Penyelesaian Persamaan Energi ANALISA BALOK KAYU KOMPOSIT DENGAN METODE ENERGI

3.4.5 Penyelesaian Persamaan Energi

Persamaan 3.27 di atas akan diselesaikan dengan metode Rayleigh – Ritz, yaitu metode yang menggunakan pendekatan fungsi matematis untuk mengasumsikan fungsi lendutan. Untuk balok diatas dua perletakan sendi dan rol, fungsi untuk perpindahan arah sumbu tegak lendutan w, dan perpindahan arah sumbu datar u dapat diasumsikan sebagai berikut : w = a sin l x π + b sin l x π 3 u 1 = cx u 2 = dx Turunan dan kuadrat turunan dari fungsi – fungsi perpindahan lendutan diatas adalah sebagai berikut : w = l a π cos l x π + l b π 3 cos l x π 3 w 2 = 2 2 2 l a π cos 2 l x π + 2 2 6 l ab π cos l x π cos l x π 3 + 2 2 2 9 l b π cos 2 l x π 3 w 4 = 4 4 4 l a π cos 4 l x π + 4 4 3 12 l b a π cos 3 l x π cos l x π 3 + 4 4 2 2 54 l b a π cos 2 l x π cos 2 l x π 3 + 4 4 3 108 l b ab π cos l x π cos 3 l x π 3 + 4 4 4 81 l b π cos 4 l x π 3 w” = - 2 2 l a π sin l x π - 2 2 9 l b π sin l x π 3 w” 2 = 4 4 2 l a π sin 2 l x π - 2 4 18 l ab π sin l x π sin l x π 3 + 2 4 2 81 l b π sin 2 l x π 3 Universitas Sumatera Utara u 1 ’ = c u 1 ’ 2 = c 2 u 2 ’ = d u 2 ’ 2 = d 2 Hasil perkalian sesuai dengan komponen – komponen penyusun persamaan 3.27 adalah sebagai berikut : u 1 ’w 2 = 2 2 2 l c a π cos 2 l x π + 2 2 6 l abc π cos l x π cos l x π 3 + 2 2 2 9 l c b π cos 2 l x π 3 u 2 ’w 2 = 2 2 2 l d a π cos 2 l x π + 2 2 6 l abd π cos l x π cos l x π 3 + 2 2 2 9 l d b π cos 2 l x π 3 Untuk mendapatkan nilai dari persamaan 3.26, integral – integral dari persamaan tersebut diselesaikan sebagai berikut : ∫ l u 2 1 dx = ∫ l dx c 2 = c 2 l ∫ l u 2 2 dx = ∫ l dx d 2 = d 2 l ∫ l w 4 4 1 dx = ⎢ ⎣ ⎡ 4 4 4 4 1 l a π ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ dx l x l 4 cos π + ⎢ ⎣ ⎡ 4 4 3 12 4 1 l b a π ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ dx l x l x l 3 3 cos cos π π + ⎢ ⎣ ⎡ 4 4 2 2 54 4 1 l b a π ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ dx l x l x l 2 2 3 cos cos π π + Universitas Sumatera Utara ⎢ ⎣ ⎡ 4 4 3 108 4 1 l b ab π ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ dx l x l x l 3 3 cos cos π π + ⎢ ⎣ ⎡ 4 4 4 81 4 1 l b π ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ dx l x l 4 3 cos π = 3 4 4 32 3 l a π + 3 4 3 16 27 l b a π + 3 4 2 2 8 27 l b a π + 0 + 3 4 4 32 243 l b π ∫ l w u 2 1 dx = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ l dx l x l c a 2 2 2 2 cos π π + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ dx l x l x l abc l 2 2 3 cos cos 6 π π π + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ l dx l x l c b 2 2 2 2 3 cos 9 π π = l c a 2 2 2 1 π + 0 + l c b 2 2 2 9 π ∫ l w u 2 2 dx = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ l dx l x l d a 2 2 2 2 cos π π + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ dx l x l x l abd l 2 2 3 cos cos 6 π π π + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ l dx l x l d b 2 2 2 2 3 cos 9 π π = l d a 2 2 2 1 π + 0 + l d b 2 2 2 9 π ∫ l w 2 dx = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ l dx l x l a 2 4 4 2 sin π π + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ dx l x l x l ab l 4 4 3 sin sin 18 π π π + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∫ l dx l x l b 2 4 4 2 3 sin 81 π π = 3 4 2 2 1 l a π + 0 + 3 4 2 2 81 l b π Universitas Sumatera Utara ∫ l w 20 7 2 dx = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ l dx l x l a 20 7 2 2 2 2 cos π π + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ dx l x co l x l ab l 20 7 2 2 3 cos 6 π π π + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ l dx l x l b 20 7 2 2 2 2 3 cos 9 π π = l a 2 2 40 7 π + 0 + l b 2 2 40 63 π ∫ l l w 20 13 2 dx = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ l l dx l x l a 20 13 2 2 2 2 cos π π + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ dx l x l x l ab l l 20 13 2 2 3 cos cos 6 π π π + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ l l dx l x l b 20 13 2 2 2 2 3 cos 9 π π = l a 2 2 40 7 π + 0 + l b 2 2 40 63 π ∫ Δ l S nF dx = ∫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − l dx w h h u u S nF 2 1 1 2 2 1 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− 2 2 2 1 2 1 dl cl S nF Dengan memasukkan nilai – nilai hasil integrasi yang telah dicari pada persamaan di atas, maka persamaan 3.27 akan menjadi : Universitas Sumatera Utara U = 2 1 1 A E ⎢ ⎣ ⎡ 3 4 4 32 3 l a π + 3 4 3 16 27 l b a π + 3 4 2 2 8 27 l b a π + 0 + 3 4 4 32 243 l b π + l c a 2 2 2 1 π + 0 + ⎥ ⎦ ⎤ l c b 2 2 2 9 π + 2 2 2 A E ⎢ ⎣ ⎡ 3 4 4 32 3 l a π + 3 4 3 16 27 l b a π + 3 4 2 2 8 27 l b a π + 0 + 3 4 4 32 243 l b π + l d a 2 2 2 1 π + 0 + ⎥ ⎦ ⎤ l d b 2 2 2 9 π + 2 1 1 I E ⎢ ⎣ ⎡ 3 4 2 2 1 l a π + 0 + ⎥ ⎦ ⎤ 3 4 2 2 81 l b π + 2 2 2 I E ⎢ ⎣ ⎡ 3 4 2 2 1 l a π + 0 + ⎥ ⎦ ⎤ 3 4 2 2 81 l b π + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− 2 2 2 1 2 1 dl cl S nF - 2P ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ π π 20 21 sin b + 20 7 sin a - P ⎢ ⎣ ⎡ l a 2 2 40 7 π + ⎥ ⎦ ⎤ l b 2 2 40 63 π 3.28

3.4.6 Aplikasi dari Penyelesaian Persamaan Energi