Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi
184
dengan kursi E berputar sejauh 900 dan menyebabkan titik 5 berpasangan dengan kursi G
Setelah meja diputar sejauh 900, maka pasangan titik 1,2,3,4,5,6,7, dan 8 pada meja terhadap kursi A, B, C, D, E, F,G, dan H adalah
sebagai berikut.
A B
H G
F E
D C
O 7
6 5
4 3
2 1
8
Diperoleh, titik 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 masing-masing berpasangan dengan kursi C, D, E, F, G, H, A, dan B.
1. Rotasi terhadap Titik Pusat O0, 0
Misalkan titik A pada roda dipindahkan pada bidang koordinat cartesius, maka koordinat titik A adalah x, y. Jika
titik Ax, y dirotasikan terhadap titik pusat O0, 0 sejauh q
dan bayangan yang dihasilkan adalah Ax, y, dapatkah Anda tentukan koordinat x, y? Perhatikanlah Gambar 5.23
berikut.
Ax, y x
Ax, y y
y y
x x
O
Terdapat hubungan antara x dan y dengan x dan y dan sudut putaran
q , yaitu
x = x cos q
– y sin q
y = x sin q
+ y cos q
Jika titik Ax, y dirotasikan terhadap titik pusat O0, 0 sejauh
q atau dinotasikan R [O,
q ] maka bayangan dari titik
A adalah Ax, y, di mana x = x cos
q – y sin
q dan y = x sin
q + y cos
q atau ditulis
Ax, y Æ
A x cos q
– y sin q
, x sin q
+ y cos q
Gambar 5.23
Titik Ax. y dirotasikan terhadap titik pusat O0, 0 sejauh
Ƨ berlawanan arah putaran jarumjam.
Di unduh dari : Bukupaket.com
185
Transformasi Bidang Datar
Contoh Soal 5.19
Tentukan bayangan dari titik P2, 1 jika dirotasikan terhadap: a
. R [0, 30° ]
b .
R [0. –30°]
Jawab :
Titik P2, 1 maka x = 2 dan y = 1. cos 30° =
1 2
3 , sin 30° = 1
2 , cos–30° =
1 2
3 , sin–30° = – 1
2 Bayangan titik P ditentukan dengan menggunakan persamaan
transformasi R [O, q
] qq
x = x cos x
q –
q y sin
q y = x sin
x q
+ y cos q
a .
R [O, 30°] diperoleh x = 2 cos 30° – sin 30° = 2
1
2 3 –
1 2
= 3 –
1 2
y = 2 sin 30° + cos 30° = 2
1 2
+ 1
2 =
3 = 1 + 1
2 3
Jadi, bayangan dari titik P2, 1 yang dirotasikan sejauh 30° terhadap titik pusat O 0, 0 adalah P
3 1
2 1
1 2
3 -
+ 1
Ê Ë
ÊÊÊÊ ËË
ÊÊÊÊ ˆ
¯ ˆˆˆˆ
¯¯ ˆˆˆˆ
,
b .
R [O, –30°] diperoleh x = 2 cos 30° – sin–30° = 2
1
2 3 –
-ÊË ÊÊÊÊ
ËË ÊÊÊÊ
ˆ ¯
ˆˆˆˆ ¯¯
ˆˆˆˆ 1
2 = 3
1 2
+ y = 2 sin–30° + cos–30° = 2
-ÊË
ÊÊÊÊ ËË
ÊÊÊÊ ˆ
¯ ˆˆˆˆ
¯¯ ˆˆˆˆ
1 2
+ 1
2 3 = –1 +
1 2
3 Jadi, bayangan dari titik P2, 1 jika dirotasikan sejauh –30°
terhadap titik pusat O 0,0 adalah P 3
1 2
1 1
2 3
+ +
1 ,
Ê Ë
ÊÊÊ ËË
ÊÊÊÊ ˆ
¯ ˆˆˆˆ
¯¯ ˆˆˆˆ
.
Persamaan x = x cos
q – y sin
q dan y = x sin
q + y cos
q disebut persamaan transformasi rotasi terhadap titik pusat O0, 0
sejauh q
atau R [O, q
].
Gambar 5.24
Ayunan adalah contoh tranformasi rotasi.
Sumber : ndonetwork.co.id
Rotasi terhadap titik pusat O0, 0 dapat pula dinyatakan dalam bentuk matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi
rotasi berikut. x = x cos
q – y sin
q y = x sin
q + y cos
q
Notes
Matriks rotasi terhadap pusat O0, 0 adalah
co co
s s
i i
si si
n n
q q
q q
s s
in in
q q
q q
c c
os os
Ê Ê
Ë Ë
Á Á
Ê Ê
Ê Ê
Ë Ë
Ë Ë
ˆ ˆ
¯ ¯
˜ ˜
ˆ ˆ
ˆ ˆ
¯ ¯
¯ ¯
Di unduh dari : Bukupaket.com
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi
186
Jika persamaan tersebut diuraikan, diperoleh x = cos
q
x – sin q
y
y = sin q
x + cos q
y maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut.
x y
x y
cos sin
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= q
q sin
q q
cos cos
sin q
q sin
q q
cos Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ disebut matriks rotasi terhadap titik pusat
O0, 0.
Contoh Soal 5.20
Dengan menggunakan matriks rotasi, tentukan bayangan dari titik P5, 5 yang dirotasikan terhadap titik pusat O0, 0 sejauh 90°.
Jawab :
Diketahui P5, 5, maka x = 5 dan x
y = 5. cos 90° = 0 dan sin 90° = 1.
maka diperoleh x
y Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ =
cos sin
q q
sin q
q cos
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
x y
= cos
sin sin
cos 90
90 90
90 5
5 r
r r
r cos 90
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= 1
1 5
5 Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯
= -Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ 5
5 Jadi, bayangan dari titik P5, 5 adalah P–5, 5.
2. Rotasi terhadap Titik Pusat Pa, b
