H₁ harus dipilih dan ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi.

Pasangan H₀ dan H₁ yang telah dirumuskan dituliskan dalam bentuk berikut.

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

: H

θ θ

θ θ

atau

⎩ ⎨ ⎧

> =

0 1

0 0

: H

: H

θ θ

θ θ

atau

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 1

0 0

: H

: H

θ θ

θ θ

Selanjutnya, pilih bentuk statistik yang akan digunakan, apakah z, t, χ2, F atau lainnya. Harga statistik yang dipilih dihitung besarnya berdasarkan data sampel yang dianalisis. kriteria pengujian ditentukan berdasarkan pilihan taraf nyata αatau disebut ukuran daerah kritis.

Peran hipotesis tandingan H₁ dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai berikut:

1) Jika H₁ mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik yang digunakan didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah

α

2

1 _{. Karena adanya dua daerah penolakan maka pengujian hipotesis} dinamakan uji dua pihak.

Kedua daerah dibatasi oleh d1 dan d2 (pada contoh gambar d1 dinyatakan dengan nilai z = -1,96 dan d2 dinyatakan dengan z = 1,96) yang harganya diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan oleh α.

Kriteria yang digunakan: terima H₀ jika harga statistik yang dihitung berdasarkan data penelitian terletak diantara d1 dan d2, selain itu tolak H0.

2) Jika H₁ mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi statistik yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α.

Harga d (pada contoh gambar ddinyatakan dengan nilai z = 1,96) diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan oleh α, menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan H₀.

Kriteria yang digunakan: tolak H₀ jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d, selain itu terima H₀.

Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.

3) Jika H₁ mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kiri. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α.

Gambar daerah penerimaan dan penolakan akan sama dengan pada option 2) di atas, namun daerah penolakan terletak disebelah kiri.

Kriteria yang digunakan: terima H₀ jika statistik yang dihitung berdasarkan penelitian lebih besar dari d, selain itu tolak H₀.

Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri.

Secara ringkas langkah pengujian hipotesis adalah: 1. Rumuskan hipotesis pengujian yang akan digunakan. 2. Tentukan besarnya taraf nyata α.

3. Tentukan kriteria pengujian.

4. Tentukan nilai statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

5. Menarik kesimpulan menerima atau menolah H₀ berdasarkan hasil 3 dan 4.

4. Uji Hipotesis Rata-Rata µ: Uji Dua Pihak

Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ. Untuk menguji parameter rata-rata µ, diambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik xdan s.

a. Dalam hal σ diketahui

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

: H

µ µ

µ µ

dengan µ₀ sebuah harga yang diketahui.

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika − _(−α)< < _(1−α)

2 1 1

2

1 z z

z , selainnya tolak H₀.

Dengan _(1−α)

2 1

z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

1−α

)

2

1 _.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.1)

n x z= −_σµ0

dengan x adalah rata-rata sampel, µ₀ nilai yang diketahui, σ adalah simpangan baku populasi.

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh

Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Namun timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut telah berubah. Maka dilakukan pengujian terhadap 50 lampu untuk menentukan hal ini. Ternyata diperoleh rata-ratanya 792 jam. Berdasarkan pengalaman diketahui simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan menggunakan kepercayaan 95% apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.

Penyelesaian

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

: H

µ µ

µ µ

yaitu

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

800 :

H

800 :

H

1 0

µ µ

2. Taraf signifikansi α= 5%. 3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika − _(−α)< < _(1−α)

2 1 1

2

1 z z

z

_{( ) (1 0,05)}

2 1 05

, 0 1 2

1 − < < −

−z z z Æ 96−1,96<z<1, Dengan _(1−α)

2 1

z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

1−α

)

2

1 _.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil 94

, 0 50

60 800 792

0 = − =− −

=

n x z

σµ

5. Kesimpulan : karena z_hitung =−0,94 terletak dalam daerah penerimaan

0

H maka H₀ diterima. Jadi, µ=800 . Artinya, dalam taraf signifikansi 5% hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu masih 800 jam.

b. Dalam hal σ tidak diketahui

Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s.

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

: H

µ µ

µ µ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Terima H0 _jika − 1−12α < < 1−12α

t t t

Dengan _α

2 1 1−

t diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

dengan peluang α

2 1

1− dan dk =n−1.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.2)

n s x t= −µ0

(II.3)

(

)

1

2

− − =

∑

n x x

s i

dengan x adalah rata-rata sampel, µ₀ nilai yang diketahui, s adalah simpangan baku sampel.

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh

Untuk contoh sebelumnya (kasus masa hidup lampu pijar), dimisalkan simpangan baku populasi tidak diketahui, dan dari sampel diperoleh s = 55 jam. Selidikilah dengan menggunakan kepercayaan 95% apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.

Penyelesaian

Diketahui x= 792 ; n = 50 ; s = 55 Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

: H

µ µ

µ µ

yaitu

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

800 :

H

800 :

H

1 0

µ µ

2. Taraf signifikansi α= 5%. 3. Kriteria pengujian.

Terima H0 _jika 1−12α 1−12α < < −t t t

dengan dk = 50 - 1 = 49

_{( ) ( )}

05 , 0 1 2 1 05

, 0 1 2

1 − < < −

−t t t Æ −2,01<t<2,01 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil

029 , 1 50

55 800 792

0 = − =− −

=

n s x

t µ

5. Kesimpulan : karena t_hitung =−1,029 terletak dalam daerah penerimaan

0

H maka H₀ diterima. Jadi, µ=800 . Artinya, dalam taraf signifikansi 5% hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu masih 800 jam.

5. Uji Hipotesis Rata-Rata µ: Uji Satu Pihak

Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dan diambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu dihitung statistik xdan s.

Uji Pihak Kanan

a. Dalam hal σ diketahui

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

> =

0 1

0 0

: H

: H

µ µ

µ µ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika z≥z_0,5−α, selainnya H₀ diterima.

Dengan z_0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang

(

0,5−α

)

.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.1).

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ tidak diketahui

Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s.

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

> =

0 1

0 0

: H

: H

µ µ

µ µ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

TolakH₀ jika t≥t_1−α, selainnya H₀ diterima.

Dengan t_1−α diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student) dengan peluang 1−α dan dk=n−1.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2).

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh

Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi memiliki varians 2,3. metode baru diusulkan untuk mengganti metode lama jika rata-ratanya per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode akan diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil risiko 5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan labih dari 16 buah. Apakah keputusan yang akan diambil pengusaha?

Penyelesaian

Diketahui x= 16,9 ; n = 20 ; σ = 2,3, µ₀=16 Langkah pengujian hipotesis:

1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

: H

µ µ

µ µ

yaitu

⎩ ⎨ ⎧

> =

16 : H

16 : H

1 0

µ µ

2. Taraf signifikansi α= 5%. 3. Kriteria pengujian.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil 65

, 2 20

3 , 2

16 9 , 16

0 = − = −

=

n x z

σµ

5. Kesimpulan : karena z_hitung =2,65> z_0,5−α =1,64 terletak pada daerah kritis maka H₀ ditolak. Jadi, µ>16. Sehingga dapat disimpulkan bahwa dengan risiko 5% metode baru dapat menggantikan metode lama.

Uji Pihak Kiri

a. Dalam hal σ diketahui

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 1

0 0

: H

: H

µ µ

µ µ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika z≤−z_0,5−α, selainnya H₀ diterima.

Dengan z_0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

0,5−α

)

.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.1).

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ tidak diketahui

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 1

0 0

: H

: H

µ µ

µ µ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Dengan t_1−α diperoleh dari daftar distribusi Student t dengan peluang

α

−

1 dan dk=n−1.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2).

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh

Masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan kaleng tidak sesuai dengan yang tertera pada kemasannya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini, 23 kaleng makanan diteliti secara acak. Dari sampel tersebut diperoleh berat rata-rata 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 5%, bagaimanakah pendapat anda mengenai keluhan masyarakat tersebut.

Penyelesaian

Diketahui x= 4,9 ; n = 23 ; s = 0,2 ; µ₀= 5

Langkah pengujian hipotesis dengan varians populasi tidak diketahui: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

: H

µ µ

µ µ

yaitu

⎩ ⎨ ⎧

< =

5 : H

5 : H

1 0

µ µ

Jika rata-rata berat makanan kaleng tidak kurang dari 5 ons tentu masyarakat tidak akan mengeluh.

2. Taraf signifikansi α= 5%. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika t≤−t_1−α Æ 72−t_1−α =−t_1−0,05 =−1, dengan dk = 23 - 1 = 22 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil

398 , , 2 23

2 , 0

5 9 , 4

0 = − =− −

=

n s x

t µ

5. Kesimpulan : karena t_hitung =−2,398<−t_1−α =−1,72 terletak pada daerah kritis maka H₀ ditolak. Jadi, µ<5. Sehingga dapat disimpulkan penelitian tersebut menguatkan keluhan masyarakat mengenai berat makanan kaleng yang kurang

6. Uji Hipotesis Proporsi π: Uji Dua Pihak

Misalkan dipunyai populasi binomial dengan proporsi peristiwa A adalah π. Untuk menguji parameter proporsi π, diambil sebuah sampel acak berukuran n dari populasi dan menghitung proporsi sampel peristiwa A sebesar

n x

. Langkah pengujian hipotesis:

1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

0 1

0 0

: H

: H

π π

π π

dengan π₀ sebuah harga yang diketahui. 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α.

3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika − _(−α)< < _(1−α)

2 1 1

2

1 z z

z , selainnya tolak H₀.

Dengan _(1−α)

2 1

z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

1−α

)

2

1 _.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

(II.4)

(

)

n n x z

0 0

0

1 π

π π

− − =

dengan

n

x _{adalah proporsi peristiwa A dari sampel dan}

0

π adalah proporsi yang diuji.

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh

Akan diuji distribusi jenis kelamin laki-laki dan jenis kelamin perempuan adalah sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang terdiri atas 2.458 laki-laki. Dalam taraf nyata 5%, apakah benar distribusi kedua jenis kelamin tersebut adalah sama.

Penyelesaian

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 0 1 0 0 : H : H π π π π yaitu ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 5 , 0 : H 5 , 0 : H 1 0 π π

2. Taraf signifikansi α= 5%. 3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika − _(−α)< < _(1−α)

2 1 1

2

1 z z

z

_{( ) (10,05)}

2 1 05 , 0 1 2

1 − < < −

−z z z Æ 96−1,96<z<1,

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

(

)

(

)

1,68

4800 5 , 0 1 5 , 0 5 , 0 4800 2458 1 ₀ 0 0 = − − = − − = n n x z π π π

5. Kesimpulan :karena z_hitung =1,68 terletak dalam daerah penerimaan H₀maka

0

H diterima. Jadi, µ=0,5. Artinya, benar distribusi kedua jenis kelamin tersebut adalah sama.

7. Uji Hipotesis Proporsi π: Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧ > = 0 1 0 0 : H : H π π π π

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika z≥z_0,5−α. Terima H₀ jika z<z_0,5−α.

Dengan z_0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

0,5−α

)

.

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Uji Pihak Kiri

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 1

0 0

: H

: H

π π

π π

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika z≤−z_0,5−α, selainnya terima H₀.

Dengan z_0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

0,5−α

)

.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.4).

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh

Berbagai media memberitakan bahwa dari seluruh wanita 60% nya suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya. Untuk menyelidiki kebenaran berita tersebut, maka diambil sampel acak 100 orang wanita dan setelah diwawancarai ternyata yang suka menonton sinetron hanya 40 orang. Dengan α= 5%, ujilah kebenaran pernyataan berita tersebut dengan alternatif bahwa wanita suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya kurang dari 60%.

Penyelesaian

Diketahui x = 40 n = 100 π₀ =60%=0,6

Langkah pengujian hipotesis uji pihak kiri: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 1

0 0

: H

: H

π π

π π

yaitu

⎩ ⎨ ⎧

< =

6 , 0 : H

6 , 0 : H

1 0

π π

Tolak H₀ jika z≤−z_0,5−α Æ z≤−z_0,5−0,005 Æ z≤−z_0,45 Æ z≤−1,64 Terima H₀ jika z>−z_0,5−α Æ z>−1,64

α

−

5 , 0

z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(

0,5−α

)

. 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)

(

)

(

)

4,08

100 6 , 0 1 6 , 0

6 , 0 100 40

1 ₀

0 0

− = −

− =

− − =

n n x z

π π

π

5. Kesimpulan: karena z_hitung =−4,08<−1,64=−z_0,5−α maka H₀ ditolak.

Jadi, π <π₀ . Artinya, pemberitaan di media mengenai kesukaan wanita menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya tidak benar.

8. Uji Hipotesis Varians σ2_{: Uji Dua Pihak}

Pada pengujian rata-rata µ untuk populasi normal diperoleh hal dimana simpangan baku σ diketahui yang umumnya diperoleh dari pengalaman dan untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk itu dimisalkan populasi berdistribusi normal dengan varians

σ

2 dan daripadanya diambil sebuah sampel acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya _s2 _dihitung

dengan rumus:

(

)

1

2 2

− − =

∑

n x x

s i atau

₍

(

₎

)

1

2 2

2

− − =

∑

∑

n n

x x

n

s i i

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

≠ =

2 0 2 1

2 0 2 0

: H

: H

σ σ

σ σ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika 2

2 1 1 2 2

2

1_α χ χ _α

Dengan 2

2 1_α

χ dan 2

2 1 1 α

χ₋ diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan dk=n−1 dan masing-masing peluang 1₂α dan

(

1−1₂α

)

. 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

(II.5)

(

₂

)

0 2

2 1

σ

χ = n− s

(II.6)

(

)

1 2 2 − − =

∑

n x x

s i atau

(II.7)

(

)

) 1 ( 2 2 2 − − =

∑

∑

n n x x n

s i i

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh

Pada kasus sebelumnya tentang masa hidup lampu, diambil σ = 60 jam dengan ukuran sampel n = 50 diperoleh s = 55 jam. Jika masa hidup lampu berdistribusi normal, benarkah σ = 60 jam dalam taraf nyata 5%.

Penyelesaian

Diketahui σ = 60 jam ; n = 50 ; s = 55 jam Langkah pengujian hipotesis:

1. Hipotesis pengujian

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = 2 0 2 1 2 0 2 0 : H : H σ σ σ σ yaitu ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = 3600 : H 3600 : H 2 1 2 0 σ σ

2. Taraf signifikansi α= 5%. 3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika 2

2 1 1 2 2 2

1 _α χ χ _α

χ < < ₋ dengan dk =n−1=50−1=49

2 _.0,05

2 1 1 2 2 05 , 0 . 2

1 <χ <χ−

χ Æ 2

975 , 0 2 2 025 ,

0 χ χ

χ < <

32,4< χ2 <71,4 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

(

)

(

)(

)

174 , 41 025 , 3 1 50 1 2

2 = − = − =

σ

5. Kesimpulan :karena χ2 =41,174 terletak dalam daerah penerimaan H₀maka

0

H diterima. Jadi, σ2 =3600. Artinya, benar σ = 60 jam dalam taraf nyata 5%.

9. Uji Hipotesis Varians σ2: Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> =

2 0 2 1

2 0 2 0

: H

: H

σ σ

σ σ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika 2 1 2

α

χ

χ ≥ − , selainnya terima H0.

Dengan χ₁2_−α diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan 1

− =n

dk dan peluang

(

1−α

)

.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Uji Pihak Kiri

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

< =

2 0 2 1

2 0 2 0

: H

: H

σ σ

σ σ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika χ2 ≤χ_α2, selainnya terima H₀.

Dengan χ_α2 diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan dk=n−1 dan peluang α.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh (Walpole)

Seorang pengusaha pembuat baterai menyatakan umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku sama dengan 0,9 tahun. Diambil sampel acak sebesar 10 baterai mempunyai simpangan baku 1,2 tahun. Gunakan taraf nyata 5% untuk menguji apakah σ > 0,81 tahun!

Penyelesaian

Diketahui σ₀= 0,81 tahun ; n = 10 ; s = 1,2 tahun Langkah pengujian hipotesis:

1. Hipotesis pengujian

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> =

2 0 2 1

2 0 2 0

: H

: H

σ σ

σ σ

yaitu

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

> =

81 , 0 : H

81 , 0 : H

2 1

2 0

σ σ

2. Taraf signifikansi α= 5%. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika χ2 ≥χ₁2_−α, selainnya terima H₀. 2 16,919

05 , 0 . 2 1 =

χ dengan dk =n−1=10−1=9

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

(

)

(

)(

)

0 , 16 81

, 0

44 , 31 1 10 1

2 0

2

2 = − = − =

σ

χ n s

5. Kesimpulan : karena 16 2_.0,05 16,919

2 1 2 = <χ =

χ terletak dalam daerah

penerimaan H₀ maka H₀ diterima. Jadi, σ2 =0,81. Artinya, tidak ada alasan meragukan bahwa simpangan baku umur baterai adalah 0,9 tahun.

10.Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Dua Pihak

Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua populasi. Misalnya membandingkan hasil belajar, daya kerja suatu obat, dsb. Maka

akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya selisih rata-rata dan selisih proporsi.

Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku masing-masing µ₁dan σ₁ untuk populasi pertama, µ₂dan σ₂untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah sampel acak dengan ukuran n₁ dan n₂ dari masing-masing populasi. Rata-rata dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut x₁, s₁dan x₂, s₂. Akan diuji tentang rata-rata µ₁ dan µ₂.

a. Dalam hal σ₁=σ₂ =σ dan σ diketahui

Langkah pengujian hipotesis: a. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

2 1 1

2 1 0

: H

: H

µ µ

µ µ

b. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. c. Kriteria pengujian.

Terima H0 _jika − 12(1−α)< < 12(1−α)

z z z

, selainnya tolak H0_.

Dengan _(−α)

1 2 1

z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang 1₂

(

1−α

)

.

d. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.8)

2 1

2 1

1 1

n n

x x z

+ − =

σ

e. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ1=σ2 =σ tetapi σ tidak diketahui

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ = ₂ 1 0

: H

: H

µ µ

µ µ

3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika _{α α}

2 1 1 2

1

1− < < −

−t t t , selainnya tolak H₀.

Dengan _α

2 1 1−

t diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student) dengan peluang 1−1₂α dan dk =n₁+n₂−2.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.9)

2 1

2 1

1 1

n n s

x x t

+ − =

(II.10)

(

)

(

)

2 1 1

2 1

2 2 2 2 1 1 2

− +

− + − =

n n

s n s n s

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh (Sudjana)

Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui makanan mana yang lebih baik bagi ayam. Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi makanan B. Hasil percobaan pertambahan berat badan ayam (ons) sebagai berikut

Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4

Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 2,6 3,7

Bila populasinya dianggap normal, ujilah pada taraf nyata 5%, apakah kedua makanan tersebut sama baiknya atau tidak!

Penyelesaian

Diketahui dari data di atas x_A= 3,22 ; x_B= 3,07 ; s2_A= 0,1996 ; s2_B= 0,1112. Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun sama besar.

Langkah pengujian hipotesis dalam hal σ₁ =σ₂ =σ tetapi σ tidak diketahui 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

2 1 1

2 1 0

: H

: H

µ µ

µ µ α

3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika _{α α}

2 1 1 2

1

1− < < −

−t t t dengan dk=n₁+n₂−2=11+10−2=19

α

α ₁ 1₂

2 1

1− < < − −t t t Æ

05 , 0 . 2 1 1 05 , 0 . 2 1

1− < < −

−t t t Æ −2,09<t<2,09 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

Simpangan baku gabungan

(

)

(

)

2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 − + − + − = n n s n s n

s diperoleh s = 0,397.

(

)

0,862

10 1 11 1 397 , 0 07 , 3 22 , 3 1 1 2 1 2 1 = + − = + − = n n s x x t

5. Kesimpulan : karena −2,09<t_hitung =0,862<2,09 terletak dalam daerah penerimaan H₀ maka H₀ diterima. Jadi, µ₁=µ₂. Artinya, kedua macam makanan tersebut memberikan pertambahan berat badan ayam yang sama, sehingga kedua makanan tersebut sama baiknya.

c. Dalam hal σ₁≠σ₂ dan keduanya tidak diketahui

Untuk kasus ini belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan. Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik

t′.

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 2 1 1 2 1 0 : H : H µ µ µ µ 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika

2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 w w t w t w t w w t w t w + + < ′ < + +

− , untuk harga t yang

lain H₀ ditolak.

Dengan 1 2 1 1 n s w = ;

2 2 2 2 n s w =

m

t_β, diperoleh dari daftar distribusi Student dengan peluang β dan

m dk= .

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.11) 2 2 2 1 2 1 2 1 n s n s x x t + − = ′

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh (Sudjana)

Suatu barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah kedua proses itu menghasilkan barang yang sama kualitasnya ditinjau dari rata-rata daya tekannya. Maka diadakan percobaan sebanyak 20 kali masing-masing dari hasil proses pertama maupun kedua. Diperoleh informasi x₁= 9,25 kg ; x₂= 10,4 kg ; s₁= 2,24 kg ; s₂= 3,12 kg. Bila populasinya dianggap normal dengan varians kedua populasi tidak sama, dengan taraf nyata 5%, ujilah bagaimana hasilnya!

Penyelesaian

Diketahui x₁= 9,25 kg ; x₂= 10,4 kg ; s₁= 2,24 kg ; s₂= 3,12 kg.

Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun sama besar.

Langkah pengujian hipotesis dalam hal σ₁≠σ₂ dan keduanya tidak diketahui 1. Hipotesis pengujian

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = berbeda yang tekan daya rata -rata kualitas dengan barang an menghasilk proses kedua ; : H sama yang tekan daya rata -rata kualitas dengan barang an menghasilk proses kedua ; : H 2 1 1 2 1 0 µ µ µ µ

2. Taraf signifikansi α= 5%. 3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika 11 2 2 11 2 2

w w t w t w t w w t w t w + + < ′ < + + −

2509 , 0 20 0176 , 5 1 2 1

1= = =

n s

w ; 0,4867

20 7344 , 9 2 2 2

2 = = =

n s w

(

)

( )

(

_.0,05

)

_,(₂₀₁) 0,975;19 2,09 2 1 1 1 , 2 1 1 1

1 == = =

=t _{− −} t _{− −} t t

n

α

(

1 1₂

)

,( 1)

(

1 1₂.0,05

)

,(201) 0,975;19 2,09 2

2

= =

=

=t _{− −} t _{− −} t t n α Sehingga 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 w w t w t w t w w t w t w + + < ′ < + + −

(

)(

) (

)(

)

(

) (

)

(

(

0,

)(

2509

) (

) (

0,4867

)(

)

)

09 , 2 4867 , 0 09 , 2 2509 , 0 4867 , 0 2509 , 0 09 , 2 4867 , 0 09 , 2 2509 , 0 + + < ′ < + + − t

−2,09<t′<2,09

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

1,339

20 7344 , 9 20 0176 , 5 4 , 10 25 , 9 2 2 2 1 2 1 2 1 = + − = + − = ′ n s n s x x t

5. Kesimpulan : karena 09−2,09<t′=1,339<2, terletak dalam daerah penerimaan H₀ maka H₀ diterima. Jadi, µ₁ =µ₂. Artinya, kedua proses menghasilkan barang dengan kualitas yang sama baiknya.

d. Observasi berpasangan

Untuk observasi berpasangan, maka diambil µ_B =µ_x −µ_y.

Jika B₁=x₁−y₁, B₂ =x₂−y₂,…, B_n = x_n −y_n, maka data B₁, B₂,…,

n

B menghasilkan rata-rata B dan simpangan baku s_B. Langkah pengujian hipotesis:

1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 0 : H 0 : H 1 0 B B µ µ 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika _{α α}

2 1 1 2

1

1− < < −

Dengan _α

2 1 1−

t diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang

α

2 1

1− dan dk =n−1.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.12)

n s

B t

B

=

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

11.Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Satu Pihak

Serupa dengan uji dua pihak, pada uji satu pihak juga dimisalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing

1

µ dan µ₂ dan simpangan baku σ₁ dan σ₂.

Uji Pihak Kanan a. Dalam hal σ₁=σ₂

Langkah pengujian hipotesis: 1) Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

> =

2 1 1

2 1 0

: H

: H

µ µ

µ µ

2) Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3) Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika t<t_1−α, dan tolak H₀ untuk harga t yang lain. Dengan dk=n₁+n₂−2 dan peluang

(

1−α

)

dari daftar distribusi t. 4) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil

menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10). 5) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ₁≠σ₂

Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik

Langkah pengujian hipotesis: a) Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

> =

2 1 1

2 1 0

: H

: H

µ µ

µ µ

b) Tentukan besarnya taraf signifikansi α. c) Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika

2 1

2 2 1 1

w w

t w t w t

+ + ≥

′ , dan terima H₀ jika terjadi sebaliknya. Dengan

1 2 1 1

n s w = ;

2 2 2 2

n s w =

₍

₎

_{( )}

1 , 2 1 1 1

1−

−

=t _n

t _α dan

₍

₎

_{( )}

1 , 2 1 1 2

2−

−

=t _n

t _α

Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah

(

1−α

)

sedangkan derajat kebebasannya masing-masing

(

n₁−1

)

dan

(

n₂−1

)

.

d) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t′ yang sama dengan rumus (II.11).

e) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

c. Observasi berpasangan

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

> =

0 : H

0 : H

1 0

B B

µ µ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika t≥t1−_α, selainnya terima H0.

Dengan t_1−α diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang 1−α dan dk=n−1.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.12).

Uji Pihak Kiri

a. Dalam hal σ₁=σ₂ dan keduanya tidak diketahui

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

< =

2 1 1

2 1 0

: H

: H

µ µ

µ µ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika t≤−t_1−α, dan terima H₀ untuk harga t yang lain. Dengan t_1−α diperoleh dari daftar distribusi t dengan dk=n₁+n₂−2 dan peluang

(

1−α

)

.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ₁≠σ₂

Pendekatan yang diggunakan adalah statistik t′. Langkah pengujian hipotesis:

1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

< =

2 1 1

2 1 0

: H

: H

µ µ

µ µ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika

2 1

2 2 1 1

w w

t w t w t

+ + − ≤

′ , dan terima H₀ jika terjadi

sebaliknya. Dengan

1 2 1 1

n s w = ;

2 2 2 2

n s w =

₍

₎

_{,( 1)}

2 1 1 1

1−

−

=t _n

t _α dan

₍

₎

_{,( 1)}

2 1 1 2

2−

−

=t _n

t _α

Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah

(

1−α

)

sedangkan derajat kebebasannya masing-masing

(

n −1

)

dan

(

n −1

)

.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t′ yang sama dengan rumus (II.11).

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

c. Observasi berpasangan

Langkah pengujian hipotesis: 1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

< =

0 : H

0 : H

1 0

B B

µ µ

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Tolak H₀ jika t≤−t_{(1−α),( )n−1}, dan terima H₀ untuk t>−t_{(1−α),( )n−1} . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil

menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.12). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

12.Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Dua Pihak

Misalkan dipunyai dua populasi binomial yang di dalamnya didapat proporsi peristiwa A sebesar π₁dan π₂. Secara independen dari tiap populasi diambil sebuah sampel acak berukuran n₁ dan n₂. Proporsi untuk peristiwa yang

diperhatikan pada sampel tersebut adalah

1 1

n x

dan

2 2

n x

. Langkah pengujian hipotesis:

1. Hipotesis pengujian

⎩ ⎨ ⎧

≠ =

: H

: H

2 1 1

2 1 0

π π

π π

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α. 3. Kriteria pengujian.

Terima H₀ jika − _(−α)< < _(1−α)

2 1 1

2

1 z z

z , selainnya tolak H₀.

Dengan _(1−α)

2 1

12 14 5,75 6,25 33,0625 39,0625 35,9375

∑

X_i =50 25 , 6

=

X

∑

Y_i =62 75 , 7

=

Y

∑

x_i =0

∑

y_i =0

∑

x_i2 =107,5

∑

y_i2 =117,5

∑

x_iy_i =111,5

99 , 0 389 , 112

5 , 111 5

, 117 5 , 107

5 , 111

1 2 1

2

1 = = =

=

∑

∑

∑

= =

=

n

i i n

i i n

i i i

y x

y x r

Hubungan antara X dan Y sebesar 0,99 yang menunjukkan hubungan yang sangat kuat dan positif, artinya kenaikan biaya iklan pada umumnya menaikkan hasil penjualan.

Koefisien determinasi KD=r2 =0,9801=98% artinya sumbangan iklan terhadap variasi Y (naik turunnya hasil penjualan) adalah 98 %, dan 2 % sisanya disebabkan oleh faktor-faktor lainnya.

Dengan rumus 2

X Y 2

X Y2 XY

1 2 1 4 2

2 4 4 16 8

4 5 16 25 20

5 7 25 49 35

7 8 49 64 56

9 10 81 100 90

10 12 100 144 120

12 14 144 196 168

∑

X_i =50

∑

Y_i =62

∑

2 =420

i

X

∑

2 =598

i

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 8 1 2 8 1 2 8 1 2 8 1 2 8 1 8 1 8 1 8 8 8 i i i i i i i i i i i i i i i Y Y X X Y X Y X r

( ) ( )( )

( ) ( )

2

( ) ( )

2

62 598 8 50 420 8 62 50 499 8 − − − = r 99 , 0 075 , 899 892 940 860 892 = = =

3. Korelasi Rank (Peringkat)

Misalkan ada dua orang Adi dan Bayu yang sama-sama minuman ringan dalam kemasan. Kedua orang tersebut diminta untuk memberikan penilaian terhadap 10 merk minuman ringan dalam kemasan. Minuman ringan yang paling digemari diberi nilai 1 dan seterusnya sampai minuman ringan yang tidak disenangi diberi nilai 10. Sehingga dalam hal ini Adi dan Bayu memberikan rank (peringkat) terhadap merk minuman ringan tersebut. Pemberian peringkat ini dapat juga dibalik, minuman ringan yang paling digemari diberi nilai 10 dan seterusnya sampai yang tidak disenangi diberi nilai 1. Diperoleh hasil pemberian rank sebagai berikut

No Merk Minuman Ringan Rank dari Adi Rank dari Bayu

1 Coca Cola 9 8

2 Fanta 5 3

3 Sprite 10 9

4 Frestea 1 2

5 Mizone 8 7

6 Pulpy Orange 7 10

7 Teh Sosro 3 4

8 Pepsi Blue 4 6

9 Fruittea 2 1

10 Tebs 6 5

Untuk menghitung koefisien korelasi antara rank dari Adi dan Bayu terhadap 10 merk minuman ringan dalam kemasan tersebut digunakan Koefisien Korelasi Rank (Rank Spearman).

(

1

)

6

1 ₂

2

− −

=

∑

n n

d

r_rank i

dimana

i

d = selisih dari pasangan rank ke-i

n = banyaknya pasangan rank (dalam hal ini n = 10)

Contoh

Carilah koefisien korelasi rank antara rank Adi dan Bayu dalam menilai 10 merk minuman ringan.

Penyelesaian

Rank Adi 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Rank Bayu 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6 Selisih Rank (d) -1 -2 -1 1 -1 3 1 2 -1 -1

2

d 1 4 1 1 1 9 1 4 1 1 Sehingga

(

)

(

(

)

)

1 0,1455 0,8545 0,85 1

100 10

1 1

4 1 6 1 1 6

1 ₂

2

= =

− = −

+ + + + − = − −

=

∑

K

n n

d

r_rank i

Jadi, koefisien korelasi rank antara rank Adi dan Bayu dalam menilai 10 merk minuman ringan sebesar 0,85.

Contoh (Supranto, 1992: 159)

Ada 10 calon sales yang diuji mengenai teknik penjualan. Setelah mereka selesai diuji kemudian ditugaskan untuk melakukan penjualan. Diperoleh data hasil ujian (X) dan hasil penjualan tahun pertama (Y). Nilai X dan Y dari 10 sales termasuk rank-nya adalah sebagai berikut.

Sales Nilai Ujian

(X)

Rank Hasil Penjualan

(Y)

Rank Selisih Rank

(d)

2

d

A 48 3 312 2 1 1

B 32 6 164 8 -2 4

C 40 5 280 4 1 1

E 30 8 200 6 2 4

F 50 1,5 288 3 -1,5 2,25

G 26 9 146 10 -1 1

H 50 1,5 361 1 0,5 0,25

I 22 10 149 9 1 1

J 43 4 252 5 -1 1

Karena F dan H memiliki nilai yang sama maka rank mereka harus sama yaitu 5

, 1 2

2

1+ ₌

. Mula-mula F diberi nilai 1 dan H diberi nilai 2 (atau sebaliknya, kemudian dirata-rata). Apabila terdapat 3 objek yang memiliki nilai yang sama, maka diurutkan dan dicari rata-ratanya.

Sehingga

(

)

(

(

)

)

1 0,0939 0,9061 1

100 10

1 1

4 1 6 1 1 6

1 ₂

2

= −

= −

+ + + + − = − −

=

∑

K

n n

d

r_rank i

Jadi, koefisien korelasi rank antara rank nilai ujian dan hasil penjualan sebesar 0,9061.

LATIHAN

1. Berikan contoh pasangan variabel yang memiliki hubungan positif dan negatif.

2. Tentukan apakah hubungan variabel X dan Y berikut positif atau negatif. Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi kemudian interpretasikan hasilnya.

a.

X 2 4 3 8 9 10 15 13

Y 1 2 5 7 8 11 13 14 b.

X 1 3 4 7 9 11 13

3. Berikut data nilai hasil ujian mahasiswa matematika Unnes

X : nilai hasil ujian Kalkulus mahasiswa matematika Unnes

Y : nilai hasil ujian Statistika mahasiswa matematika Unnes

X 7 6 8 9 10 5 4 9 7 3

Y 6 8 9 7 9 6 5 8 8 4

Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi kemudian interpretasikan hasilnya.

4. Amat dan Budi diminta untuk memberikan rank berdasarkan suka dan tidaknya terhadap merk rokok tertentu. Rokok yang paling disenangi diberi nilai 10 dan yang paling tidak disenangi diberi nilai 1. Diperoleh hasil rank sebagai berikut.

No Merk Rokok Rank dari Amat Rank dari Budi

1 AAA 2 9

2 BBB 10 4

3 CCC 8 3

4 DDD 3 6

5 EEE 4 5

6 FFF 1 7

7 GGG 5 8

8 HHH 2 6

Hitung koefisien korelasi rank berdasarkan data tersebut!

5. Tabel berikut menunjukkan nilai 10 mahasiswa yang telah berbentuk rank, yang diperoleh dari hasil ujian kuliah Statistika dan Praktikum. Carilah korelasi ranknya.

Praktikum 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistika 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DAFTAR PUSTAKA

Hasan, I. 2001. Pokok-Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif). Edisi Kedua. Bumi Aksara. Jakarta.

Sudjana. 1996. Metoda Statistika Edisi ke 6. Penerbit Tarsito. Bandung.

Sugiyono. 2005. Statistik Untuk Penelitian. Penerbit Alfabeta. Bandung. Supranto, J. 1992. Statistik Teori dan Aplikasi. Jilid 1. Erlangga. Jakarta.

Walpole, R & Myers, R. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan