Energi Regangan Akibat Lentur dan Aksial

Ei Ei+1 Ei Ei+1 Lapisan i Lapisan i+1 Gambar 3.4 Notasi lapisan – lapisan balok pada metode energi

3.4.1 Energi Regangan Akibat Lentur dan Aksial

Penurunan untuk energi regangan diawali dengan asumsi bahwa regangan normal kearah sumbu datar pada setiap lapisan dapat menahan gaya – gaya luar yang bekerja. Untuk mendapatkan pengaruh dari regangan normal arah sumbu datar dari perpindahan arah sumbu datar dan juga sumbu tegak, dapat digunakan persamaan Lagrangian untuk rengangan dan perpindahan, yaitu : ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 1 1 2 1 x v x v x v xx ε 3.13 Dimana v 1 adalah perpindahan arah sumbu datar dari elemen struktur dan v 2 adalah perpindahan arah sumbu tegak dari elemen struktur. Untuk elemen struktur yang langsing, regangan ini dapat dihitung dengan melihat bentuk terdeformasi antara posisi awal dan posisi akhir setiap lapisan dalan elemen struktur tersebut. Pada gambar 3.5 berikut dapat dilihat perpindahan dari suatu titik umum yang dinamakan i. Universitas Sumatera Utara z sin T z cos T i i T sebelum deformasi setelah deformasi x2, v2 x1, v1 Gambar 3.5 Perpindahan Geometri dari Balok Perpindahan v 1 dan v 2 dapat dihitung dengan : v 1 = u – z sin Ө 3.14 v 2 = w + z cos Ө 3.15 Ө = arc tan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ dx dw 3.16 U adalah perpindahan axial pada pertengahan tinggi suatu lapisan, w adalah perpindahan arah sumbu tegak pada pertengahan tinggi suatu lapisan, dan z adalah setengah tinggi suatu lapisan. Substitusikan persamaan 3.14, 3.15, dan 3.16 kedalan persamaan 3.13, maka akan didapat : xx = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − + + + + cosarctan 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 w w zw u w w z w u u sinarctan 1 1 2 w w w zw + − 3.17 Universitas Sumatera Utara Persamaan ini menyatakan dengan lengkap hubungan antara regangan – perpindahan dan kebebasan dari besaran regangan dan perpindahan. Besaran terpenting diturunkan pada sumbu x. Asumsi bahwa besaran perpindahan pada arah tegak lurus sumbu dapat mendekati ketinggian elemen, dan asumsi bahwa material – material berperilaku elastis akan menempatkan batasan dari besarnya rotasi ujung yang akan tercapai untuk setiap elemen untuk setiap kombinasi yang berguna dari ukuran dan bentang material. Berdasarkan penelitian – penelitian yang telah dilakukan sebelumnya untuk lantai, dinding, dan atap Kamiya 1987, 1988, Wheat 1986, dan Wolf 1989, 1991 menunjukkan bahwa suatu sistem struktur akan mencapai batas ultimit sebelum rotasi ujung sebesar 10° tercapai. Pengamatan ini memungkinkan kita untuk menyederhanakan persamaan 3.17, yang berlaku untuk rotasi untuk setiap besaran. Suatu studi parameter terhadap persamaan 3.17 telah dilakukan dengan memeriksa setiap hubungan yang dianggap penting. Hasil dari studi tersebut menyatakan bahwa hubungan regangan – perpindahan berikut ini cukup akurat untuk rotasi ujung elemen yang menjadi bagian dari struktur. xx = 2 2 1 zw w u − + 3.18 Dimana regangan internal arah sumbu tegak terdefenisi secara lengkap dalam bentuk perpindahan. Dengan hanya mempertimbangkan regangan arah sumbu tegak pada setiap lapisan struktur, persamaan energi regangan untuk balok kayu yang mengalami perubahan bentuk dapat dinyatakan sebagai berikut : Universitas Sumatera Utara U B = dVi xxi E Vi i i 2 2 1 2 ∫ ∑ = ε 3.19 Dimana bentuk penjumlahan diatas adalah untuk 2 lapisan struktur. Substitusikan persamaan 3.18 ke persamaan 3.19, kemudian sederhanakan bentuk integral kepada bentuk panjang bentang, dan kemudian dengan memasukkan parameter – parameter struktur untuk bentuk struktur persegi, maka bentuk persamaan diatas menjadi : U B = dx w I E dx w u w u A E Le i i i Le i i i i i 2 2 1 2 4 2 2 1 2 4 1 2 ∫ ∑ ∫ ∑ = = + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + 3.20 Persamaan diatas adalah energi regangan lentur dan aksial total untuk balok komposit dengan dua lapisan struktur. 3.4.2 Energi Regangan Akibat Slip Antar Bidang Slip antara dua lapisan struktur pada titik sembarang sepanjang balok komposit disebabkan oleh perubahan bentuk dari penghubung geser itu sendiri, dan juga perubahan bentuk dari balok kayu yang diakibatkan tegangan kontak antara lapisan kayu dengan penghubung geser. Walaupun slip memiliki dua komponen yaitu perubahan bentuk kayu dan penghubung geser, slip akan dijabarkan secara analitis. Pada penghubung geser berupa paku, slip dijabarkan analitis sebagai sebuah gaya yang disalurkan dengan gaya geser yang dinyatakan sebagai sebuah fungsi dari perubahan bentuk titik secara keseluruhan. Pada penghubung geser berupa lem, slip dijabarkan analitis sebagai sebuah gaya yang disalurkan dengan bidang geser yang dinyatakan sebagai sebuah fungsi dari perubahan bentuk titik secara keseluruhan. Slip Universitas Sumatera Utara pada bidang pertemuan antara kedua lapisan yang diukur pada bidang slip setelah pembebanan dapat dinyatakan dengan : Δ = tan sec tan sin 2 1 2 1 1 2 w arc w arc h h u u ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − 3.21 Dimana u i adalah perubahan bentuk aksial dari lapisan struktur i sejajar posisi tidak berubah bentuk, dan h i adalah ketebalan lapisan struktur i. i i + 1 i i + 1 ? x sebelum deformasi setelah deformasi T 1 2 hi+1 sin T 1 2 hi sin T Gambar 3.6 Hubungan slip dengan perpindahan Dengan menyatakan Δ sebagai slip pada arah tidak berubah bentuk seperti yang tergambar pada gambar 3.6 diatas, dan dengan membatasi rotasi sudut sebesar 10 ° maka Δ = 2 1 1 2 2 1 w h h u u + − − 3.22 Penghubung geser diasumsikan berjarak cukup rapat sepanjang bentang balok dan dapat digantikan dengan penghubung geser yang menerus. Bila jumlah Universitas Sumatera Utara penghubung geser dalam satu baris adalah n, dan jarak antar penghubung geser pada baris tersebut adalah s, maka gaya geser per unit panjang disetiap titik dapat dituliskan dengan : ρ = s nF 3.23 Dimana F adalah kekuatan penghubung geser. Maka total usaha yang dilakukan oleh penghubung geser sepanjang bentang balok dapat dituliskan dengan persamaan berikut : U c = dx S nF Le Δ ∫ 3.24 Dimana Δ adalah slip sesuai dengan persamaan 3.22.

3.4.3 Energi Potensial Akibat Gaya Luar