Re fleksi terhadap Garis y = x

Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi 172 Jika Ax, y dire Áeksikan terhadap garis y = x maka diperoleh bayangan dari A, yaitu Ax, y, dengan x = y dan y = x ditulis Ax, y Ay, x y = x Persamaan x = y dan y = x disebut persamaan transformasi re Áeksi terhadap garis y = x.

3. Re fleksi terhadap Garis y = x

Perhatikan Gambar 5.14 berikut. 1 1 2 3 4 5 A A P y = x Q y x 2 3 4 5 Pada Gambar 5.14 tersebut, titik A1, 4 dire Áeksikan terhadap garis y = x. Jarak A ke garis y = x sama dengan jarak A ke garis y = x. Garis AA tegak lurus dengan garis y = x. Jadi A4, 1 adalah bayangan dari titik A1, 4. Bagaimanakah hubungan antara koordinat titik A dengan koordinat bayangannya? Pada Gambar 5.14 tampak panjang OP = OQ dan AP = AQ. Jadi panjang OA = OA. Jadi, segitiga AOQ sama dengan segitiga AOP sehingga diperoleh, OQ = OP atau ordinat A = absis A AP = AP atau absis A = ordinat A A1, 4 A4, 1 y = x sama sama Secara umum, re Áeksi terhadap garis y = x dapat dideÀnisikan sebagai berikut. Gambar 5.14 Re fleksi terhadap garis y = x Di unduh dari : Bukupaket.com 173 Transformasi Bidang Datar Contoh Soal 5.10 Tentukan bayangan dari titik A–3, 1 dan B4, –3 yang dire Á eksikan terhadap garis y = x. Jawab : Bayangan ditentukan dengan menggunakan rumus x = y y = x Pada A–3, 1, x = –3 dan x y = 1 diperoleh x = 1 y = –3 Jadi, bayangan dari titik A–3, 1 adalah A1, –3 . Pada B4, –3, x = 4 dan x y = –3 diperoleh x = –3 y = 4 Jadi, bayangan dari titik B4, –3 adalah B–3, 4. 1 1 4 –3 A A B y = x B –3 y x 4 Contoh Soal 5.11 Koordinat-koordinat titik sudut suatu segiempat ABCD adalah A3, 0, B5, –4, C7, 0, dan D5, 2. Tentukan: a . bayangan dari titik-titik sudut segiempat ABCD jika titik-titik sudut tersebut dire Á eksikan terhadap garis y = x, b . luas segiempat ABCD dan ABC D tersebut. Jawab : a . A3, 0 Æ A0, 3 Jadi, bayangan dari A3, 0 adalah A0, 3. B5, –4 Æ B–4, 5 Berikut adalah contoh soal re Á eksi beberapa titik yang membentuk suatu bidang pada garis y = x. Titik A–3, 1 dan B4, –3 dire fl eksikan terhadap garis y = x diperoleh A1, –3 dan B–3, 4 Gambar 5.15 Di unduh dari : Bukupaket.com Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi 174 Jadi, bayangan dari B5, –4 adalah B–4, 5. C7, 0 Æ C0, 7 Jadi, bayangan dari C7, 0 adalah C0, 7. D5, 2 Æ D2, 5 Jadi, bayangan dari D5, 2 adalah D2, 5. b . Berikut adalah gambar segiempat ABCD dan bayangannya, yaitu A, B, C, D. 1 2 3 4 5 6 –4 –4 y B C D A D C B A y = x x 1 2 4 5 6 7 7 3 Segiempat yang terbentuk adalah layang-layang ABCD dengan panjang diagonal AC = 4 satuan dan panjang diagonal DB = 6 satuan. Rumus luas layang-layang adalah 1 2 ¥ diagonal 1 ¥ diagonal 2, maka diperoleh L = 1 2 ¥ AC ¥ DB = 1 2 ¥ 4 ¥ 6 = 12 Luas layang-layang ABCD adalah 12 satuan luas, sehingga luas layang-layang ABCD juga 12 satuan luas. Sama seperti re Á eksi terhadap sumbu-x dan sumbu-y, re Á eksi terhadap garis y = x dapat ditentukan dengan meng- gunakan matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi berikut. x = y y = x Jika persamaan di atas diuraikan, diperoleh x = 0 ™ x + 1 ™ y y = 1 ™ x + 0 ™ y maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. x y x y Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ = 1 1 1 1 Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ disebut matriks re Á eksi t erhadap garis y = x. Notes Matriks re fl eksi terhadap garis y = x adalah 1 1 1 0 1 0 Ê Ê Ë Ë Á Á Ê Ê Ê Ê Ë Ë Ë Ë ˆ ˆ ¯ ¯ ˜ ˜ ˆ ˆ ˆ ˆ ¯ ¯ ¯ ¯ Gambar 5.16 Luas ABCD sama dengan luas ABCD. Di unduh dari : Bukupaket.com 175 Transformasi Bidang Datar Contoh Soal 5.12 Dengan menggunakan matriks re Á eksi, tentukan bayangan dari titik A–7, –3 yang dire Á eksikan terhadap garis y = x dengan menggunakan x matriks re Á eksi. Jawab : Diketahui A–7, –3 maka x = –7 dan x y = –3. Dari persamaan matriks x y x y Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ = 1 1 diperoleh x y Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ = 1 1 7 3 Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ - - Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ = 1 1 7 3 7 3 Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ + + = - - Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ 3 7 Jadi, bayangan dari A–7, –3 yang dire Á eksikan terhadap garis y = x adalah A–3, –7.

4. Re fl eksi terhadap Garis y = –x