Kegiatan Pembelajaran 6
118
119
Kegiatan Pembelajaran 7 Persamaan dan Pertidaksamaan Mutlak
A. Tujuan
Tujuan kegiatan pembelajaran ini adalah untuk memberikan pemahaman kepada pembaca terkait dengan konsep persamaan dan pertidaksamaan mutlak, dan
memanfaatkannya dalam penyelesaian masalah dengan mengintegrasikan penguatan pendidikan karakter.
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
Setelah membaca dan mengikuti serangkaian kegiatan pada bagian ini, pembaca diharapkan dapat menanamkan nilai-nilai karakter dan mampu:
1 Menjelaskan konsep nilai mutlak.
2 Menentukan penyelesaian persamaan mutlak.
3 Menentukan penyelesaian pertidaksamaan mutlak.
C. Uraian Materi
Pada bagian ini dibahas mengenai persamaan dan pertidaksamaan mutlak. Terkait dengan penguatan pendidikan karakter, melalui kegiatan pembelajaran ini secara
langsung maupun tidak langsung guru diharapkan dapat menggali potensi karakter rasa ingin tahu, cermat, pantang menyerah, nasionalisme dan lain-lain.
1. Persamaan Mutlak
a. Nilai Mutlak
Dalam garis bilangan, jarak titik dan ke adalah 5. Padahal, dalam garis
bilangan, posisi adalah dan posisi di . Dalam matematika kondisi di atas
dapat sebagai nilai mutlak adalah 5, dan nilai mutlak 5 adalah 5. Pernyataan
tersebut dapat dinotasikan dengan dan .
Dari ilustrasi di atas, nilai mutlak suatu bilangan real dapat didefinisikan sebagai {
Kegiatan Pembelajaran 7
120
Perhatikan bahwa berdasarkan definisi tersebut, nilai mutlak suatu bilangan tidak pernah negatif. Sebagai contoh dengan definisi di atas, nilai
. Nilai Mutlak dan Jarak Antar Dua Titik Pada Garis Bilangan
Jika dan dua buah bilangan real, maka jarak antara a dan b adalah atau
.
b. Bentuk akar dan nilai mutlak
Untuk setiap bilangan real , √
Berdasarkan prinsip ini, maka akar kuadrat dari adalah nilai mutlak dari
. Sebagai contoh,
√ , √
, √ dan √
. Secara umum dapat dinyatakan
√ untuk
genap √
untuk ganjil.
Contoh, √
dan √ .
c. Sifat-sifat Nilai Mutlak
i. ii.
iii. iv.
| |
Bukti: i.
Dari definisi, untuk negatif, maka yang berarti .
Sementara itu, untuk , nilai . Dari kedua
pertidaksamaan ini diperoleh . Terbukti.
ii. Sifat
akan dibuktikan dengan membagi menjadi empat kasus.
Kasus I, dan
maka , , dan
sehingga sesuai definisi . Akibatnya .
Kasus II, dan ,
maka , dan .
Dengan demikian .
Kasus III, dan ,
bukti analog
dengan kasus
II. Kasus IV,
dan , maka
, dan
Modu PKB Guru Matematika SMA
121
. Sesuai definisi, maka .
Dari keempat kasus di atas, terbukti bahwa .
iii. Dengan menggunakan sifat ii, maka
. Diperoleh . Terbukti. iv.
Berdasarkan sifat √
, maka |
| √ √
√ √
. Diperoleh
| |
. Terbukti. Contoh:
Untuk setiap fungsi berikut, lukislah grafik dan . Jelaskan
bagaimana pengaruh pengambilan nilai mutlak terhadap grafik .
a b
Penyelesaian: a .......
?
d. Menyelesaikan Persamaan Mutlak
Jika diberikan sebuah persamaan , maka persamaan tersebut akan bernilai
benar untuk atau . Sehingga dapat dikatakan himpunan penyelesaian
persamaan adalah .
Secara umum, Jika
maka atau . Contoh:
Selesaikan persamaan .
Penyelesaian: Cara 1, menggunakan definisi.
Untuk kasus , maka , sehingga
Untuk kasus , maka , sehingga
Dari 1 dan 2, diperoleh penyelesaian atau .
Cara 2, menggunakan sifat √
.
Kegiatan Pembelajaran 7
122
Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan , diperoleh
Diperoleh penyelesaian atau .
Untuk memeriksa hasil, Anda dapat menggunakan aplikasi GeoGebra dengan memasukkan perintah di input bar:
dan . Perhatikan perpotongan kedua grafik ada di
dan .
Contoh: Tentukan penyelesaian
. Penyelesaian:
Nilai tidak pernah negatif. Dengan demikian tidak ada nilai yang memenuhi
. Tidak ada penyelesaian. Contoh:
Selesaikan persamaan .
Penyelesaian: Diperoleh penyelesaian
atau . Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian .
Modu PKB Guru Matematika SMA
123
Penyelesaian: Cara 1.
Kasus I, dan , untuk kasus ini diperoleh syarat atau
. Jika digabungkan, diperoleh syarat .
Kasus II, dan , untuk kasus ini maka nilai harus
memenuhi syarat dan
, tidak ada nilai yang memenuhi.
Kasus III, dan , untuk kasus ini maka nilai harus
memenuhi syarat dan
, atau jika digabungkan .
Kasus III, dan , untuk kasus ini maka nilai harus
memenuhi syarat dan
, atau jika digabungkan .
2 Dari 1 dan 2, diperoleh himpunan penyelesaian
{ }.
Cara 2. Langkah
Alasan
Kedua ruas ditambah Kedua ruas dikuadratkan
Kategori