51
4.5.2. Model ARCHGARCH
10
Pada umumnya, pemodelan data deret waktu dilakukan dengan asumsi ragam sisaan yang konstan homoskedastisitas yaitu sebesar
2
. pada kenyataannya, banyak data deret waktu yang memiliki ragam sisaan yang tidak
konstan heteroskedastisitas, khususnya untuk data deret waktu di bidang keuangan. Model analisis yang memperbolehkan adanya heteroskedastisitas
adalah model ARCH Autoregressive Conditional Heteroscedasticity yang diperkenalkan pertama kali oleh Engle 1982. Model ARCH menggambarkan
model ragam sisaan yang tergantung pada kuadrat sisaan pada periode sebelumnya secara autoregresi atau dengan kata lain model ini digunakan untuk
memodelkan ragam bersyarat. Peramalan dengan model ARCHGARCH menggunakan perbandingan
harga saham pada saat t dengan harga saham pada saat t+1. Perbandingan harga saham ini dikenal dengan nilai pengembalian return. Dimana nilai Yt akan
bernilai positif jika harga saham naik terhadap Xt dan berlaku sebaliknya. Yt = Ln X
t+1
-LnX
t
Misalkan Y1, Y2,…Yt merupakan deret waktu pengamatan berupa data deret waktu pengamatan berupa data pengembalian dan Y
t
adalah sebuah proses Autoregresive Moving Average ARMA p,q dengan persamaan :
Y
t
– Φ
1
- Y
t-1
– Φ
2
Y
t-2
- …- Φ
p
Y
t-p = t
– θ
1 t-1
– θ
2 t-2
- …- θ
q t-q
Dimana ε
t
adalah proses ingar putih white noise persamaan tersebut dapat ditulis Φ
p
B Y
t
= θ
q
B
t
Dimana B adalah operator backshift. Jika q=0 maka ARMAp,q sama dengan proses AR dengan orde p atau ARp, yang dapat ditulis dengan
Y
t =
φ+ Φ
1
Y
t-1
– Φ
2
Y
t-2
- …- Φ
p
Y
t-p
+
10
Analisis Deret Waktu Satu Ragam Hal 68-70,, M. Firdaus, 2006
t
52 Dengan
E
t = 2
, untuk t = E
t,
= 0 untuk selainnya
Proses akan memilki persamaan varians yang stasioner jika 1 –
Φ
1
Y
1
– Φ
2
Y
2
- …- Φ
p
Y
p
= 0 Persamaan linier yang optimal dari Y
t
untuk proses AR p adalah Ê Y
t
|Y
t-1,
Y
t-2
, … = φ+ Φ
1
Y
t-1
– Φ
2
Y
t-2
- …- Φ
p
Y
t-p
Ê Y
t
|Y
t-1,
Y
t-2
, … menunjukkan proyeksi linier dari Y
t
terhadap konstan dan Y
t-1,
Y
t-2
, …. Jika rataan bersyarat dari Y
t
berubah-ubah pada tiap titik waktu mengikuti persamaan di atas dan proses tersebut memiliki peragam yang
stasioner, maka rataan tak bersyarat dari Y
t
adalah konstanta sebagai berikut: E Y
t
= φ1- Φ
1
, Φ
2
, - ... – Φ
p
Hal yang menarik dalam persamaan ini tidak hanya peramalan dari Y
t
saja, tapi juga peramalan varians. Perubahan dalam varians sangat penting misalnya pasar saham atau pasar keuangan, terutama bagi para investor yang
menghendaki return yang tinggi sebagai kompensasi untuk risiko aset yang ditanggungnya.
Varians yang berubah-ubah pada setiap titik waktu juga memiliki implikasi terhadap validitas dan efisiensi dalam estimasi parameter
φ, Φ
1
, Φ
2
, - ... –
Φ
p
. Walaupun persamaan awal di atas berimplikasi bahwa varians bersyarat dari
t
adalah konstan sebesar
2
, namun pada kenyataannya varians bersyarat dari
t
dapat berubah-ubah terhadap titik waktu. Pendekatan yang digunakan untuk mendeskripsikan kuadrat dari
ε
t
yang mengikuti proses AR m
t
= ξ + α
1 2
t-1
+ α
2 2
t-2
+ ... + α
m 2
t-m
+ ω
t
53 peubah
ω
t
adalah proses white noise yang baru, dengan E
ω
t =
2
, untuk t =
E ω
t
, ω =
0 untuk selainnya
t
merupakan residual dari peramalan Y
t
berimplikasi bahwa proyeksi linier kuadrat residual dari ramalan Y
t
terhadap m kuadrat residual peramalan sebelumnya adalah sebagai berikut
E
2 t
2 t-1
,
2 t-2
, ... = ξ + α
1 2
t-1
+ α
2 2
t-2
+ ... + α
m 2
t-m
Proses white noise
t
yang memenuhi persamaan di atas dikenal sebagai model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity dengan orde m atau ARCH
m, yang dinotasikan
t
~ ARCH m Persamaan ini juga sering ditulis sebagai berikut
h
t
= ξ + α
1 2
t-1
+ α
2 2
t-2
+ ... + α
m 2
t-m
Dimana h
t
= E
2 t
2 t-1
,
2 t-2
, ... yang sering disebut juga ragam. Proses
t
~ ARCH m dicirikan oleh
2 t
= h
t
.V
t
; dimana V
t
~ N 0,1. Seringkali pada saat menentukan model ARCH, membutuhkan orde yang
lebih besar agar didapatkan model yang tepat untuk data deret waktu. Oleh karena itu, Bollerslev 1986 mengembangkan model ARCH ke Generalized
Autoregressive Conditional Heteroscedasity GARCH untuk menghindari orde ARCH yang besar dan memberikan hasil yang lebih praktis parsimonious
daripada model ARCH. Dalam model GARCH, perubahan ragam bersyaratnya selain dipengaruhi oleh nilai di periode sebelumnya, juga dipengaruhi oleh ragam
bersyarat pada periode sebelumnya.
54 Lebih umum lagi dapat diperlihatkan sebuah proses dimana ragam
bersyaratnya tergantung pada jumlah beda kala terhingga dari
2 i-j
h
t
= ξ + πδ
2 t
dengan πL = Σ π
j
L
r r
m m
L L
L L
L L
L L
L L
... 1
... 1
3 3
2 2
1 3
3 2
2 1
1
1
δ δ
δ δ
α α
α α
δ α
− −
− −
− +
+ +
+ =
−
2
Kemudian πL diparameterisasi sebagai rasio dari 2 orde polynomial terhingga
Kemudian πL =
Dimana diasumsikan bahwa akar dari 1- Z = 0. jika pesamaan di atas dikalikan dengan 1- L, maka diperoleh persamaan sebagai berikut
[1- L] h
t
= [1- L] ξ + L
2 t
atau h
t
= +
1
h
t-1
+
2
h
t-2
+…+
r
h
t-r
+ α
1 2
t-1
+ α
2 2
t-2
+ ... + α
m 2
t-m
untuk = [1-
1
-
2
- ... –
1r
] ξ
Persamaan di atas dikenal sebagai Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasity. Dengan orde r dan orde m yang bias dinotasikan sebagai
t
Dalam mengaplikasikan model ARCH- GARCH ~
GARCH m, r.
11
1. Identifikasi efek ARCH. Dalam pemodelan ARCH-GARCH didahului dengan identifikasi apakah data yang diamati mengandung
heteroskedastisitas atau tidak. Hal ini dapat dilakukan dengan mengamati beberapa ringkasan statistik dari data. Sebagai contoh bila
data memiliki nilai kurtosis lebih dari 3 menunjukkan gejala awal adanya heteroskedastisitas. Identifikasi model ditujukan untuk
menentukan model rataan yang memiliki penduga parameter yang menggunakan software
eviews 4.1, urutan langkah-langkah yang dilakukan mirip dengan metodologi Box-Jenkins. Langkah-langkah tersebut meliputi :
11
ibid
55 signifikan. Selain itu pengujian keberadaan efek ARCH pada satu
gugus data dapat dilakukan dengan mengamati nilai koefisien autokorelasi dari kuadrat data tersebut atau melakukan Uji Langrange
Multiplier untuk mendeteksi proses ARCH-GARCH. Keberadaan efek ARCH ditunjukkan dengan nilai autokorelasi pada 15 beda kala
pertama yang diperiksa dari perilaku ACF dan PACF-nya. Pada tahap ini juga dilakukan pengujian terhadap eksistensi efek ARCH pada
suatu gugus dengan mengamati ACF dan PACF. Hal ini ditunjukkan dengan nilai koefisien dari data yang dikuadratkan signifikan pada 15
beda kala pertama. 2. Estimasi Model. Pada tahapan ini dilakukan simulasi beberapa model
ragam dengan menggunakan model rataan yang telah didapatkan. Parameter ARCH-GARCH biasanya diduga dengan metode
kemungkinan maksimum maximum likelihood. Untuk melihat penerapannya diambil contoh GARCH 1,1 dengan formulasi sebagai
berikut : h
t
= +
1
h
t-1
+ α
1 t-1 2
0,
1
≥ 0, α
1
≥ 0, dan akan stasioner jika
1
+ α
1
, Anggaplah persamaan nilai tengahnya y
1
= x
t
‘ ∂+ u
t
dengan ragam bersyarat GARCH1,1 maka fungsi log likelihoodnya adalah sebagai
berikut : L
t
t f
y x
y
t t
T t
t
; ,
log
1 1
− =
∑
=
=Error Bookmark not defined.
∑
=
−
T t
t
h
T
1
log 2
1 2
log 2
π -
-
h x
y
t
t t
2 1
2
∑ −
γ
= -
h x
y h
t t
t t
2 1
log 2
1 2
log 2
1
2
γ
π
−
− −
Dimana h
t
= +
1
y
t-1
- x
t-1
‘ ∂
2
+ α
1
h
t-1
56 Pendugaan untuk orde yang lebih tinggi p,q pada prinsipnya sama,
dengan menyesuaikan jumlah orde p dan q dari persamaan GARCH. Apabila u
t
3. Kriteria model terbaik adalah memilki ukuran kebaikan model yang baik dan koefisien yang nyata. Ukuran yang digunakan sebagai
indikator kebaikan model GARCH adalah : tidak menyebar normal, spesifikasi GARCH masih dapat
memberikan model yang layak dan parameter yang konsisten dengan metode Quasi-Maksimum Likelihood yaitu memaksimalkan log fungsi
kemungkinannya.
a. Akaike’s Information Criterion AIC Dengan rumus : -2
ℓ + βk b. Swarch Criterion SC
Dengan Rumus : -2 ℓT + [k log T]T
Dimana ℓ = -R2 [1+log 2π + log u’uR] dengan :
k = Banyaknya Parameter T = Banyaknya Pengamatan
ℓ = Nilai log fungsi kemungkinan u’u = Jumlah kuadrat sisaan
R = Banyaknya sisaanresidual Model terbaik adalah model yang AIC dan SC minimum, pada hasil
olahan yang di dapat model terbaik dipilih menggunakan AIC. 4. Evaluasi Model. Evaluasi model dilakukan dengan memperhatikan
beberapa indikator, yaitu apakah residual sudah terdistribusi normal, keacakan residual yang dilihat dari fungsi autokorelasi dan kuadrat
residual dan pengujian efek ARCH-GARCH dari residual. Pemeriksaan model dilakukan dengan memeriksa kebebasan pada
sisaan dan kuadrat sisaan tidak autokorelasi dilakukan dengan pengujian koefisien autokorelasi sisaan baku dengan Uji Ljung-Box.
Dan diperiksa juga apakah masih terdapat proses ARCH dengan uji LM, apabila proses ARCH sudah tidak ada maka model sudah baik.
Uji LM ini digunakan untuk mendeteksi keberadaan proses ARCH,
57 yaitu keheterogenan ragam sisaan yang dipengaruhi oleh kuadrat
sisaan periode sebelumnya atau biasa disebut keheterogenan ragam sisaan bersyarat Conditional Heteroscedasity dalam deret waktu.
Dengan hipotesis nol adalah ragam sisaan heterogen tidak bersyarat atau dengan kata lain tidak terdapat proses ARCH. Uji LM
diformulasikan dengan: LM = N x R
2
Dimana N adalah banyaknya pengamatan, dan R
2
adalah besarnya kontribusi keragaman sisaan yang dapat dijelaskan data deret waktu
sebelumnya. LM mengikuti sebaran χ
2
dengan derajat bebas sebesar q banyaknya periode waktu sebelumnya yang mempengaruhi data
sekarang. Uji Ljung-Box digunakan untuk menguji kelayakan model. Model dikatakan layak apabila sisaan sudah tidak mempunyai pola
yang bersifat acak atau dengan kata lain tidak ada autokorelasi antar sisaan untuk semua lag k dan diformulasikan sebagai berikut :
Q
LB
∑
=
−
k j
j
j T
r
1 2
= TT+2
Semakin kecil MAPE mengindikasikan data hasil ramalan semakin mendekati nilai aktualnya.
5. Peramalan. Memasukkan parameter ke dalam persamaan yang diperoleh. Hasil peramalan yang digunakan untuk pembahasan lebih
lanjut seperti perhitungan VaR pada analisis risiko. Penilaian tingkat risiko dengan menggunakan ketidakhomogenan data memanfaatkan
keragaman data tingkat pengembalian dan menduga nilai volality. Hal inilah yang membedakan sekaligus kelebihan metode peramalan
tingkat risiko dengan metode ARCHGARCH dibandingkan metode lain. Langkah terakhir adalah perhitungan VaR dengan waktu
berinvestasi yang berbeda-beda yaitu 1 hari, 5 hari, 10 hari, 20 hari. Secara matematis dapat didefinisikan sebagi berikut Jorison, 2002 :
58 VaR =
t+1
x √b x Z
α
x W Dimana,
VaR = besarnya risiko
b = periode kepemilikan saham Z
α =
titik kritik dalam tabel Z dengan α tertentu
W = besarnya investasi
t+1
= volatility yang akan datang hasil ramalan dimana
t
a Capital Gain =
√ht
4.6. Definisi Operasional
Kategori