163
Transformasi Bidang Datar y
A A
x
Garis-garis yang berfungsi sebagai cermin disebut sumbu cermin atau sumbu refleksi. Pada subbab ini, Anda akan
mempelajari re Áeksi terhadap sumbu-x, reÁeksi terhadap sumbu-y,
re Áeksi terhadap garis y = x, reÁeksi terhadap garis y = –x, reÁeksi
terhadap garis x = a, dan re Áeksi terhadap garis y = b. Pelajarilah
uraian berikut.
1. Re fleksi Terhadap Sumbu-x
Misalkan Ax, y adalah titik pada bidang koordinat Cartesius dan Ax,y adalah bayangan dari titik Ax, y yang dire
Áeksikan terhadap sumbu-x. Bagaimanakah menentukan titik A?
Perhatikan gra Àk berikut.
1 2
–2 y
x A
B B
A
3 –1
Pada gambar 5.8, titik A2, 2 dan B–3, –1 dire Áeksikan
terhadap sumbu-x, sehingga diperoleh titik A2, –2 dan B–3, 1. Lihatlah, jarak titik A dan A dengan sumbu-x adalah sama, yaitu 2
satuan dan garis AA tegak lurus dengan sumbu-x. Jadi, bayangan dari titik A2, 2 yang dire
Áeksikan terhadap sumbu-x adalah A2, –2. Perhatikan diagram berikut.
A2, 2 Æ
A2, –2 absis
: 2 Æ
2 ordinat
: 2 Æ
–2
tetap
berubah tanda
Re fleksi titik A terhadap sumbu-y
Gambar 5.7
Re fleksi titik A dan B terhadap
sumbu-x
Gambar 5.8
Di unduh dari : Bukupaket.com
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi
164
Jarak titik B dan B dengan sumbu-x sama, yaitu 1 satuan dan garis BB tegak lurus dengan sumbu-y. Jadi bayangan dari
titik B–3, –1 yang dire Á eksikan terhadap sumbu-x adalah
B–3, 1. Perhatikan diagram berikut. B–3, –1
Æ B–3, 1
absis : –3
Æ –3
ordinat : –
1 Æ
1
tetap
berubah tanda
Dari contoh tersebut tampak koordinat bayangan yang dihasilkan mempunyai absis koordinat x yang nilai dan tandanya
sama dengan absis titik sebelumnya. Adapun, ordinatnya hanya berubah tanda.
Ax, y Æ
Ax, –y absis
: x Æ
x ordinat
: y
Æ –y
tetap
berubah tanda
Jadi, secara umum de À nisi reÁ eksi adalah sebagai berikut.
Contoh Soal 5.4
Tentukan bayangan dari titik-titik berikut yang dire Á eksikan terhadap
sumbu–x, – kemudian gambarkan bayangannya pada bidang koordinat
Cartesius. a
. A3, 2
c .
C–2, 4
b .
B5, –1 d
. D–3, –3
Jawab :
a . Titik
A3, 2 x = 3 dan
x y = 2 maka diperoleh
x = x = 3 dan x
y = –y – = –2.
Jadi, bayangan dari titik A3, 2 yang dire Á eksikan terhadap
sumbu-x adalah x
A3, –2.
b . Titik
B5, –1 x = 5 dan
x y = –1 maka
x
= x = 5 dan x
y = –y = – –1 = 1. Jadi, bayangan dari titik B5,–1 yang dire
Á eksikan terhadap sumbu-x adalah
x A5, 1.
Jika Ax, y dire Á eksikan terhadap sumbu-x maka diperoleh
bayangannya, yaitu Ax, y, dengan persamaanya sebagai adalah x = x dan y = –y
Ditulis
Ax, y Ax, –y
sumbu-x
Persamaan x = x dan y = –y disebut persamaan transformasi re
Á eksi.
Jelajah
Matematika
Leonardo da Vinci 1452–1519
Seorang seniman dan ahli teknik berkebangsaan
Italia, Leonardo da Vinci adalah salah seorang
jenius dari zaman Renaissance. Ia yang
membuat lukisan paling terkenal sepanjang
massa, yaitu monalisa dan The Last Supper,
Da vinci selalu mengisi buku catatannya dengan
berbagai penemuan dan inovasi ilmiah. Ia dapat
menggambar dengan tangan kanan dan menulis
dengan tangan kiri serta menggunakan tulisan
cermin untuk mencatat pekerjaannya.
Sumber: www.hschamberlain.net
Di unduh dari : Bukupaket.com
165
Transformasi Bidang Datar
Contoh Soal 5.5
Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudutnya, yaitu C
A1, 4, B3, 1, dan C4, 6. Gambarlah bayangan dari segitiga ABC yang
C dire
Á eksikan terhadap sumbu-x pada x
bidang koordinat Cartesius.
Jawab :
Diketahui titik-titik sudut segitiga A1, 4, B3, 1, dan C4, 6. Untuk mendapatkan bayangan dari segitiga ABC yang dire
Á eksikan C
terhadap sumbu –x – , tentukan terlebih dahulu koordinat bayangan dari
titik-titik sudutnya. Bayangan dari A1, 4 yang dire
Á eksikan terhadap sumbu-x adalah x
A1, –4. Bayangan dari B3, 1 yang dire
Á eksikan terhadap sumbu-x adalah x
B3, –1.
Seperti pada translasi, Anda juga dapat menentukan re Á eksi
pada beberapa titik yang membentuk suatu bidang datar. Bidang datar yang dihasilkan akan sama bentuk dan ukurannya.
Perhatikan Contoh Soal 5.5 berikut.
c .
Pada titik C–2, 4 x = –2 dan y = 4 maka
x = x = –2 dan y = –y = –4. Jadi, bayangan dari titik C–2, 4 yang dire
Á eksikan terhadap sumbu-x adalah A–2,-4.
d .
Pada titik D–3, –3 x = –3 dan y = –3 maka
x = x = –3 dan y = –y = ––3 = 3. Jadi, bayangan dari titik D–3, –3 yang dire
Á eksikan terhadap sumbu-x adalah A–3, 3.
1 1
2 3
4
–2
–3 –4
–2 –1
y
x
D C
2 3
4 5
–1 –3
A B
B A
C D
Titik A 3, 2, B 5,1, C –2, 4 dan D –3, –3 dire
fl eksikan terhadap sumbu–x diperoleh A 3, – 2,
B C –2, –4, dan D –3, 3
Gambar 5.9
Di unduh dari : Bukupaket.com
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi
166
Pada gambar tersebut terlihat segitiga ABC kongruen dengan segitiga ABC.
Persamaan transformasi dapat diterjemahkan dalam bentuk matriks. Anda dapat menentukan bayangan suatu titik yang
transformasikan dengan menggunakan operasi perkalian dua buah matriks.
Untuk refleksi terhadap sumbu-x, perhatikan kembali persamaan transformasi re
Á eksi berikut. x = x dan y = y
Jika persamaan tersebut diuraikan, diperoleh x = 1
x + 0
y
y = 0
x + –1
y maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut.
x y
x y
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= 1
1 -
1 1
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
disebut matriks re Á eksi terhadap sumbu-x.
Bayangan dari C4, 6 yang dire Á eksikan terhadap sumbu-x adalah
C4, –6. Bayangan dari segitiga ABC diperoleh dengan menghubungkan
titik-titik A1, –4, B3, –1, dan C4, –6 seperti pada Gambar 5.11 berikut.
1 2
3 4
5 6
–4 –5
–1 –2
–3 A
A
C C
B B
–6 y
x
Gambar 5.10
Segitiga ABC dire fl eksikan terhadap
sumbu-x menghasilkan segitiga ABC
Di unduh dari : Bukupaket.com
167
Transformasi Bidang Datar
Contoh Soal 5.6
Dengan menggunakan matriks re Á eksi terhadap sumbu-x, tentukan
bayangan titik-titik berikut. a
. A3, 2
c .
C–2, 4
b .
B5, –1 d
. D–3, –3
Jawab :
a . Pada titik A3, 2, x = 3 dan
x y = 2 maka diperoleh
x y
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= 1
1 Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ x
y =
1 1
3 2
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= 1 3 0 2
0 3 2
3 0 1
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
+ +
= 3
2 -
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Diperoleh x = 3 dan y = –2. Jadi, bayangan dari titik A3, 2 yang dire
Á eksikan terhadap sumbu-x adalah A3, –2.
b .
Pada titik B5, –1, x = 5 dan x
y = –1 maka diperoleh x
y Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ =
1 1
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
x y
= 1
1 5
1 Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ - Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ =
1 5 0 5
5 1
1 1
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
+ +
= 5
1 Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ Diperoleh x = 5 dan y = 1. Jadi, bayangan dari titik B5, –1
yang dire Á eksikan terhadap sumbu-x adalah
x A5, 1.
c .
Pada titik C–2, 4, x = –2 dan x
y = 4 maka diperoleh x
y Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ =
1 1
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
x y
= 1
1 2
4 Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ -Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯
= 1
0 4 4
2 2
1 Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ +
+ =
- -
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
2 4
Notes
Matriks re fl eksi terhadap
sumbu-x adalah 1
1 -
Ê ËÁ
ˆ ¯˜
Di unduh dari : Bukupaket.com
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi
168
2. Re fl eksi terhadap Sumbu-y
