Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi
172
Jika Ax, y dire
Áeksikan terhadap garis y = x maka diperoleh bayangan dari A, yaitu Ax, y, dengan
x = y dan y = x ditulis
Ax, y Ay, x
y = x
Persamaan x = y dan y = x disebut persamaan transformasi
re Áeksi terhadap garis y = x.
3. Re fleksi terhadap Garis y = x
Perhatikan Gambar 5.14 berikut.
1 1
2 3
4 5
A
A P
y = x Q
y
x 2
3 4
5
Pada Gambar 5.14 tersebut, titik A1, 4 dire Áeksikan terhadap
garis y = x. Jarak A ke garis y = x sama dengan jarak A ke garis y = x. Garis AA tegak lurus dengan garis y = x. Jadi A4, 1 adalah
bayangan dari titik A1, 4.
Bagaimanakah hubungan antara koordinat titik A dengan koordinat bayangannya? Pada Gambar 5.14 tampak panjang
OP = OQ dan AP = AQ. Jadi panjang OA = OA. Jadi, segitiga AOQ sama dengan segitiga AOP sehingga diperoleh,
OQ = OP atau ordinat A = absis A AP = AP atau absis A = ordinat A
A1, 4 A4, 1
y = x sama
sama
Secara umum, re Áeksi terhadap garis y = x dapat dideÀnisikan
sebagai berikut.
Gambar 5.14
Re fleksi terhadap garis y = x
Di unduh dari : Bukupaket.com
173
Transformasi Bidang Datar
Contoh Soal 5.10
Tentukan bayangan dari titik A–3, 1 dan B4, –3 yang dire Á eksikan
terhadap garis y = x.
Jawab :
Bayangan ditentukan dengan menggunakan rumus x = y
y = x Pada A–3, 1, x = –3 dan
x y = 1 diperoleh
x = 1 y = –3
Jadi, bayangan dari titik A–3, 1 adalah A1, –3 . Pada B4, –3, x = 4 dan
x y = –3 diperoleh
x = –3 y = 4
Jadi, bayangan dari titik B4, –3 adalah B–3, 4.
1 1
4
–3 A
A B
y = x B
–3 y
x 4
Contoh Soal 5.11
Koordinat-koordinat titik sudut suatu segiempat ABCD adalah A3, 0, B5, –4, C7, 0, dan D5, 2. Tentukan:
a
. bayangan dari titik-titik sudut segiempat ABCD jika titik-titik sudut tersebut dire
Á eksikan terhadap garis y = x,
b .
luas segiempat ABCD dan ABC D tersebut.
Jawab :
a .
A3, 0 Æ
A0, 3 Jadi, bayangan dari A3, 0 adalah A0, 3.
B5, –4 Æ
B–4, 5
Berikut adalah contoh soal re Á eksi beberapa titik yang membentuk
suatu bidang pada garis y = x.
Titik A–3, 1 dan B4, –3 dire
fl eksikan terhadap garis y = x diperoleh A1, –3 dan B–3, 4
Gambar 5.15
Di unduh dari : Bukupaket.com
Aktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akutansi
174
Jadi, bayangan dari B5, –4 adalah B–4, 5. C7, 0
Æ C0, 7
Jadi, bayangan dari C7, 0 adalah C0, 7. D5, 2
Æ D2, 5
Jadi, bayangan dari D5, 2 adalah D2, 5.
b
. Berikut adalah gambar segiempat ABCD dan bayangannya, yaitu A, B, C, D.
1 2
3 4
5 6
–4 –4
y B
C D
A D
C
B A
y = x
x 1
2 4
5 6
7
7 3
Segiempat yang terbentuk adalah layang-layang ABCD dengan panjang diagonal AC = 4 satuan dan panjang diagonal DB = 6
satuan.
Rumus luas layang-layang adalah 1
2 ¥
diagonal 1 ¥
diagonal 2, maka diperoleh
L = 1
2 ¥
AC ¥
DB =
1 2
¥ 4
¥ 6 = 12
Luas layang-layang ABCD adalah 12 satuan luas, sehingga luas layang-layang ABCD juga 12 satuan
luas.
Sama seperti re Á eksi terhadap sumbu-x dan sumbu-y,
re Á eksi terhadap garis y = x dapat ditentukan dengan meng-
gunakan matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi
berikut. x = y
y = x Jika persamaan di atas diuraikan, diperoleh
x = 0 x + 1
y y = 1
x + 0
y
maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. x
y x
y Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ =
1 1
1 1
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
disebut matriks re Á eksi t erhadap garis y = x.
Notes
Matriks re fl eksi terhadap
garis y = x adalah 1
1 1 0
1 0 Ê
Ê Ë
Ë Á
Á Ê
Ê Ê
Ê Ë
Ë Ë
Ë ˆ
ˆ ¯
¯ ˜
˜ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ¯
¯ ¯
¯
Gambar 5.16
Luas ABCD sama dengan luas ABCD.
Di unduh dari : Bukupaket.com
175
Transformasi Bidang Datar
Contoh Soal 5.12
Dengan menggunakan matriks re Á eksi, tentukan bayangan dari titik
A–7, –3 yang dire Á eksikan terhadap garis y = x dengan menggunakan
x matriks re
Á eksi.
Jawab :
Diketahui A–7, –3 maka x = –7 dan x
y = –3. Dari persamaan matriks
x y
x y
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= 1
1 diperoleh
x y
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= 1
1 7
3 Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ -
- Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯
= 1
1 7
3 7
3 Ê
ËÁ ÊÊ
ËË ˆ
¯˜ ˆˆ
¯¯ +
+ =
- -
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
3 7
Jadi, bayangan dari A–7, –3 yang dire Á eksikan terhadap garis y = x
adalah A–3, –7.
4. Re fl eksi terhadap Garis y = –x