Deret Geometri Barisan dan Deret Geometri

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi 108

2. Deret Geometri

Coba perhatikan barisan geometri berikut. 3, 9, 27, 81, … Dapatkah Anda menghitung jumlah 4 suku pertamanya? Untuk menghitung jumlah 4 suku pertamanya, dapat dilakukan penjumlahan 3 + 9 + 27 + 81 = 120. Search Ketik: http:bebas_ vism.orgv12 sponsorsponsor. pendamping praweda matematika Bunga majemuk merupakan salah satu aplikasi deret geometri. Website ini memuat rumus bunga majemuk yang dapat digunakan untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri p70, juga untuk masalah penyusutan mesin. U 3 = 2000 ar 3 – 1 = 2000 ar 2 = 2000....1 Angka pengangguran pada tahun 2006 adalah 8000, merupakan suku ke-5. Dengan cara yang sama, diperoleh U 5 = 8000 ar 5 – 1 = 8000 ar 4 = 8000....2 Dari persamaan 1 dapat diperoleh persamaan3 berikut. ar 2 = 2000 ¤ 2000 2 r …3 Substitusi persamaan 3 ke persamaan 2 diperoleh 2000 2 r ™ r 4 = 8000 2000 ™ r 2 = 8000 r 2 = 8 000 2 000 . . r 2 = 4 r = ± 4 diperoleh r 1 = 2 dan r 2 = –2 Diperoleh 2 buah nilai r, yaitu 2 dan –2. Untuk nilai rasio barisan geometri pada kasus permasalahan ini tidak mungkin bernilai negatif coba Anda jelaskan mengapa?. Oleh sebab itu, diambil nilai r = 2, kemudian substitusi pada persamaan 3, sehingga diperoleh a = = = 2000 2 2000 4 500 2 . Oleh karena a menyatakan nilai suku ke-1 maka diperoleh U 1 = 500, dan nilai suku-suku ke-2 hingga ke-6 diperoleh dengan perhitungan berikut. U 2 = 500 ™ 2 2 – 1 = 500 ™ 2 = 1000 U 3 = 500 ™ 2 3 – 1 = 500 ™ 4 = 2000 U 4 = 500 ™ 2 4 – 1 = 500 ™ 8 = 4000 U 5 = 500 ™ 2 5 – 1 = 500 ™ 16 = 8000 U 6 = 500 ™ 2 6 – 1 = 500 ™ 32 = 16000 Dengan demikian, diperoleh barisan geometri yang menyatakan angka pengangguran di desa dari tahun 2002 sampai tahun 2007 adalah 500, 1000, 2000, 4000, 8000, 16000. Di unduh dari : Bukupaket.com 109 Barisan dan Deret Bilangan Soal Pilihan Jumlah penduduk sebuah kota setiap 10 tahun menjadi 2 kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun 2000 mencapai 3,2 juta orang. Tentukan jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950. Sipenmaru, 1985 Penjumlahan beruntun suku-suku geometri merupakan deret geometri. Jadi, 3 + 9 + 27 + 81 merupakan deret geometri. Pada deret geometri, jumlah n suku pertamanya dinyatakan sebagai berikut. S n = a a r r r r n n - - - - 1 1 untuk r –1 atau r 1 S n = a a r r 1 1 r r n n 1 1 - - untuk –1 r 1 Dengan S n menyatakan jumlah n suku pertama. Jadi, jumlah 4 suku pertama barisan geometri 3, 9, 27, 81, … dapat dihitung dengan rumus berikut. S n = a r r n - - 1 di mana a = 3, r = 3, dan n = 3 sehingga S 4 = 3 3 1 3 1 4 - S 4 = 3 2 81 1 81 S 4 = 3 80 2 S 4 = 240 2 S 4 = 120 36, 18, 9, 4 1 2 , …? Barisan geometri tersebut memiliki a = 36, r = 1 2 . Oleh karena –1 r 1 maka jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah sebagai berikut. S n = a r r n – – 1 S 6 = 36 1 1 2 1 1 2 6 - ÊË ÊÊÊÊ ËË ÊÊÊÊ ˆ ¯ ˆˆˆˆ ¯¯ ˆˆˆˆ Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ - S 6 = 36 1 1 64 1 2 - Ê Ë ÊÊÊÊ ËË ÊÊÊÊ ˆ ¯ ˆˆˆˆ ¯¯ ˆˆˆˆ Di unduh dari : Bukupaket.com Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi 110 Contoh Soal 3.11 Sebuah perusahaan home industry pada tahun 2007 mencatat keuntungan di bulan Januari sebesar Rp14.000.000,00. Oleh karena kinerja perusahaan semakin baik, dan didukung ekonomi nasional yang semakin sehat maka di tahun tersebut keuntungan perusahaan naik menjadi 1 1 2 kali lipat dari bulan sebelumnya. Tentukanlah: a . barisan geometri yang menyatakan keuntungan perusahaan tersebut setiap bulannya, mulai bulan januari 2007, b . total keuntungan yang diraih perusahaan tersebut hingga bulan Agustus. Jawab : a . Keuntungan bulan Januari Æ U 1 = 14.000.000 Keuntungan bulan Februari Æ U 2 U U = 1 1 2 × 14.000.000 = 3 2 × 7.000.000 = 21.000.000 Keuntungan bulan Maret Æ U 3 U U = 1 1 2 × 21.000.000 = 3 2 × 10.500.000 = 31500.000 Jadi, diperoleh barisan geometri sebagai berikut. 14.000.000, 21.000.000, 31.500.000, … b . Total keuntungan yang diraih perusahaan hingga bulan Agustus merupakan jumlah 8 suku pertama barisan geometri pada soal a. Barisan geometri tersebut memiliki a = 14.000.000, r = 1 1 2 . Jadi, jumlah keuntungan perusahaan sampai bulan Agustus dihitung dengan rumus S S n n = = a a r r r r n n - - - - 1 1 Gambar 3.7 Total keuntungan yang diraih suatu perusahan dapat dihitung menggunakan deret geometri Sumber : www.suarantb.com S 6 = 36 64 64 1 64 - Ê ËÁ ÊÊ ËË ˆ ¯˜ ˆˆ ¯¯ ™ 2 S 6 = 72 · 63 64 S 6 = 567 8 S 6 = 70 7 8 Di unduh dari : Bukupaket.com 111 Barisan dan Deret Bilangan Contoh Soal 3.12 Hasil penelitian gabungan Dinas Sosial dan Dinas Pendidikan Nasional dari tahun 2002 hingga tahun 2007 menunjukkan kecenderungan minat membaca penduduk kecamatan Y selalu meningkat dari tahun ke tahun dengan kelipatan perbandingan yang tetap. Jika jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 dan tahun 2003 adalah 80 orang, dan jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 besarnya 800 orang. Tentukanlah jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2007. Jawab : Oleh karena minat membaca penduduk meningkat dengan kelipatan perbadingan yang tetap maka akan membentuk barisan geometri dengan r 1 berikut. r U 1 , U 2 U U , U 3 U U , U 4 U , U 5 U , U 6 U 2002 2007 … … Dari tahun ke tahun jumlah penduduk yang memiliki minat membaca selalu meningkat dengan perbandingan tetap maka r 1. r Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 ditambah tahun 2003 yang berjumlah 80 orang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut U 1 + U 2 U U = 80 …1 Persamaan 1 merupakan hasil penjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri. Mengingat rumus hasil penjumlahan n suku pertama dari suatu deret geometri adalah S a r n S = - r - 2 1 maka hasil penjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri dapat dinyatakan dengan rumus S a r n S = - r - 2 1 , sehingga diperoleh persamaan berikut. a r r 2 1 - = 80 …2 diperoleh, S 8 = 14 000 000 2 1 . . 000 2 1 8 S 8 = 14 000 000 1 . . 000 256 1 - S 8 = 14.000.000 255 S 8 = 3.570.000.000 Jadi, keuntungan perusahaan home industry hingga bulan Agustus adalah Rp3.570.000.000,00. Di unduh dari : Bukupaket.com Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi 112 Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 adalah 800 orang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut. U 1 + U 2 + U 3 + U 4 = 800 …3 Persamaan tersebut merupakan hasil penjumlahan empat suku pertama dari suatu deret geometri, sehingga diperoleh persamaan S a r r 4 4 1 1 = - - berikut. a r r 4 1 1 - - = 800 …4, Dari persamaan 2 dapat diperoleh persamaan 5 berikut. a r r 2 1 1 - - = 80 ¤ a = 80 1 1 2 r r - - …5 Persamaan 5 substitusi ke persamaan 4 sehingga diperoleh perhitungan berikut. 80 1 1 1 1 2 4 2 r r r r - - ™ - - = 800 80 1 1 4 2 r r - - = 800 r r 4 2 1 1 800 80 - - = Dengan mengingat r 4 – 1 = r 2 – 1 r 2 + 1 , maka diperoleh perhitungan berikut. r r r 2 2 2 1 1 1 - + - = 10 r 2 + 1 = 10 r 2 = 10 – 1 r 2 = 9 r = ± 9 maka diperoleh nilai rasio barisan geometri tersebut adalah r 1 = 3 atau r 2 = –3. Pada kasus permasalahan ini, nilai rasio barisan geometri tidak mungkin bernilai negatif maka nilai yang digunakan adalah r = 3, substitusi nilai r ke persamaan 2 diperoleh a 3 1 3 1 2 - - = 80 a 9 1 3 1 - - = 80 a ™ 8 2 = 80 a = 80 2 8 ™ = 20 Di unduh dari : Bukupaket.com 113 Barisan dan Deret Bilangan Contoh Soal 3.13 Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4 -n . Tentukan jumlah berhingga deret tersebut. Jawab : U n = 4 –n maka U 1 = a = 4 –1 = 1 4 r = r U U 2 1 = 4 4 2 1 - - = 4 –1 = 1 4 S = S a r 1 - = 1 4 1 1 4 - = 1 4 3 4 = 1 3 Jadi, jumlah tak berhingga deret tersebut adalah 1 3 .

3. Deret Geometri Tak Berhingga