Ei Ei+1
Ei Ei+1
Lapisan i Lapisan i+1
Gambar 3.4 Notasi lapisan – lapisan balok pada metode energi
3.4.1 Energi Regangan Akibat Lentur dan Aksial
Penurunan untuk energi regangan diawali dengan asumsi bahwa regangan normal kearah sumbu datar pada setiap lapisan dapat menahan gaya – gaya luar yang
bekerja. Untuk mendapatkan pengaruh dari regangan normal arah sumbu datar dari perpindahan arah sumbu datar dan juga sumbu tegak, dapat digunakan persamaan
Lagrangian untuk rengangan dan perpindahan, yaitu :
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
=
2 2
2 1
1
2 1
x v
x v
x v
xx
ε 3.13
Dimana v
1
adalah perpindahan arah sumbu datar dari elemen struktur dan v
2
adalah perpindahan arah sumbu tegak dari elemen struktur. Untuk elemen struktur yang
langsing, regangan ini dapat dihitung dengan melihat bentuk terdeformasi antara posisi awal dan posisi akhir setiap lapisan dalan elemen struktur tersebut. Pada
gambar 3.5 berikut dapat dilihat perpindahan dari suatu titik umum yang dinamakan i.
Universitas Sumatera Utara
z sin T
z cos T
i i
T
sebelum deformasi setelah deformasi
x2, v2
x1, v1
Gambar 3.5 Perpindahan Geometri dari Balok
Perpindahan v
1
dan v
2
dapat dihitung dengan : v
1
= u – z sin Ө
3.14 v
2
= w + z cos Ө
3.15 Ө =
arc tan
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
dx dw
3.16 U adalah perpindahan axial pada pertengahan tinggi suatu lapisan, w adalah
perpindahan arah sumbu tegak pada pertengahan tinggi suatu lapisan, dan z adalah setengah tinggi suatu lapisan. Substitusikan persamaan 3.14, 3.15, dan 3.16
kedalan persamaan 3.13, maka akan didapat :
xx
= ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+ −
+ +
+ +
cosarctan 1
1 1
1 1
2 2
1 2
1
2 2
2 2
2 2
2
w w
zw u
w w
z w
u u
sinarctan 1
1
2
w w
w zw
+ −
3.17
Universitas Sumatera Utara
Persamaan ini menyatakan dengan lengkap hubungan antara regangan – perpindahan dan kebebasan dari besaran regangan dan perpindahan. Besaran terpenting diturunkan
pada sumbu x. Asumsi bahwa besaran perpindahan pada arah tegak lurus sumbu dapat
mendekati ketinggian elemen, dan asumsi bahwa material – material berperilaku elastis akan menempatkan batasan dari besarnya rotasi ujung yang akan tercapai
untuk setiap elemen untuk setiap kombinasi yang berguna dari ukuran dan bentang material. Berdasarkan penelitian – penelitian yang telah dilakukan sebelumnya untuk
lantai, dinding, dan atap Kamiya 1987, 1988, Wheat 1986, dan Wolf 1989, 1991 menunjukkan bahwa suatu sistem struktur akan mencapai batas ultimit sebelum rotasi
ujung sebesar 10° tercapai. Pengamatan ini memungkinkan kita untuk menyederhanakan persamaan 3.17, yang berlaku untuk rotasi untuk setiap besaran.
Suatu studi parameter terhadap persamaan 3.17 telah dilakukan dengan memeriksa setiap hubungan yang dianggap penting. Hasil dari studi tersebut menyatakan bahwa
hubungan regangan – perpindahan berikut ini cukup akurat untuk rotasi ujung elemen yang menjadi bagian dari struktur.
xx
=
2
2 1
zw w
u −
+ 3.18
Dimana regangan internal arah sumbu tegak terdefenisi secara lengkap dalam bentuk perpindahan. Dengan hanya mempertimbangkan regangan arah sumbu tegak pada
setiap lapisan struktur, persamaan energi regangan untuk balok kayu yang mengalami perubahan bentuk dapat dinyatakan sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
U
B
=
dVi xxi
E
Vi i
i 2
2 1
2
∫ ∑
=
ε
3.19
Dimana bentuk penjumlahan diatas adalah untuk 2 lapisan struktur. Substitusikan persamaan 3.18 ke persamaan 3.19, kemudian sederhanakan bentuk integral
kepada bentuk panjang bentang, dan kemudian dengan memasukkan parameter – parameter struktur untuk bentuk struktur persegi, maka bentuk persamaan diatas
menjadi : U
B
= dx
w I
E dx
w u
w u
A E
Le i
i i
Le i
i i
i i
2 2
1 2
4 2
2 1
2 4
1 2
∫ ∑
∫ ∑
= =
+ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
+ 3.20
Persamaan diatas adalah energi regangan lentur dan aksial total untuk balok komposit
dengan dua lapisan struktur. 3.4.2 Energi Regangan Akibat Slip Antar Bidang
Slip antara dua lapisan struktur pada titik sembarang sepanjang balok komposit disebabkan oleh perubahan bentuk dari penghubung geser itu sendiri, dan
juga perubahan bentuk dari balok kayu yang diakibatkan tegangan kontak antara lapisan kayu dengan penghubung geser. Walaupun slip memiliki dua komponen yaitu
perubahan bentuk kayu dan penghubung geser, slip akan dijabarkan secara analitis. Pada penghubung geser berupa paku, slip dijabarkan analitis sebagai sebuah gaya
yang disalurkan dengan gaya geser yang dinyatakan sebagai sebuah fungsi dari perubahan bentuk titik secara keseluruhan. Pada penghubung geser berupa lem, slip
dijabarkan analitis sebagai sebuah gaya yang disalurkan dengan bidang geser yang dinyatakan sebagai sebuah fungsi dari perubahan bentuk titik secara keseluruhan. Slip
Universitas Sumatera Utara
pada bidang pertemuan antara kedua lapisan yang diukur pada bidang slip setelah pembebanan dapat dinyatakan dengan :
Δ = tan
sec tan
sin 2
1
2 1
1 2
w arc
w arc
h h
u u
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ −
− 3.21
Dimana u
i
adalah perubahan bentuk aksial dari lapisan struktur i sejajar posisi tidak berubah bentuk, dan h
i
adalah ketebalan lapisan struktur i.
i i + 1
i i +
1 ?
x sebelum deformasi
setelah deformasi
T
1 2
hi+1 sin
T
1 2
hi sin
T
Gambar 3.6 Hubungan slip dengan perpindahan
Dengan menyatakan Δ sebagai slip pada arah tidak berubah bentuk seperti
yang tergambar pada gambar 3.6 diatas, dan dengan membatasi rotasi sudut sebesar 10 ° maka
Δ =
2 1
1 2
2 1
w h
h u
u +
− −
3.22
Penghubung geser diasumsikan berjarak cukup rapat sepanjang bentang balok dan dapat digantikan dengan penghubung geser yang menerus. Bila jumlah
Universitas Sumatera Utara
penghubung geser dalam satu baris adalah n, dan jarak antar penghubung geser pada baris tersebut adalah s, maka gaya geser per unit panjang disetiap titik dapat
dituliskan dengan : ρ =
s nF
3.23 Dimana F adalah kekuatan penghubung geser. Maka total usaha yang dilakukan oleh
penghubung geser sepanjang bentang balok dapat dituliskan dengan persamaan berikut :
U
c
=
dx S
nF
Le
Δ
∫
3.24
Dimana Δ adalah slip sesuai dengan persamaan 3.22.
3.4.3 Energi Potensial Akibat Gaya Luar