Silogisme Modus Ponens Penarikan Kesimpulan

35 Logika Matematika pertama disebut premis dan pernyataan yang terakhir disebut kesimpulan atau konklusi. Premis-premis ini mendukung kesimpulan. Jika salah satu premis salah maka kesimpulan akan salah. Susunan penarikan kesimpulan sebagai berikut. Premis 1 Premis 2 Kesimpulan Rangkaian premis-premis dan kesimpulannya disebut juga argumen. Argumen dikatakan sah jika proses penarikan kesimpulannya benar. Dengan demikian, dapat terjadi kesimpulan berupa pernyataan yang salah meskipun argumennya sah. Argumen yang sah merupakan tautologi. Metode penarikan kesimpulan yang akan dipelajari pada bagian ini adalah silogisme, modus ponens, dan modus tollens.

1. Silogisme

Silogisme adalah suatu metode penarikan kesimpulan dengan aturan sebagai berikut. Misalkan p, q, dan r adalah suatu pernyataan. p q premis 1 q r premis 2 p r kesimpulan dibaca jadi Bentuk di atas dapat ditulis [p q ›q r] p r Argumen yang memenuhi silogisme merupakan argumen yang sah, ini dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran untuk [p q ›q r] p r sebagai berikut. p q r p q p r p r p q ›q r [p q ›q r] p r B B B B B B B B B B S B S S S B B S B S B B B B B S S S S S S B S B B B B B B B S B S B S B S B S S B B B B B B S S S B S B S B Pada tabel tersebut tampak [p q › q r] p r merupakan tautologi. Kata Kunci • argumen • premis • konklusi • silogisme • modus ponens • modus tollens Di unduh dari : Bukupaket.com Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi 36

2. Modus Ponens

Modus ponens adalah suatu metode penarikan kesimpulan dengan aturan sebagai berikut. Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan. p q premis 1 p premis 2 q kesimpulan Contoh Soal 1.29 Buatlah kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga terbentuk argumen yang sah. a . Jika matahari bersinar maka cuaca cerah. premis 1 Jika cuaca cerah maka hujan tidak turun. premis 2 b . Jika 2 bilangan cacah maka 2 bilangan bulat. premis 1 Jika 2 bilangan bulat maka 2 bilangan real. premis 2 c . Jika x y maka –x –y premis 1 –x • –y atau –2x –2y premis 2 Jawab : a . Misalkan p: matahari bersinar, q: cuaca cerah, dan r: hujan tidak turun. maka pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan dengan p q premis 1 q r premis 2 Agar menjadi argumen yang sah, maka penarikan kesimpulan harus memenuhi aturan silogisme, yaitu sebagai berikut. p q premis 1 q r premis 2 p r kesimpulan Dengan demikian, kesimpulannya adalah Jika matahari bersinar, maka tidak turun hujan. b . Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan Jika 2 bilangan cacah, maka 2 bilangan real. c . Misalkan p: x y, q: –x –y, dan r: –2x –2y. maka pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan dengan p q premis 1 ~q œr premis 2 Telah diketahui bahwa q r |~q œr maka pernyataan di atas menjadi Jika x y maka –x –y premis 1 Jika –x –y maka –2x –2y premis 2 Dengan demikian, kesimpulannya adalah Jika x y, maka –2x –2y Beberapa fi lsafat memperhatikan bagaimana manusia berdebat. Ketika Anda berdebat, tentu Anda akan melakukannya dengan baik dan masuk akal logis. Aristoteles, seorang fi lsafat Yunani, menulis tentang jenis argumen yang disebut silogisme. Semua jenis sapi berkaki empat. Daisy adalah seekor sapi maka Daisy berkaki empat. Namun bagaimana dengan pernyataan Semua sapi berkaki empat. Anjingnya, si Rover, berkaki empat. Jadi, Rover adalah sapi. Dapatkah Anda lihat, apa yang salah dari argumen ini? Soal Pilihan Di unduh dari : Bukupaket.com 37 Logika Matematika Bentuk di atas dapat ditulis [p q› p] q Argumen yang memenuhi modus ponens merupakan argumen yang sah, hal ini dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran untuk [p q ›p] q berikut. p q p q p q ›p [p q ›p] p B B B B B B B B B B B S S S B B S S S B S B B B B S B B B B S S B B B S S B B B Tampak [p q ›p] q merupakan tautologi. Contoh Soal 1.30 Tariklah kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga terbentuk argumen yang sah. 1 . Jika x burung maka x x dapat terbang. x premis 1 Gagak burung. premis 2 2 . Jika x bilangan asli maka x x bilangan cacah. x premis 1 Jika 3 adalah bilangan asli. premis 2 3 . Jika x x y maka –x – – x y – . premis 1 3 2. premis 2 Jawab : 1. Misalkan p: x burung dan x q: x dapat terbang. x maka pernyataan di atas menjadi p q premis 1 p premis 2 Agar menjadi argumen yang sah, maka kesimpulan yang ditarik harus memenuhi aturan ponens, yaitu p q premis 1 p premis 2 q kesimpulan Dengan demikian, kesimpulannya adalah Gagak dapat terbang. 2 . Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan 3 adalah bilangan cacah. 3 . Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan –3 –2. Search Ketik: www.e-dukasi.net mapokpenarikan kesimpulan Website ini memuat materi penarikan kesimpulan pada logika matematika, seperti modus ponens, modus tollens, dan silogisme. Selain itu, memuat latihan dan simulasi dengan animasi yang memungkinkan Anda berlatih secara on-line. Di unduh dari : Bukupaket.com Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi 38 Contoh Soal 1.31 Tariklah kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga terbentuk argumen yang sah. 1 . Jika bulan di atas laut maka laut pasang premis 1 Laut tidak pasang premis 2 2 . Jika log x = x y, x 0 maka 10 x y = xx premis 1 10 2 ȴ 1.000 premis 2 3 . Jika x 0 maka – x x – 0 x premis 1 –x – • 0 x premis 2 Jawab : 1 . Misalkan p: bulan di atas laut dan q: laut pasang. maka pernyataan tersebut dapat dinyatakan menjadi p q premis 1 ~q premis 2 Agar menjadi argumen yang sah, maka kesimpulan yang ditarik harus memenuhi aturan tollens, yaitu p q premis 1 ~q premis 2 ~p ~ kesimpulan

3. Modus Tollens