usaha virtual akibat gaya – gaya yang bekerja pada partikel tersebut harus hilang pada setiap perpindahan virtual yang diaplikasikan pada sistem keseluruhan. Usaha virtual
akibat seluruh gaya yang bekerja pada seluruh partikel nilainya juga sama dengan nol, adalah hal yang memungkinkan untuk menganggap total usaha virtual terdiri atas dua
bagian, yang pertama akibat gaya – gaya luar yang diaplikasikan pada badan secara keseluruhan, dan yang kedua akibat gaya pegas internal yang bekerja pada masing –
masing partikel. Prinsip perpindahan virtual untuk badan elastis dengan dimensi terhingga
dapat dinyatakan bahwa; suatu badan elastis dengan ukuran yang terhingga berada pada keadaan setimbang bila usaha virtual yang dilakukan oleh gaya – gaya luar
ditambah dengan usaha virtual yang dilakukan oleh gaya – gaya dalam adalah sama dengan nol untuk setiap perpindahan virtual. Pernyataan ini dapat dinyatakan secara
analitis sebagai : W
i
+ W
e
= 3.2
Dimana W
i
dan W
e
adalah pertambahan dari usaha virutal internal dan eksternal yang dihasilkan dari perpindahan virtual.
3.2.2 Prinsip Energi Potensial Stasioner
Struktur yang mengalami n buah gaya P
i
, dan suatu perpindahan virtual r, usaha virtual eksternal W
e
, dapat dinyatakan sebagai : W
e
=
∑
= n
i ir
p
1
r 3.3
Universitas Sumatera Utara
Dimana P
ir
adalah komponen dari setiap gaya P
i
yang bekerja pada arah perpindahan virtual. Usaha virtual internal bisa didapatkan dengan cara persamaan yang sama bila
memungkinkan untuk mengisolasi semua gaya – gaya internal. Namun untuk sebagian besar struktur hal ini tidak mungkin untuk dilakukan, dan harus dipakai cara
alternatif untuk menghitung usaha internal.
Gambar 3.3 Perpindahan virtual sebuah partikel pada model pegas – massa
Suatu perpindahan virtual yang terdiri dari pergerakan vertikal r pada partikel paling atas dari keempat partikel yang ada diaplikasikan pada suatu sistem
pegas – massa. Oleh karena usaha virtual internal dari sistem adalah sama dengan gaya tersebut dikalikan dengan perpindahannya, maka :
W
i
= - P
1
r 3.4 Usaha virtual internal negatif karena arah P
1
berlawanan dengan perpindahan r.
Universitas Sumatera Utara
Sebagai hasil dari perpindahan virtual, energi regangan dari pegas yang melekat pada partikel paling atas berubah dengan jumlah U, yang nilainya sama
dengan : U =
P
1
r 3.5
Dengan membandingkan persamaan 3.5 diatas dengan persamaan 3.4, maka didapat :
W
i
= -
U 3.6
Dengan kata lain, usaha virtual internal W
i
adalah sama besarnya dengan energi regangan U namun berbeda dalam tanda. Usaha virtual total pada badan elastis
didapatkan dengan mengombinasikan usaha virtual eksternal dengan negatif dari perubahan energi rengangan, dan persamaan 3.2 dapat dituliskan kembali dengan :
W
i
+ W
e
=
∑
= n
i ir
p
1
r – U =
3.7 Adalah suatu hal yang lazim pada teori mekanika teknik untuk manyatakan
pertambahan usaha eksternal W
e
akibat perpindahan virtual sebagai energi potensial, dan dengan - V untuk menyatakan nilai ini, maka :
V = -
∑
= n
i ir
p
1
r 3.8
Berdasarkan hal ini, maka persamaan 3.7 dapat ditulis menjadi : U + V
= 0 U
+ V
= 3.9
Universitas Sumatera Utara
Nilai U + V terdiri atas energi regangan dan energi potensial dari gaya – gaya luar menunjukkan total energi potensial dari sistem, dan simbol melambangkan
perubahan jumlah ini yang disebabkan oleh perpindahan virtual. Prinsip yang dinyatakan pada persamaan 3.9 dikenal sebagai teori energi
potensial stasioner. Teori itu dapat dinyatakan dengan; sebuah struktur elastis berada pada keadaan setimbang bila tidak ada perubahan yang timbul pada energi potensial
total dari sistem bila perpindahannya berubah dengan jumlah yang kecil. Bila suatu sistem memiliki jumlah derajat kebebasan yang sangat banyak,
kesetimbangan diperoleh dengan pasti hanya jika telah dapat dilihat bahwa energi potensial total tidak berubah untuk kemungkinan perubahan perpindahan yang sangat
banyak juga. Namun untuk sistem yang hanya memiliki satu derajat kebebasan, kesetimbangan dapat diperoleh dengan pasti hanya jika tidak ada perubahan pada
parameter perpindahan, dan hal ini dapat diperoleh dengan kalkulus yang sederhana. Makna dari prinsip energi potensial stasioner lebih mudah untuk dimengerti jika
hanya memperkirakan sistem dengan satu derajat kebebasan. Untuk sistem seperti itu, bila derajat kebebasan tunggal itu adalah sumbu x, maka energi potensial total akan
berbentuk sebagai fungsi x, dan turunannya akan ditentukan dari : U + V
= x
dx V
U d
δ +
3.10 Karena x adalah suatu perumpamaan, maka turunan dari energi potensial total dapat
dinyatakan sama dengan nol hanya jika :
Universitas Sumatera Utara
dx V
U d
+ = 0
3.11 Persamaan 3.11 menandakan bahwa sebuah kurva U + V yang digambarkan
terhadap sumbu x akan memiliki garis singgung yang horizontal pada nilai x yang menunjukkan kesetimbangan. Dengan kata lain, kesetimbangan berhubungan dengan
nilai minimum atau maksimum dari total energi potensial sistem. Karena suatu kesetimbangan menjadi stabil bila suatu energi harus ditambahkan kedalam untuk
sistem untuk merubah bentuknya, dan menjadi tidak stabil ketika energi dilepas ketika telah terjadi perubahan bentuk, kesetimbangan yang stabil berhubungan
dengan nilai minimum dari energi potensial total dan ketidakstabilan berhubungan dengan nilai maksimum. Karakter dari kesetimbangan dapat dilihat secara analitis
dari tanda turunan kedua energi potensial total. Tanda positif menyatakan kesetimbangan yang stabil, sedangkan tanda negatif menyatakan kesetimbangan yang
tidak stabil.
3.2.3 Evaluasi Beban Kritis
