3.4.5 Penyelesaian Persamaan Energi
Persamaan 3.27 di atas akan diselesaikan dengan metode Rayleigh – Ritz, yaitu metode yang menggunakan pendekatan fungsi matematis untuk mengasumsikan
fungsi lendutan. Untuk balok diatas dua perletakan sendi dan rol, fungsi untuk perpindahan arah sumbu tegak lendutan w, dan perpindahan arah sumbu datar u
dapat diasumsikan sebagai berikut : w
= a sin l
x π
+ b sin l
x π
3
u
1
= cx
u
2
= dx
Turunan dan kuadrat turunan dari fungsi – fungsi perpindahan lendutan diatas adalah sebagai berikut :
w = l
a π
cos l
x π
+ l
b π
3 cos
l x
π 3
w
2
=
2 2
2
l a
π cos
2
l x
π +
2 2
6 l
ab π
cos l
x π
cos l
x π
3 +
2 2
2
9 l
b π
cos
2
l x
π 3
w
4
=
4 4
4
l a
π cos
4
l x
π +
4 4
3
12 l
b a
π cos
3
l x
π cos
l x
π 3
+
4 4
2 2
54 l
b a
π cos
2
l x
π
cos
2
l x
π 3
+
4 4
3
108 l
b ab
π cos
l x
π cos
3
l x
π 3
+
4 4
4
81 l
b π
cos
4
l x
π 3
w” = -
2 2
l a
π sin
l x
π -
2 2
9 l
b π
sin l
x π
3
w”
2
=
4 4
2
l a
π sin
2
l x
π -
2 4
18 l
ab π
sin l
x π
sin l
x π
3 +
2 4
2
81 l
b π
sin
2
l x
π 3
Universitas Sumatera Utara
u
1
’ = c
u
1
’
2
= c
2
u
2
’ = d
u
2
’
2
= d
2
Hasil perkalian sesuai dengan komponen – komponen penyusun persamaan 3.27 adalah sebagai berikut :
u
1
’w
2
=
2 2
2
l c
a π
cos
2
l x
π +
2 2
6 l
abc π
cos l
x π
cos l
x π
3 +
2 2
2
9 l
c b
π cos
2
l x
π 3
u
2
’w
2
=
2 2
2
l d
a π
cos
2
l x
π +
2 2
6 l
abd π
cos l
x π
cos l
x π
3 +
2 2
2
9 l
d b
π cos
2
l x
π 3
Untuk mendapatkan nilai dari persamaan 3.26, integral – integral dari persamaan tersebut diselesaikan sebagai berikut :
∫
l
u
2 1
dx =
∫
l
dx c
2
= c
2
l
∫
l
u
2 2
dx =
∫
l
dx d
2
= d
2
l
∫
l
w
4
4 1
dx =
⎢ ⎣
⎡
4 4
4
4 1
l a
π ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
dx l
x
l 4
cos π +
⎢ ⎣
⎡
4 4
3
12 4
1 l
b a
π ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
dx l
x l
x
l 3
3 cos
cos π
π +
⎢ ⎣
⎡
4 4
2 2
54 4
1 l
b a
π ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
dx l
x l
x
l 2
2
3 cos
cos π
π +
Universitas Sumatera Utara
⎢ ⎣
⎡
4 4
3
108 4
1 l
b ab
π ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
dx l
x l
x
l 3
3 cos
cos π
π +
⎢ ⎣
⎡
4 4
4
81 4
1 l
b
π ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
dx l
x
l 4
3 cos
π
=
3 4
4
32 3
l a
π +
3 4
3
16 27
l b
a π
+
3 4
2 2
8 27
l b
a π
+ 0 +
3 4
4
32 243
l b
π
∫
l
w u
2 1
dx = ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
l
dx l
x l
c a
2 2
2 2
cos π π
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
dx l
x l
x l
abc
l 2
2
3 cos
cos 6
π π
π +
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∫
l
dx l
x l
c b
2 2
2 2
3 cos
9 π
π
= l
c a
2 2
2 1
π + 0 +
l c
b
2 2
2 9
π
∫
l
w u
2 2
dx = ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
l
dx l
x l
d a
2 2
2 2
cos π π
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
dx l
x l
x l
abd
l 2
2
3 cos
cos 6
π π
π +
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∫
l
dx l
x l
d b
2 2
2 2
3 cos
9 π
π
= l
d a
2 2
2 1
π + 0 +
l d
b
2 2
2 9
π
∫
l
w
2
dx = ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
l
dx l
x l
a
2 4
4 2
sin π π
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
∫
dx l
x l
x l
ab
l 4
4
3 sin
sin 18
π π
π +
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∫
l
dx l
x l
b
2 4
4 2
3 sin
81 π
π
=
3 4
2
2 1
l a
π + 0 +
3 4
2
2 81
l b
π
Universitas Sumatera Utara
∫
l
w
20 7
2
dx = ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛
∫
l
dx l
x l
a
20 7
2 2
2 2
cos π π
+
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛
∫
dx l
x co
l x
l ab
l 20
7 2
2
3 cos
6
π π
π
+
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∫
l
dx l
x l
b
20 7
2 2
2 2
3 cos
9 π
π
= l
a
2 2
40 7
π + 0 +
l b
2 2
40 63
π
∫
l l
w
20 13
2
dx = ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛
∫
l l
dx l
x l
a
20 13
2 2
2 2
cos π π
+ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛
∫
dx l
x l
x l
ab
l l
20 13
2 2
3 cos
cos 6
π π
π +
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∫
l l
dx l
x l
b
20 13
2 2
2 2
3 cos
9 π
π
= l
a
2 2
40 7
π + 0 +
l b
2 2
40 63
π
∫
Δ
l
S nF
dx =
∫
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ −
−
l
dx w
h h
u u
S nF
2 1
1 2
2 1
= ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
2 2
2 1
2 1
dl cl
S nF
Dengan memasukkan nilai – nilai hasil integrasi yang telah dicari pada persamaan di atas, maka persamaan 3.27 akan menjadi :
Universitas Sumatera Utara
U =
2
1 1
A E
⎢ ⎣
⎡
3 4
4
32 3
l a
π +
3 4
3
16 27
l b
a π
+
3 4
2 2
8 27
l b
a π
+ 0 +
3 4
4
32 243
l b
π +
l c
a
2 2
2 1
π
+ 0 +
⎥ ⎦
⎤ l
c b
2 2
2 9
π +
2
2 2
A E
⎢ ⎣
⎡
3 4
4
32 3
l a
π +
3 4
3
16 27
l b
a π
+
3 4
2 2
8 27
l b
a π
+ 0
+
3 4
4
32 243
l b
π +
l d
a
2 2
2 1
π + 0 +
⎥ ⎦
⎤ l
d b
2 2
2 9
π +
2
1 1
I E
⎢ ⎣
⎡
3 4
2
2 1
l a
π + 0
+
⎥ ⎦
⎤
3 4
2
2 81
l b
π +
2
2 2
I E
⎢ ⎣
⎡
3 4
2
2 1
l a
π + 0 +
⎥ ⎦
⎤
3 4
2
2 81
l b
π
+ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
2 2
2 1
2 1
dl cl
S nF
- 2P ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ π
π 20
21 sin
b +
20 7
sin a
- P
⎢ ⎣
⎡ l
a
2 2
40 7
π +
⎥ ⎦
⎤ l
b
2 2
40 63
π 3.28
3.4.6 Aplikasi dari Penyelesaian Persamaan Energi