Gambar 2.7 Grafik simpangan terhadap waktu dari getaran kritis,super kritis,dan
sub kritis
2.5 Model Struktur Sebagai Sistem Derajat-Kebebasan Banyak
2.5.1 Persamaan Difrensial Struktur MDOF
2.5.1.1 Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman
Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada
struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak MDOF.
Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik dynamic equilibrium pada suatu massa yang ditinjau. Untuk
memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.
Universitas Sumatera Utara
L L
h h
h
P
3
t
P
2
t
P
1
t
k
1
c
1
m
1
k
1
c
1
m
1
k
1
c
1
m
1
P
1 t
P
2 t
P
3 t
k
1
y
1
c
1
y
1
k
2
y
2
- y
1
m
1
y
1
m
2
y
2
m
3
y
3
k
3
y
3
- y
2
c
2
y
2
- y
1
c
3
y
3
- y
2
a S tru k tu r d en g an 3 D O F c F ree bo d y d iag ram
b m o d el m ate m atik
Gambar 2.8 Struktur 3-DOF, Model Matematik dan Free Body Diagram
Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung
dengan jumlahnya tingkat. Persamaan diferensial gerakan tersebut umumnya disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti
yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan lebih lanjut pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free
body diagram. maka akan diperoleh : m
1
a
1 +
c
1
b
1+
k
1
u
1
- k
2
u
2 –
u
1
- c
2
b
2 +
b
1
- F
1
t = 0 2.33
m
2
a
2 +
c
2
b
2
– b
1 +
k
2
u
2
- u
1
- k
3
u
3
- u
2
- c
3
b
3
- b
2
- F
2
t = 0 2.34
m
3
a
3 +
c
3
b
3
– b
2 +
k
3
u
3
- u
2
- F
3
t = 0 2.35
Pada persamaan-persamaan tersebut diatas tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan
simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu umumnya disebut coupled equation karena persamaan-persamaan tersebut akan
tergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus dilakukan secara simultan artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada.
Universitas Sumatera Utara
Pada struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakannya merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan
yang lain. Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut parameter yang
sama percepatan, kecepatan dan simpangan selanjutnya akan diperoleh : m
1
a
1 +
b
1
c
1 +
c
2
– c
2
b
2 +
u
1
k
1+
k
2
– k
2
u
2
= F
1
t 2.36
m
2
a
2
– c
2
b
1+
c
2 +
c
3
b
2
- c
3
b
3
- k
2
u
1
+ k
2
+k
3
u
2
– k
3
y
3
= F
2
t 2.37
m
3
a
3
- c
3
b
2 +
c
3
b
3
- k
3
u
2
- k
3
u
3
= F
3
t 2.38
Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
c 3
0 3 0 3
d
e f a
a
d
a g + c
+ −
− +
d
−
d
−
d d
e f b
b
d
b g + c
0 + 0 −0
−0 0 + 0
d
−0
d
−0
d d
e f
d
g = h L]N
L]N
d
L]N i
2.39 Pers. 2.4.14 dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompak,
[M]{ Ua} + [C]{kb} + [K]{U} = {Ft}
2.40 Yang mana [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks
dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
2.41
Sedangkan {Ÿ}, {Ỳ} dan {Y} dan {Ft} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban.
Universitas Sumatera Utara
2.42 2.
42
Struktur bangunan bertingkat sebagai suatu sistem berderajat kebebasan – banyak dapat dianggap sebagai bangunan geser. Bangunan geser dapat didefenisikan
sebagai struktur dimana tidak terjadi rotasi putaran pada penampang horizontal bidang lantainya. Balok – balok pada struktur dianggap memiliki kekakuan tak
terhingga dibandingkan dengan kolom sehingga rotasi yang nyata pada bagian atas kolom dapat ditahan. Dalam hal ini bangunan akan berkelakuan seperti balok terjepit
yang dibebani oleh gaya geser. Untuk mencapai keadaan tersebut pada bangunan, harus dianggap bahwa :
• Massa total dari struktur terpusat pada bidang lantai
• Balok pada lantai kaku tak hingga dibandingkan dengan kolom
• Deformasi dari struktur tidak dipengaruhi oleh gaya aksial pada kolom
2.5.2 Getara Bebas Pada Struktur MDOF
Kategori