35
Logika Matematika
pertama disebut premis dan pernyataan yang terakhir disebut kesimpulan atau konklusi. Premis-premis ini mendukung
kesimpulan. Jika salah satu premis salah maka kesimpulan akan salah. Susunan penarikan kesimpulan sebagai berikut.
Premis 1 Premis 2
Kesimpulan Rangkaian premis-premis dan kesimpulannya disebut
juga argumen. Argumen dikatakan sah jika proses penarikan kesimpulannya benar. Dengan demikian, dapat terjadi kesimpulan
berupa pernyataan yang salah meskipun argumennya sah. Argumen yang sah merupakan tautologi. Metode penarikan
kesimpulan yang akan dipelajari pada bagian ini adalah silogisme, modus ponens, dan modus tollens.
1. Silogisme
Silogisme adalah suatu metode penarikan kesimpulan dengan aturan sebagai berikut. Misalkan p, q, dan r adalah suatu
pernyataan. p
q premis 1
q r
premis 2 p r
kesimpulan dibaca jadi
Bentuk di atas dapat ditulis [p
q q r] p r Argumen yang memenuhi silogisme merupakan argumen
yang sah, ini dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran untuk [p
q q r] p r sebagai berikut.
p q
r p
q p
r p
r p q q r [p q q r] p r B
B B
B B
B B
B B
B S
B S
S S
B B
S B
S B
B B
B B
S S
S S
S S
B S
B B
B B
B B
B S
B S
B S
B S
B S
S B
B B
B B
B S
S S
B S
B S
B
Pada tabel tersebut tampak [p q q r] p r
merupakan tautologi.
Kata Kunci
• argumen • premis
• konklusi • silogisme
• modus ponens • modus tollens
Di unduh dari : Bukupaket.com
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
36
2. Modus Ponens
Modus ponens adalah suatu metode penarikan kesimpulan dengan aturan sebagai berikut. Misalkan p dan q adalah suatu
pernyataan. p
q premis 1
p premis 2
q kesimpulan
Contoh Soal 1.29
Buatlah kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga terbentuk argumen yang sah.
a
. Jika matahari bersinar maka cuaca cerah.
premis 1 Jika cuaca cerah maka hujan tidak turun.
premis 2
b .
Jika 2 bilangan cacah maka 2 bilangan bulat. premis 1
Jika 2 bilangan bulat maka 2 bilangan real. premis 2
c . Jika
x y maka –x –y premis 1
–x –y atau –2x –2y
premis 2
Jawab :
a . Misalkan
p: matahari bersinar, q: cuaca cerah, dan r: hujan tidak turun.
maka pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan dengan p
q premis 1
q r
premis 2 Agar menjadi argumen yang sah, maka penarikan kesimpulan
harus memenuhi aturan silogisme, yaitu sebagai berikut. p
q premis 1
q r
premis 2 p r
kesimpulan Dengan demikian, kesimpulannya adalah
Jika matahari bersinar, maka tidak turun hujan.
b .
Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan Jika 2 bilangan cacah, maka 2 bilangan real.
c . Misalkan
p: x y, q: –x –y, dan r: –2x –2y. maka pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan dengan
p q
premis 1 ~q
r premis 2
Telah diketahui bahwa q r |~q r maka pernyataan di atas
menjadi Jika
x y maka –x –y premis 1
Jika –x –y maka –2x –2y premis 2
Dengan demikian, kesimpulannya adalah Jika
x y, maka –2x –2y
Beberapa fi lsafat
memperhatikan bagaimana manusia
berdebat. Ketika Anda berdebat, tentu Anda akan
melakukannya dengan baik dan masuk akal
logis. Aristoteles, seorang
fi lsafat Yunani, menulis tentang jenis argumen
yang disebut silogisme. Semua jenis sapi berkaki
empat. Daisy adalah seekor sapi maka Daisy
berkaki empat. Namun bagaimana dengan
pernyataan Semua sapi berkaki empat. Anjingnya,
si Rover, berkaki empat. Jadi, Rover adalah sapi.
Dapatkah Anda lihat, apa yang salah dari argumen
ini?
Soal Pilihan
Di unduh dari : Bukupaket.com
37
Logika Matematika
Bentuk di atas dapat ditulis [p
q p] q Argumen yang memenuhi modus ponens merupakan
argumen yang sah, hal ini dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran untuk [p
q p] q berikut.
p q
p q p q p
[p q p] p
B B
B B
B B
B B
B B
B S
S S
B B
S S
S B
S B
B B
B S
B B
B B
S S
B B
B S
S B
B B
Tampak [p q p] q merupakan tautologi.
Contoh Soal 1.30
Tariklah kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga terbentuk argumen yang sah.
1
. Jika x burung maka
x x dapat terbang.
x premis 1
Gagak burung. premis 2
2 . Jika
x bilangan asli maka x
x bilangan cacah. x
premis 1 Jika 3 adalah bilangan asli.
premis 2
3 . Jika x
x y maka –x
– – x
y – .
premis 1 3
2. premis 2
Jawab :
1. Misalkan p: x burung dan x
q: x dapat terbang. x
maka pernyataan di atas menjadi p
q premis 1
p premis 2
Agar menjadi argumen yang sah, maka kesimpulan yang ditarik harus memenuhi aturan ponens, yaitu
p q
premis 1 p
premis 2 q
kesimpulan Dengan demikian, kesimpulannya adalah
Gagak dapat terbang.
2 .
Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan 3 adalah bilangan cacah.
3 . Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan
–3 –2.
Search
Ketik: www.e-dukasi.net mapokpenarikan
kesimpulan Website ini memuat materi
penarikan kesimpulan pada logika matematika,
seperti modus ponens, modus tollens, dan
silogisme. Selain itu, memuat latihan dan
simulasi dengan animasi yang memungkinkan Anda
berlatih secara on-line.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
38 Contoh Soal 1.31
Tariklah kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga terbentuk argumen yang sah.
1
. Jika bulan di atas laut maka laut pasang
premis 1 Laut tidak pasang
premis 2
2
. Jika log x =
x y, x 0 maka 10
x y = xx
premis 1 10
2
ȴ 1.000 premis 2
3
. Jika x 0 maka –
x x
– 0 x
premis 1 –x
– 0
x premis 2
Jawab
:
1
. Misalkan p: bulan di atas laut dan q: laut pasang. maka pernyataan tersebut dapat dinyatakan menjadi
p q
premis 1 ~q
premis 2 Agar menjadi argumen yang sah, maka kesimpulan yang ditarik
harus memenuhi aturan tollens, yaitu p
q premis 1
~q premis 2
~p ~
kesimpulan
3. Modus Tollens