Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
108
2. Deret Geometri
Coba perhatikan barisan geometri berikut. 3, 9, 27, 81, …
Dapatkah Anda menghitung jumlah 4 suku pertamanya? Untuk menghitung jumlah 4 suku pertamanya, dapat dilakukan
penjumlahan 3 + 9 + 27 + 81 = 120.
Search
Ketik: http:bebas_ vism.orgv12
sponsorsponsor. pendamping
praweda matematika
Bunga majemuk merupakan salah satu
aplikasi deret geometri. Website ini memuat rumus
bunga majemuk yang dapat digunakan untuk
masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan
bakteri p70, juga untuk masalah penyusutan
mesin.
U
3
= 2000 ar
3 – 1
= 2000 ar
2
= 2000....1 Angka pengangguran pada tahun 2006 adalah 8000, merupakan suku
ke-5. Dengan cara yang sama, diperoleh U
5
= 8000 ar
5 – 1
= 8000 ar
4
= 8000....2 Dari persamaan 1 dapat diperoleh persamaan3 berikut.
ar
2
= 2000 ¤
2000
2
r …3
Substitusi persamaan 3 ke persamaan 2 diperoleh 2000
2
r r
4
= 8000 2000
r
2
= 8000 r
2
= 8 000
2 000 .
. r
2
= 4 r =
± 4
diperoleh r
1
= 2 dan r
2
= –2 Diperoleh 2 buah nilai r, yaitu 2 dan –2. Untuk nilai rasio barisan
geometri pada kasus permasalahan ini tidak mungkin bernilai negatif coba Anda jelaskan mengapa?.
Oleh sebab itu, diambil nilai r = 2, kemudian substitusi pada persamaan
3, sehingga diperoleh a =
= =
2000 2
2000 4
500
2
. Oleh karena a menyatakan nilai suku ke-1 maka diperoleh U
1
= 500, dan nilai suku-suku ke-2 hingga ke-6 diperoleh dengan perhitungan
berikut. U
2
= 500 2
2 – 1
= 500
2 = 1000 U
3
= 500
2
3 – 1
= 500
4 = 2000 U
4
= 500
2
4 – 1
= 500
8 = 4000 U
5
= 500
2
5 – 1
= 500
16 = 8000 U
6
= 500
2
6 – 1
= 500
32 = 16000 Dengan demikian, diperoleh barisan geometri yang menyatakan angka
pengangguran di desa dari tahun 2002 sampai tahun 2007 adalah 500, 1000, 2000, 4000, 8000, 16000.
Di unduh dari : Bukupaket.com
109
Barisan dan Deret Bilangan
Soal Pilihan
Jumlah penduduk sebuah kota setiap 10 tahun
menjadi 2 kali lipat. Menurut perhitungan, pada
tahun 2000 mencapai 3,2 juta orang. Tentukan
jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950.
Sipenmaru, 1985
Penjumlahan beruntun suku-suku geometri merupakan deret geometri. Jadi, 3 + 9 + 27 + 81 merupakan deret geometri.
Pada deret geometri, jumlah n suku pertamanya dinyatakan sebagai berikut.
S
n
= a
a r
r r
r
n n
- -
- -
1 1
untuk r –1 atau r 1 S
n
= a
a r
r 1
1 r
r
n n
1 1
- -
untuk –1 r 1 Dengan S
n
menyatakan jumlah n suku pertama. Jadi, jumlah 4 suku pertama barisan geometri 3, 9, 27, 81, … dapat dihitung
dengan rumus berikut.
S
n
= a
r r
n
- -
1 di mana a = 3, r = 3, dan n = 3 sehingga
S
4
= 3
3 1 3
1
4
-
S
4
= 3
2 81 1
81 S
4
= 3 80
2 S
4
= 240
2 S
4
= 120 36, 18, 9, 4
1 2
, …? Barisan geometri tersebut memiliki a = 36, r =
1 2
. Oleh karena –1 r 1 maka jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah sebagai berikut.
S
n
= a
r r
n
– –
1 S
6
= 36 1
1 2
1 1
2
6
- ÊË ÊÊÊÊ
ËË ÊÊÊÊ ˆ
¯ ˆˆˆˆ
¯¯ ˆˆˆˆ
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
-
S
6
= 36 1
1 64
1 2
- Ê
Ë ÊÊÊÊ
ËË ÊÊÊÊ
ˆ ¯
ˆˆˆˆ ¯¯
ˆˆˆˆ
Di unduh dari : Bukupaket.com
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
110 Contoh Soal 3.11
Sebuah perusahaan home industry pada tahun 2007 mencatat keuntungan di bulan Januari sebesar Rp14.000.000,00. Oleh karena
kinerja perusahaan semakin baik, dan didukung ekonomi nasional yang semakin sehat maka di tahun tersebut keuntungan perusahaan
naik menjadi 1 1
2 kali lipat dari bulan sebelumnya.
Tentukanlah:
a . barisan
geometri yang menyatakan keuntungan perusahaan tersebut setiap bulannya, mulai bulan januari 2007,
b . total keuntungan yang diraih perusahaan tersebut hingga bulan
Agustus.
Jawab :
a .
Keuntungan bulan Januari Æ
U
1
= 14.000.000 Keuntungan bulan Februari
Æ U
2
U U = 1
1 2
× 14.000.000 = 3
2 × 7.000.000 = 21.000.000
Keuntungan bulan Maret Æ
U
3
U U = 1
1 2
× 21.000.000 = 3
2 × 10.500.000 = 31500.000
Jadi, diperoleh barisan geometri sebagai berikut. 14.000.000, 21.000.000, 31.500.000, …
b . Total keuntungan yang diraih perusahaan hingga bulan Agustus
merupakan jumlah 8 suku pertama barisan geometri pada soal a. Barisan geometri tersebut memiliki a = 14.000.000, r = 1
1 2
. Jadi, jumlah keuntungan perusahaan sampai bulan Agustus
dihitung dengan rumus
S S
n n
= =
a a
r r
r r
n n
- -
- -
1 1
Gambar 3.7
Total keuntungan yang diraih suatu perusahan dapat dihitung
menggunakan deret geometri
Sumber : www.suarantb.com
S
6
= 36 64
64 1
64 -
Ê ËÁ
ÊÊ ËË
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
2 S
6
= 72 · 63
64 S
6
= 567
8 S
6
= 70 7
8
Di unduh dari : Bukupaket.com
111
Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 3.12
Hasil penelitian gabungan Dinas Sosial dan Dinas Pendidikan Nasional dari tahun 2002 hingga tahun 2007 menunjukkan kecenderungan
minat membaca penduduk kecamatan Y selalu meningkat dari tahun ke tahun dengan kelipatan perbandingan yang tetap. Jika jumlah total
penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 dan tahun 2003 adalah 80 orang, dan jumlah total penduduk yang memiliki
minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 besarnya 800 orang. Tentukanlah jumlah penduduk yang memiliki minat membaca
pada tahun 2007. Jawab
: Oleh karena minat membaca penduduk meningkat dengan kelipatan
perbadingan yang tetap maka akan membentuk barisan geometri dengan r 1 berikut.
r U
1
, U
2
U U , U
3
U U , U
4
U , U
5
U , U
6
U
2002 2007
… …
Dari tahun ke tahun jumlah penduduk yang memiliki minat membaca selalu meningkat dengan perbandingan tetap maka r 1.
r Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun
2002 ditambah tahun 2003 yang berjumlah 80 orang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut U
1
+ U
2
U U = 80 …1
Persamaan 1 merupakan hasil penjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri. Mengingat rumus hasil penjumlahan
n suku pertama dari suatu deret geometri adalah S a
r
n
S =
- r
-
2
1 maka hasil penjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri
dapat dinyatakan dengan rumus S a
r
n
S =
- r
-
2
1 , sehingga diperoleh
persamaan berikut. a
r r
2
1 -
= 80 …2 diperoleh,
S
8
= 14 000 000
2 1 .
. 000
2 1
8
S
8
= 14 000 000
1 .
. 000
256 1 -
S
8
= 14.000.000 255 S
8
= 3.570.000.000 Jadi, keuntungan perusahaan home industry hingga bulan Agustus
adalah Rp3.570.000.000,00.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi
112
Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 adalah 800 orang dapat dinyatakan dengan
persamaan berikut. U
1
+ U
2
+ U
3
+ U
4
= 800 …3 Persamaan tersebut merupakan hasil penjumlahan empat suku
pertama dari suatu deret geometri, sehingga diperoleh persamaan S
a r r
4 4
1 1
= -
- berikut.
a r r
4
1 1
- -
= 800 …4, Dari persamaan 2 dapat diperoleh persamaan 5 berikut.
a r r
2
1 1
- -
= 80 ¤
a = 80
1 1
2
r r
- -
…5 Persamaan 5 substitusi ke persamaan 4 sehingga diperoleh
perhitungan berikut. 80
1 1
1 1
2 4
2
r r
r r
- -
-
- = 800
80 1
1
4 2
r r
- -
= 800 r
r
4 2
1 1
800 80
- -
= Dengan mengingat r
4 – 1
= r
2 – 1
r
2 + 1
, maka diperoleh perhitungan berikut.
r r
r
2 2
2
1 1
1 -
+ -
= 10 r
2
+ 1 = 10 r
2
= 10 – 1 r
2
= 9 r =
± 9
maka diperoleh nilai rasio barisan geometri tersebut adalah r
1
= 3 atau r
2
= –3. Pada kasus permasalahan ini, nilai rasio barisan geometri tidak mungkin bernilai negatif maka nilai yang digunakan
adalah r = 3, substitusi nilai r ke persamaan 2 diperoleh a
3 1
3 1
2
- -
= 80 a
9 1 3 1
- -
= 80 a
8 2
= 80 a =
80 2 8
= 20
Di unduh dari : Bukupaket.com
113
Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 3.13
Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4
-n
. Tentukan jumlah berhingga deret tersebut.
Jawab :
U
n
= 4
–n
maka U
1
= a = 4
–1
= 1
4 r =
r U
U
2 1
= 4
4
2 1
- -
= 4
–1
= 1
4 S =
S a
r 1
- =
1 4
1 1
4 -
= 1
4 3
4 =
1 3
Jadi, jumlah tak berhingga deret tersebut adalah
1 3
.
3. Deret Geometri Tak Berhingga