6 7
89
memenuhi persamaan ini. Dengan mensubstitusikan fungsi ini pada persamaan 2.9 didapat persamaan
3 6: 7
89
+ 6: 7
89
+ 0 6 7
89
= 0 Dimana setelah menghilangkan faktor yang sama, didapatkan persamaan yang
disebut persamaan karakteristik untuk sistem, yaitu m
: + : + 0 = 0 2.10 Akar – akar dari persamaan kuadarat adalah
p1,2
=
; = √
?
; AB A
2.11
sehingga solusi umum dari persamaan 2.9 didapat dari superposisi dua solusi yang mungkin, yaitu
yt = 61 7
8 9
+ 62 7
8 9
2.12
dimana C
1
dan C
2
adalah konstanta integrasi yang ditentukan dari kondisi awal.
2.4.2.3 Sistem Redaman Kritis
Untuk suatu sistem yang berosilasi dengan redaman kritis critical damping seperti definisi di atas, ekspresi dibawah tanda akar persamaan 2.11 sama dengan
nol, yaitu
E
FG A
H −
B A
= 0
2.13 atau
Ccr = 2 √03 2.14
Universitas Sumatera Utara
Dimana Ccr menyatakan harga redaman kritis critical damping value . Karena frekuensi natural frekuensi natural dari sistem tak teredam dinyatakan oleh
5 = J
B A
, maka koefisien redaman kritis yang diberikan oleh persamaan 2.14 dapat juga
dinyatakan dengan notasi Ccr = 2 mw = 2
B
5
2.15 Harga – harga persamaan karakteristik dari sistem redaman kritis, adalah sama dan
bersasal dari persamaan 2.11 yaitu, p
1
=p
2
= -
6K 23
2.16 Karena kedua akar tersebut sama, maka solusi umum yang diberikan oleh persamaan
2.12 mempunyai konstanta integrasi, sebab itu terdapat satu solusi independen yaitu,
y
1
t = C
1
7
;LFG AN9
2.17 Solusi independen yang lain didapat dengan fungsi,
y
2
t = C
2
t 7
;LFG AN9
2.18 Persamaan ini dapat diuji dan akan memenuhi persamaan diffrensial 2.9. Solusi
umum untuk sistem redaman kritis diberikan oleh superposisi dua solusi di atas
y
1
t = C
1
+ C
2
t 7
;LFG AN9
2.19
Universitas Sumatera Utara
v o y o
y t
t
2.4.2.4 Sistem Redaman Super Kritis
Pada sistem redaman superkritis overdamped sistem , koefisien redamannya lebih besar dari koefisien redaman dari sistem redaman kritis, yaitu C
Ccr. Oleh karena itu besaran dibawah tanda akar persamaan 2.11 adalah positif, jadi kedua akar persamaan karakteristik adalah riel dan solusinya diberikan oleh
persamaan 2.12. Perlu diperhatikan bahwa, untuk sistem redaman superkritis dan redaman kritis, gerakan yang terjadi bukan osilasi, namun besar osilasi mengecil
secara eksponensial dengan waktu menuju nol. gambar 2.6 menyatakan grafik respons dari osilator sederhana dengan redaman kritis pada gambar 2.6, tetapi
diperlukan lebih banyak waktu untuk kembali ke posisi netral bila redaman bertambah.
Gambar 2.6 Respon getar bebas dengan redaman kritis 2.4.2.5 Sistem Redaman Subkritis
Bila harga koefisien redaman lebih kecil dari hargai kritis C Ccr , yang mana akan terjadi bila besaran di bawah tanda akar negative, maka harga akar – akar
dari persamaan karakteristik 2.11 adalah bilangan kompleks, jadi,
p1,2 = −
A
+ i J
B A
− E
A
H 2.20
Universitas Sumatera Utara
dimana i = √−1 adalah unit imajiner. Untuk hal ini perlu digunakan persamaan Euler
yang menghubungkan fungsi – fungsi exponensial dengan trigonometric yaitu, 7
O
= cos P + sin P 7
; O
= cos P − sin P 2.21
Dengan mensubstitusikan akar –akar p
1
dan p
2
dari persamaan 2.20 ke dalam persamaan 2.12 dengan mengunakan persamaan 2.21 akan memberikan bentuk
solusi umum dari sistem redaman subkritis underdamped system yt
= 7
;E
S ?T
H9
A cos 5
D
t + B sin 5
D
t 2.22
dimana A dan B adalah konstanta integrasi dan w
D
adalah frekuensi redaman dari sistem yang diberikan oleh,
5
D
= J
B A
− E
A
H 2.23
atau 5
D =
5 U1 − V
2.24 Hasil terakhir ini didapatkan sesudah mensubstitusikan pada persamaan 2.21
besaran freku
w = J
B A
2.25
dan ratio redaman damping ratio dari sistem yang di defenisikan sebagai, ξ =
F FG
2.26 Kemudian bila ditentukan kondisi awal dari perpindahan dan kecepatan adalah yo
dan vo, maka kontanta integrasi dapat dihitung kemudian disubstitusikan ke persamaan 2.22 memberikan,
Universitas Sumatera Utara
yt = 7
;ξW9
yo cos
w
D
t +
XY=ZY ξ
5 5
[
sin 5
\
] 2.27
Alternatif penulisan persamaan ini adalah, yt
= 7
;ξW9
cosL5
\
] − N 2.28
Dimana C =
J2
Y
+
LXY=ZYξ N
? _
?
2.29
Dan tan α =
LXY=ZYξ N
_
ZY
2.30 Periode redaman getaran damped period of vibration dan diberikan oleh
persamaan 2.29
T
D
=
`
5
_
=
`
5
J ;
V?
2.31
Harga dari koefisien redaman untuk struktur adalah jauh lebih kecil dari koefisien redaman kritis dan biasanya antara 2 sampai dengan 20 dari harga redaman kritis.
Substitusi harga maksimum ξ = 0,20 pada persamaan 2.24 5
D
= 0,98 5
2.32 Dapat dilihat bahwa frekuensi getaran suatu sistem dengan 20 ratio redaman
damping ratio adalah hamper sama dengan frekuensi natural sistem tak teredam. Jadi dalam praktek, frekuensi natural dari sistem teredam dapat diambil sama dengan
frekuensi natural sistem tak teredam.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.7 Grafik simpangan terhadap waktu dari getaran kritis,super kritis,dan
sub kritis
2.5 Model Struktur Sebagai Sistem Derajat-Kebebasan Banyak
