5254
Sistem persamaan di atas dapat diekspresikan dengan bentuk perkalian matriks. Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan metode langsung atau metode iterasi. Kedua
metode tersebut mempunyai kelemahan dan keunggulan. Metode yang dipilih akan menentukan keakuratan penyelesaian sistem tersebut. Dalam kasus tertentu, yaitu sistem yang
besar, metode iterasi lebih cocok digunakan. Dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear, metode iterasi menggunakan algoritma secara rekursif. Algoritma tersebut
dilakukan sampai diperoleh suatu nilai yang konvergen dengan toleransi yang diberikan. Ada dua metode iterasi yang sering digunakan, yaitu metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel.
Metode Jacobi dikenalkan oleh Carl Jacobi 1804-1851 dan metode Gauss-Seidel dikenalkan oleh Johann Carl Friedrich Gauss 1777-1855 dan Philipp Ludwig von Seidel 1821-1896.
1.2. Tujuan Penulisan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana penerapan metode Jacobi dan Gauss-Seidel dalam penyelesaian persamaan linier.
1.3. Metode Penulisan
Penulisan makalah ini menggunakan metode tinjauan literatur library research.
2. Uraian Teoritis 2.1. Sistem Persamaan Linear
Bentuk umum sistem persamaan linier SPL yang terdiri dari m buah persamaan linier dan n buah peubah dituliskaan sebagai berikut:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ … + a
1n
x
n
= b
1
a2
1
x
1
+ a2
2
x
2
+ … + a2
n
x
n
= b
2
……………………………….. a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ … + a
mn
x
n
= b
m
a. Dua Variabel
Dengan x
1
, x
2
,..,x
n
merupakan peubah dan aij R, dengan i = 1, 2,3,...,m dan j = 1, 2, 3,...,n merupakan koefisien SPL.
Contoh: x + y = 3
3x – 5y = 1
Sistem persamaan linier dua variabel dengan variabel x dan y secara umum adalah :
5255
cx + dy = n dengan a, b, c, d, m dan n R
b. Tiga variabel
Sistem persamaan linier tiga variabel dengan variabel x, y dan z secara umum adalah : ax + by + cz = m
dx + ey + fz = n gx + hy + iz = p
dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, m, n dan p R Penyelesaian dapat diperoleh dengan cara mereduksi persamaan menjadi persamaan
dua variabel, dengan cara mengalikan persamaan i dengan d dan persamaan ii dengan a dan mengurangkan.
2.2. Algoritma Algoritma adalah deskripsi langkah-langkah penyelesaian masalah yang tersusun
secara logis atau urutan logis pengambilan keputusan untuk pemecahan suatu masalah. Algoritma ditulis dengan notasi khusus, notasi mudah dimengerti dan notasi dapat
diterjemahkan menjadi sintaks suatu bahasa pemrograman Zakaria dan Prijono, 2006:5. Suatu algoritma akan memerlukan masukan input tertentu untuk memulainya, dan
akan menghasilkan keluaran output tertentu pada akhirnya. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam algoritma adalah mencari langkah-langkah yang paling sesuai untuk penyelesaian suatu
masalah, karena setiap algoritma memiliki karakteristik tertentu yang memiliki kelebihan dan kekurangan. Beberapa hal yang harus dipahami dalam mencari algoritma antara lain:
1. Masalah seperti apa yang hendak diselesaikan. 2. Gagasan apa yang ada pada algoritma tersebut.
3. Berapa lama yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah. 4. Berapa jumlah data yang dapat ditangani oleh suatu algoritma.
2.3. Metode Jacobi dan Gauss-Seidel
a. Metode Jacobi
Persamaan ke-i dalam sistem persamaan dinyatakan sebagai ai
1
x
1
+ ai
2
x
2
+ ... + ai
i
x
i
+ ... + ai
n
x
n
= b
i
, dimana i = 1, 2, 3, ..., n. Persamaan di atas dapat diekspresikan sebagai
Dari diatas dapat diperoleh penyelesaian persamaan ke-i yaitu
5256
Dengan demikian, algoritma metode Jacobi diekspresikan sebagai
Untuk menyelesikan sistem persamaan linear dengan metode Jacobi maupun metode Gauss-Seidel diperlukan suatu nilai pendekatan awal yaitu x0. Nilai x0 biasanya tidak
diketahui dan dipilih x0 = 0.
b. Metode Gauss-Seidel
