marjinal dari penyaluran air, yaitu dari S = MC
o
ke S = MC
1
. Kehilangan surplus konsumen dan produsen sama dengan luasan A. Pendekatan tersebut dapat
diperluas untuk mengestimasi OFCE dari sedimentasi waduk dalam kaitannya dengan penggunaan yang lain, seperti pembangkit listrik tenaga air, kontrol banjir
dan pasokan air domestik maupun industri.
4.3. Aplikasi Pendugaan Biaya On-site Erosi Tanah
Dari berbagai kajian sebelumnya, estimasi biaya on-site erosi dapat diterapkan melalui tiga metode. Penilaian dampak on-site dengan fungsi
kerusakan damage function erosi telah dilakukan Walker 1982. Estimasi biaya on-site dengan penerapan model optimasi dinamik problem diskrit telah
dilaksanakan oleh Burt 1981, Sagara dan Taylor 1987 maupun Syaukat 1992. Untuk menangkap esensi problem dinamik produksi pertanian dan
deplesi tanah pada tingkat usahatani dengan perumusan problem kontinyu telah dilakukan oleh McConnell 1983, Saliba 1985 dan Barbier 1990. Selanjutnya
bagian berikut menyajikan diskripsi dari masing-masing metode. 4.3.1. Metode fungsi kerugian erosi
on-site erosion damage function Dalam membangun fungsi kerugian erosi on-site, perumusan dinamik
Walker 1982 menggunakan fungsi produksi non-linier. Metode pendugaan biaya tersebut telah diterapkan pada tanaman gandum di wilayah Palouse Idaho
dan Saskatchewan Walker 1982 dan Van Kooten et al. 1989. Fungsi kerugian erosi dimaksudkan untuk mengekspresikan nilai bersih dari fenomena perubahan
pengelolaan lahan, yakni dari pengelolaan konvensional ke praktek konservasi. Bentuk rumusan fungsi kerugian erosi untuk kondisi tanaman seragam dan
beberapa tanaman berbeda pada pola rotasi disajikan pada persamaan berikut:
a. Tanaman seragam monocrop.
[ ] [
] [
] [
]
∑
− −
− −
− −
− −
+ ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ +
− +
+ +
− +
⋅ −
− −
− ⋅
=
1 1
1 1
1 1
1 1
1 ,
, ,
, ,
, ,
,
T i
i t
c t
c t
c t
c t
c t
e t
c t
e t
r D
i t
C D
i t
C D
i t
Y D
i t
Y P
D t
C D
t C
D t
Y D
t Y
P δ
4.11a b. Pola rotasi.
[ ] [
] [
]
[ ]
∑ ∑
− −
− −
+ −
+ −
+ −
− +
= −
− −
−
+ ⎪⎭
⎪ ⎬
⎫ ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ +
− +
+ +
− +
⋅ −
− −
− ⋅
=
1 1
1 ,
1 ,
1 ,
1 1
, 1
1 1
1 1
1
1 ,
, ,
, ,
, ,
,
T i
i t
i t
c t
i t
c t
i t
cj t
i t
cj j
h j
t cj
t ej
t cj
t ej
j t
r D
i t
C D
i t
C D
i t
Y D
i t
Y P
D t
C D
t C
D t
Y D
t Y
P δ
4.11b
Dimana δ
t
merupakan nilai perbedaaan antara keuntungan pengelolaan konvensional yang erosif dan praktek konservasi; P adalah harga komoditas; Y
e
ialah produksi dengan pengelolaan erosif sebagai suatu fungsi SD dan waktu t; Y
c
yaitu produksi tanaman dengan praktek konservasi; D
t
adalah kedalaman topsoil pada akhir tahun ke-t; C
e
dan C
c
berturut-turut ialah biaya variabel input dari tanaman yang diproduksi dengan pengelolaan erosif dan yang diproduksi
dengan praktek konservasi; T adalah jumlah tahun dalam horizon waktu; dan r
ialah tingkat bunga.
Manfaat bersih pada persamaan 4.11 terdapat dua kelompok, yakni manfaat bersih tahun berjalan current
income dan nilai sekarang dalam jangka panjang. Besarnya PV manfaat bersih menggambarkan biaya
penggunaan marginal marginal user cost yang meliputi biaya tambahan pupuk untuk memperbaiki kesuburan
karena erosi dan hilangnya penerimaan yang akan datang
dari penurunan produksi. C
c
t+I,D
t
adalah biaya praktek konservasi pada tahun yang akan datang jika pengelolaan
erosif dilakukan pada tahun berjalan; dan C
c
t+I,D
t-1
ialah biaya pengolahan konservasi pada tahun yang akan
datang jika praktek konservasi diterapkan pada tahun berjalan.
Pendugaan biaya
on-site erosi tanah dari metode fungsi kerusakan erosi lebih lanjut Van Kooten et al. 1989
menyebut sebagai User Cost of Soil Erosion UCSE. Dari penerapan metode tersebut dapat diperoleh deskripsi
fenomena hubungan antara variabel SD, tingkat diskonto dan variabel waktu t dengan besarnya UCSE Walker
1982 dan Van Kooten et al. 1989. Fenomena tersebut ialah:
1. Semakin tebal SD, besarnya UCSE tahun berjalan semakin menurun.
2. Semakin tinggi tingkat diskonto, PV UCSE per hektar semakin kecil.
3. Pada SD 12 inchi, UCSE semakin menurun antar waktu.
4.3.2. Model optimasi dinamik problem diskrit
Pendugaan biaya on-site erosi tanah yang diturunkan dari model optimasi dinamik problem diskrit yang didasarkan pada keputusan di tingkat petani
dengan fungsi tujuan memaksimalkan PV penerimaan bersih dari aktivitas rotasi tanaman telah dilakukan oleh Burt 1981, Seggara dan Taylor 1987 dan
Syaukat 1992. Dengan mempertimbangkan waktu secara eksplisit sebagai variabel, maka
perumusan optimasi dapat dikelompokan menjadi model discrete-time dan countinuous-time Conrad dan Clark, 1995 serta Chiang, 1997. Sementara itu,
berdasarkan alternatif besarnya nilai stok cadangan pada akhir horizon waktu terminal horizon atau T pemecahan optimasi dapat dirumuskan menurut finite
horizon dengan batas akhir periode T+1 dan infinite horizon dengan TÆ ∞.
Bohi dan Toman 1984 menguraikan bahwa perilaku untuk memaksimalkan nilai sekarang PV penerimaan bersih sepanjang horizon waktu dipengaruhi oleh
komulatif aktivitas yang akan datang . Model dasar optimasi dinamik problem discrete-periode pada horizon
waktu terbatas finite horizon mempertimbangkan besarnya nilai stok pada akhir horizon waktu. Persamaan 4.12 adalah perumusan model diskrit dengan
horizon waktu terbatas. maksimasi
∑
− =
+
1
,
T t
T T
t t
t
x F
y x
V ρ
ρ
4.12 dengan
syarat:
c
t+1
–
c
t
= f
c
t
,
y
t
c
= a tertentu Dimana V
t
= V c
t
, y
t
adalah fungsi tujuan; ρ =11+r, ρ adalah faktor diskonto
discount factor dan r merupakan tingkat bunga periodik the periodic discount rate; c
t
mewakili the state variable stok sumberdaya dalam periode t; y
t
adalah
mewakili the decision variable ekstrasi sumberdaya dalam periode t; dan F x
t
ialah nilai stok pada akhir horizon waktu. Bentuk perumusan optimasi dinamik model diskrit problem infinite horizon
tanpa mempertimbangkan alternatif nilai sumberdaya pada akhir horizon waktu karena T
→∞ adalah: maksimasi
∑
∞ =0
,
t t
t t
y x
V ρ
4.13 dengan syarat:
c
t+1
–
c
t
= f
c
t
,
y
t
c
= a tertentu Pemecahan
alokasi optimal dinamik dan intertemporal dapat diterapkan
metode pendekatan optimal control theory dengan menerapkan formula Lagrange dan Hamiltonian Kennedy, 1986; Pearce, 1976 dalam Anderson dan
Thampapillai, 1990; serta Conrad dan Clark 1995. Formula Lagrange dari model discrete-time persamaan 4.12 adalah:
L =
[ ]
{ }
∑
− =
+ +
⋅ +
− ⋅
+ +
⋅
1 1
1 T
t T
t t
t t
F x
f x
V ρ
ρλ ρ
4.14a Pengali faktor diskonto
ρ pada state variable diperlukan untuk menyetarakan perbedaan dimensi periode waktu antara fungsi tujuan dan state variable. Fungsi
tujuan mempunyai perspektif periode t, sedangkan pada state variable pada perspektif periode t+1. Pengganda
λ
t+1
dapat diinterpretasikan sebagai nilai dari satu unit tambahan state variable x
t+1
dari perspektif periode t+1. Menurut Conrad 1999,
λ
t+1
merefleksikan nilai unit tambahan marginal unit dari sisa cadangan sumberdaya pada periode t+1. Adapun formula nilai sekarang current
value Hamiltonian adalah:
⋅ +
⋅ =
+ +
f V
y x
H
t t
t t
1 1
, ,
~ ρλ
λ
4.14b
Keputusan alokasi optimal didasarkan pada kondisi turunan pertama dari Hamiltonian yang berkenaan dengan variabel
kontrol, state variable dan syarat tranversalitas Conrad dan Clark, 1995 serta Chiang, 1992.
t t
t t
t t
t t
t
x H
x H
x L
y H
y L
∂ ⋅
∂ =
− ⇒
= −
+ ∂
⋅ ∂
= ∂
∂ =
∂ ⋅
∂ =
∂ ∂
+ +
~ ~
~
1 1
λ ρλ
λ ρλ
⋅ =
⇒ =
⋅ +
− =
∂ ∂
∂ ⋅
∂ =
− ⇒
= −
+ ∂
⋅ ∂
= ∂
∂
+ +
+ +
+
~ ~
1 1
1 1
1
F F
x L
H x
x x
x H
L
T T
T t
t t
t t
t t
λ λ
ρλ ρλ
ρλ
4.14c
Menurut Chiang 1992, selain variabel waktu t, variabel kontrol dan state variable terdapat tipe variabel lain yang muncul dari proses pemecahan problem
optimasi dinamik, yaitu disebut dengan costate variable atau auxiliary variable. Variabel tersebut sama dengan pengganda Lagrange, yang mengukur harga
bayangan dari state variable yang terkait. Keragaman lokasi, aktivitas, jenis tanaman, variabel keputusan decision
variable, state variable dan horizon waktu dari beberapa kajian secara rinci disajikan pada Tabel 12.
Tabel 11. Lokasi dan Komponen Model Optimasi Dinamik pada Beberapa Kajian Biaya On-Site Erosi Tanah
Uraian Burt 1981
Seggara Taylor 1987 Syaukat 1992.
Lokasi Wilayah Palouse
Wilayah Piedmont Virginia
New South Wales bagian Utara
Aktivitas Rotasi tanaman
Rotasi tanaman 28 alternatif
Rotasi 5 tanaman, tiga sistem pengolahan tanah
dua teknik konservasi Jenis tanaman Gandum,
Tembakau, barley, Gandum, barley
,
alfalfa , kacang
polong gandum, jagung, kedele,
sorghum , silage, alfalfa,
fescue chickpeas
, sorghum, bunga matahari
Decision
luas areal gandum
luas areal rotasi tanaman thdp. Total
lahan budidaya luas areal kombinasi dari
rotasi tanaman dan sistem pengolahan lahan
State
1. topsoil depth, 2. kandungan
bahan organik 1. topsoil depth,
2. stok modal konservasi tanah,
3. stok modal pemilikan lahan produktif
Kumulatif soil loss
Planning
Infinite TÆ ∞
Finite T = 50 tahun Finite T = 20 tahun
Metode
Kontrol Optimal Kontrol Optimal
Pemrograman Dinamik
Sumber: diolahdisarikan
Perumuskan model
Burt didasarkan pada hasil estimasi berbagai fungsi hasil kajian Pawson et al. 1961
dalam Burt 1981. Formulasi secara umum dari fungsi
tujuan disajikan pada persamaan 4.15b, dan kendala transisi pada persamaan 4.15b
Memaksimalkan Z =
∑
∞ =1
t
Gu
t
, x
t
, y
t
1+r
t
4.15a
Kendala
x
t+1
= x
t
– φu
t
, x
t
, y
t
, 4.15b
y
t+1
= y
t
– hu
t
, x
t
, y
t
,
Dimana x dan y berturut-turut adalah SD inchi dan persentase bahan organik kedalaman di atas 6 inchi; u merupakan persentase areal lahan gandum; r
adalah tingkat bunga; φu,x,y ialah fungsi soil loss tahunan inchi; hu,x,y
adalah fungsi kehilangan bahan organik tahunan ; dan Gu,x,y adalah fungsi penerimaan bersih tahunan dollaracre.
Penerimaan bersih tahunan didasarkan pada fungsi produksi rumusan persamaan 4. 15a. Dari enam rotasi
terseleksi yang efisien didapatkan fungsi penerimaan bersih tahunan, yaitu dalam bentuk fungsi kuadratik.
Persamaan empiris pendugaan fungsi penerimaan bersih adalah:
Gu, x, y = b
o
+ b
1
u + b
2
u
2
+ cu 1-0.9
x
1-0.6
y
4.15c Pada persamaan tersebut tercermin bahwa penerimaan tahunan dipengaruhi
oleh kedua state variable. Sementara itu, untuk mengestimasi fungsi soil loss dan fungsi kehilangan bahan organik tahunan didasarkan pada postulat dari
perubahan bahan organik tanah pada kedalaman enam inchi. Berdasarkan pada
tingkat kehilangan bahan organik sebesar 3.3, maka secara empiris bentuk kedua fungsi tersebut adalah:
φu, x, y = 0.0025 + 0.000261u + 0.128610
-5
u
2
4.15d hu, x, y
= -0.0452 + 0.857 10
-4
u + 0.47810
-6
u
2
+ 0.01y 4.15e
Berdasarkan model yang dirumuskan, Burt 1981 mengeksplorasi hubungan perubahan harga dengan decision variabel, yakni persentase lahan
gandum. Pada harga rendah 3.20bushel, diperoleh keputusan optimal bahwa gandum dikelola pada lahan dengan solum dangkal 6 inchi dan
kandungan organik kurang dari 1.5. Pada harga tinggi 4.25bushel; keputusan opimal adalah gandum ditanam pada 85.70 dari lahan pada kondisi
fisik yang berlawanan dengan lahan hasil keputusan pada saat harga rendah.
Pendugaan biaya
on-site erosi tanah yang dilakukan oleh Segarra dan Taylor 1987 didasarkan pada unit
analisa representative farm’s land. Pada tingkat representative farm’s land perumusan model hanya
memasukan kendala transisi SD. Skenario yang dipertimbangkan meliputi tiga alternatif perubahan tingkat
bunga sebagai proksi perubahan teknologi dan empat macam bentuk pengolahan lahan. Alternatif perubahan
tingkat bunga tersebut ialah: 1. Tingkat bunga 0 untuk perubahan yang mengarah ke
pesimistis.
2. Tingkat bunga 1.5 untuk perubahan yang bersifat
moderat. 3. Tingkat bunga 3 untuk perubahan yang mengarah ke
optimistis. Adapun 4 macam sistem pengolahan lahan meliputi: tegak
lurus terhadap kemiringan, sesuai dengan kontur, tanaman strip dan terasering. Fungsi tujuan dari problem optimasi
dinamik model diskrit dengan tiga state variable dari Segarra dan Taylor 1987 dirumuskan pada persamaan
4.16, dan formulasi kendala pada persamaan 4.17.
Memaksimalkan Z
=
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
+ +
+
∑
= =
− +
+ +
− T
t T
T T
T t
t
r CK
SP SD
RV r
NR
1 1
1 1
1 ,
, 1
4.16a dimana
t ct
t Pt
it n
i Xit
t Yt
t
PL P
PI P
X P
Y P
NR −
− −
=
∑
=1
4.16b 1. Kendala transisi soil depth:
SD
t+1
= SD
t
+ SF
t
– SL
t
4.17a dimana:
SL
t
= g
t
X
1t
, X
2t
, . . . ,X
nt
, SD
t
, SL
t
, SP
t
, CK
t
, W
t
, T
t
SF
t
= l
t
X
1t
, X
2t
, . . . ,X
nt
, SD
t
, SL
t
, SP
t
, CK
t
, W
t
, T
t
2. Kendala transisi stok modal konservasi tanah:
CK
t+1
= CK
t
1- δ + CI
t
4.17b 3. Kendala transisi stok modal lahan produktif
SP
t+1
= SP
t
+ PI
t
- PL
t
4.17c
dimana: PL
t
= h
t
X
1t
, X
2t
, . . . ,X
nt
, SD
t
, SL
t
, SP
t
, CK
t
, W
t
, T
t
4. Kendala kondisi awal SD0 = SD
, CK0 = CK , SP0 = SP
4.17d 5. Kendala nilai positif
X
1t
, X
2t
, . . . ,X
nt
≥ 0, SD
t
≥ 0, SL
t
≥ 0, SF
t
≥ 0, CK
t
≥ 0, CI
t
≥ 0, SP
t
≥ 0, PI
t
≥ 0, PL
t
≥ 0, Dan untuk t
≥ T +1, SD
T+1
≥ 0, SP
T+1
≥ 0, CK
T+1
≥ 0 Dimana:
P
Yt
= harga komoditas pada tahun ke-t Y
t
= produksi rotasi tanaman tunggal pada tahun ke-t P
Xit
= harga sarana produksi pada tahun ke-t X
1t
, X
2t
, . . . ,X
nt
= sarana produksi input variabel pada tahun ke-t P
Pt
= harga per unit investasi pada lahan produktif pada tahun ke-t PI
t
= indeks stok investasi untuk lahan produktif pada tahun ke-t P
ct
= harga per unit investasi dari modal konservasi tanah pd tahun ke-t PL
t
= indeks kehilangan produksi dari lahan produktif pada tahun ke-t SD
t+1
= ketebalan lapisan atas pada tahun ke t+1 SD
t
= ketebalan lapisan atas pada tahun t SF
t
= lapisan atas yang terbentuk pada tahun t SL
t
= lapisan tanah yang hilang pada tahun t CK
t+1
= indeks cadangan investasi dari modal konservasi pd th ke t+1 CK
t
= indeks cadangan stock investasi dari modal konservasi pd th ke-t W
t
= indeks lingkungan dalam waktu t δ = tingkat depresiasi
CI
t
= indeks investasi dari modal konservasi tanah pada tahun ke-t SP
t+1
= indeks pemilikan lahan produktif pada tahun ke t+1 SP
t
= indeks pemilikan lahan produktif pada tahun ke t Dari perumusan umum yang tertera pada persamaan 4.16 dan 4.17,
dapat disusun bentuk PV Hamilton pada persamaan 4.18; yakni dengan maksud untuk menduga biaya penggunaan sumberdaya yang terkuras user cost
dari state variable. H
= NR
t
+ λ
t+1
[SF
t
– SL
t
] + μ
t+1
- δCK
t
+ CI
t
] + η
t+1
[PI
t
– PL
t
] 4.18
Dimana λ
t+1
, µ
t+1
, dan η
t+1
masing-masing adalah user cost dari sumberdaya SD; stok modal konservasi tanah dan stok
persyaratan lahan produktif. Model empiris spesifik dimaksudkan untuk
menangkap fenomena pada tingkat usahatani diantara hamparan lahan budidaya seluas 174 acre. Dalam model
spesifik mempertimbangkan kuota produksi tembakau sebanyak 37,800 pounds yang diasumsikan berasal dari
wilayah tersebut. Fungsi tujuan pada persamaan 4.16 adalah
memaksimalkan nilai diskonto dari penerimaan bersih lahan, biaya eksploitasi maupun biaya tambahan, resiko
dan pengelolaan untuk satu acre areal dari suatu usahatani di wilayah Piedmont Bright dari tahun ke-t = 0 hingga t =
50. Besaran biaya implisit erosi pada model Segarra dan
Taylor 1987 diukur dengan nilai marjinal marginal unit value dari SL; yakni sama dengan keuntungan yang tidak
jadi diberikan oleh lahan karena erosi. Kehilangan
keuntungan dicerminkan oleh user cost dari SD sebesar λ
t+1
; cadangan modal dari konservai tanah μ
t+1
; serta user cost dari cadangan sifat produktif tanah
η
t+1
. Kondisi tersebut didasarkan pada turunan pertama dari PV
Hamiltonian yang berkenaan dengan SL persamaan 4. 19.
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ ⇒
= ∂
∂
+ +
+ t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
SL h
SL l
SL g
SL f
Py SL
H
1 1
1
η λ
λ
4.19a
Dimana Py
t
adalah harga output komoditas; ∂g
t
∂SL
t
merupakan perubahan SL
terhadap fungsi soil loss g pada periode t;
∂l
t
∂SL
t
ialah perubahan SL terhadap
fungsi SD bentukan baru l pada periode t; dan
∂h
t
∂SL
t
adalah perubahan SL terhadap fungsi penurunan produktivitas lahan h pada periode t.
Sementara itu, pada kondisi maksimal dengan syarat turunan parsial terhadap SD pada waktu t, dapat diperoleh tingkat perkembangan atau
pertumbuhan user cost sebagai berikut:
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∂ ∂
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
= −
+ +
+ t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
SD h
SD g
SD l
SD f
py r
1 1
1
η λ
λ λ
λ
4.19b Persamaan 4.19b mengindikasikan bahwa pertumbuhan biaya implisit SD
sebesar λ
t+1
- λ
t
, dipengaruhi oleh tingkat bunga r, dikurangi kontribusi SD terhadap keuntungan pada periode t dan ditambah dampak perubahannya pada
periode sesudahnya t+1; serta pengaruh SD terhadap pengurangan produktivitas lahan pada periode t+1.
Perumusan model
dinamik problem diskrit juga telah dilakukan oleh Syaukat et al. 1992; yakni untuk mengkaji
pengaruh on-site erosi tanah di tingkat petani. Fungsi tujuan yang dirumuskan adalah memaksimalkan PV dari
surplus tunai tahunan ditambah dengan PV perubahan lahan pertanian pada akhir horizon waktu T di formulasikan
pada persamaan 4.20.
Maksimasi Z =
[ ]
∑∑∑
= =
=
+ +
+ −
m i
n j
T t
t t
t ijt
ij ijt
i
r LNDVAL
r A
C Y
P
1 1
1 1
4.20 Dengan kendala perubahan ketebalan lapisan tanah dan
ketersediaan lahan pada persamaan 4.21.
E
ij
A
ijt
– SL
t
= 0, t = 1, 2, . . . , T-1 4.21a
∑∑
= =
m i
n j
1 1
A
ijt
≤ L, t = 1, 2, . . . , T-1
4.21b SL
t
≥ 0, t = 1, 2, . . . , T-1 4.21c
BSL
o
= a 4.21d
BCSL
t+1
= BCSL
t
+ SL
t
, t = 1, 2, . . . , T-1 4.21e
Dimana P
i
adalah harga komoditas; Y
ijt
ialah produksi aktual dari komoditas ke-i dengan pengolahan tanah ke-j
pada tahun ke-t; E
ij
adalah koefisien tingkat erosi dari komoditas ke-i dengan pengolahan tanah ke-j pada tahun
ke-t; A
ijt
merupakan luas lahan optimal dari komoditas ke-i dengan pengolahan tanah ke-j pada tahun ke-t; LNDVAL
T
ialah nilai lahan pada akhir horizon waktu T dengan mempertimbangkan perubahan akibat erosi; SL
t
adalah kehilangan tanah soil loss pada tahun ke-t hasil dari
aktivitas tanaman tertentu; BSL
o
dan BCSL
t
berturut-turut ialah kondisi SD pada tahun ke-0 dan kehilangan lapisan
tanah kumulatif cummulative soil loss atau CSL pada
tahun ke-t; r adalah tingkat bunga; m dan n masing-masing
ialah jumlah jenis tanaman dan jumlah metode pengolahan tanah. Fungsi produksi Y
ijt
merupakan fungsi dari CSL dengan formula sebagai berikut:
Y
ijt
= Y
o ij
α – β CSL
t
4.22 dimana
α dan β berturut-turut ialah intersep dan kelerengan slope fungsi produksi-kerusakan yield-damage function;
dan CSL
t
adalah kehilangan tanah kumulatif pada tahun ke-t. Perubahan nilai lahan pada akhir periode horizon
LNDVAL
T
diestimasi dengan rumusan berikut: LNDVAL
T
= CSLt h 4.23
dimana h adalah denda kehilangan tanah, yakni
merupakan merubahan nilai lahan setiap milimeter SL.
Perumusan dasar tersebut di atas dioperasionalkan pada tiga aktivitas yang ditetapkan menurut pilihan
pergiliran tanaman rotasi tanaman dan sistem pengolahan lahan. Kombinasi antara pilihan jenis tanaman dan metode
pengolahan tanah terdiri atas: 1. Pergiliran tanaman maupun pengolahan lahan bebas;
bentuk pergiliran tanaman dan sistem pengolahan lahan yang optimal dipilih oleh model.
2. Pergiliran tanaman tetap dan pengolahan lahan bebas; artinya rotasi tanaman ditetapkan pada periode tertentu
sedangkan model memilih sistem pengolah-an lahan pada masing-masing tahap untuk memaksimalkan fungsi
tujuan. 3. Pergiliran tanaman maupun pengolahan lahan tetap;
rotasi dan sistem pengolahan lahan ditetapkan pada masing-masing tahap.
Sistem pengolahan lahan yang dipertimbangkan terdiri atas: pengolahan tanah konvensional, pengolahan lahan minimal dan tanpa pengolahan tanah.
Dari pemecahan dasar dan berbagai skenario yang dilakukan oleh Syaukat et al. 1992 tercermin bahwa pendugaan biaya on-site erosi tanah didekati
dengan biaya kesempatan opportunity cost atau OP dan rata-rata biaya
penggunaan sumberdaya average user cost atau AUC. Biaya kesempatan mendeskripsikan biaya per milimeter kehilangan tanah kumulatif CSL. Nilai
pendugaan OP didapatkan dari pembagian antara PV mafaat bersih dan selisih besarnya CSL antar aktivitas optimal terpilih dari pemecahan dasar basic
solution. Sedangkan pendugaan AUC diperoleh dari pembagian antara total biaya penggunaan sumberdaya total user cost atau TUC dan CSL yang
ditimbulkan dari aktivitas antara skenario. Total biaya penggunaan sumberdaya mengindikasikan perubahan nilai fungsi tujuan berkaitan dengan SL; yaitu
didekati dengan perbedaan nilai total PV antar aktivitas berdasarkan skenario. Rumusan skenario meliputi: 1 bila produktivitas tidak dipengaruhi oleh SL atau
SL = 0, 2 perubahan besarnya denda penalty SL, 3 perubahan
produksitivitas 5 pada sistem konservasi, dan 4 perubahan tingkat bunga.
4.3.3. Model optimasi dinamik problem kontinyu
Seperti halnya pada model diskrit, model optimasi kontinyu continuous- time dengan problem horizon waktu terbatas finite dan tidak terbatas infinite.
Bentuk perumusan kontinyu dengan problem terbatas adalah:
Memaksimalkan
∫
− −
+
T t
t
e T
x F
dt e
t y
t x
V ,
δ δ
4.24 dengan kendala: x = f xt,yt; dan xt = “a” tertentu
Sementara itu, rumusan permasalahan dari infinite horizon dalam model dasar continous-time dengan problem horizon
tidak terbatas adalah:
Memaksimalkan
dt e
V
t δ
− ∞
∫
⋅
4.25
dengan kendala:
⋅ =
⋅
f x
dan x0=a tertentu
Dari persamaan fungsi tujuan dan kendala yang terdapat pada 4.24 dapat disusun formula Hamiltonian,
⋅ Η
, dan nilai sedang berjalan current-value Hamiltonian,
Η ~
, sebagai berikut:
⋅ +
⋅ =
⋅ Η
−
f t
e V
t
λ
δ
4.26a
⋅ +
⋅ =
⋅ Η
= Η
f t
V r
t
~ μ
δ
4.26b dimana e
- δt
merupakan faktor diskonto kontinyu countinous discount factor dan r adalah tingkat bunga. Prinsip memaksimalkan dari rumusan persamaan 4.24
harus memenuhi kondisi turunan pertama first order condition atau FOC dalam formula current-value Hamiltonian sebagaimana seperti yang dirumuskan pada
persamaan 4.26c
⋅ =
∂ ⋅
Η ∂
= ∂
⋅ Η
∂ −
= −
= ∂
⋅ Η
∂
~ ~
~
F t
T x
x t
y
t t
μ μ
δμ μ
4.26c
Dimana
μ
adalah pertumbuhan PV dari variabel costate perumusan model optimasi kontinu Conrad dan Clark, 1995.
Pengukuran biaya
on-site pada Tabel 12 merupakan pendekatan model optimasi dinamik problem kontinyu yang dilakukan oleh McConnell 1983, Saliba
1985 dan Barbier 1990 menggunakan teknik pemecahan kontrol optimal dengan unit analisis tingkat usaha tani farm level.
Tabel 12. Keragaman Elemen Optimasi Dinamik dari Beberapa Model
Elemen Model
McConnell 1983 Saliba 1985
Barbier 1990 Aktivitas Tanaman
Tunggal Pergiliran tanaman
Tanaman tunggal
Decision
Proporsi lahan gandum pada
pergiliran tanaman Areal konservasi Z,
intensitas pengelolaan m dan
persentase intensitas tanaman u
Pengunaan input pro- duksi z
1
dan yg terkait dg pencegahan
deplesi tanah z
2
State variable Soil depth
Soil depth Soil depth
Planning
Terbatas finite Terbatas finite
Tidak terbatas infinite
Elemen fs.
Soil loss , soil depth,
var input teknologi
Soil depth , atribut
tanah, intensitas pengelolaan
Soil depth variabel
input
Sumber: diolahdisarikan
Rumusan fungsi tujuan pada model McConnell didasarkan pada asumsi bahwa petani bekerja di lahannya
untuk memaksimalkan PV dari aliran keuntungan ditambah dengan nilai usaha tani pada akhir horizon waktu.
Persamaan fungsi tujuan dan kendala model McConnell adalah:
Memaksimalkan Z=
4.27
dengan kendala: dan
X 0 = X
o
Dimana r ialah tingkat bunga, p dan c masing-masing adalah harga per unit produk output dan faktor produksi
input; g t ialah perubahan teknologi yang bersifat netral pada tahun ke-t; s t dan x t berturut-turut ialah SL dan
SD pada tahun ke-t; z t adalah indeks variabel input pada tahun ke-t; merupakan perubahan SD pada tahun ke-t;
dan k ialah SD bentukan baru.
Alokasi sumberdaya mencapai optimal terjadi pada kondisi: 1 input Z akan digunakan hingga nilai produk marjinal pgf
z
sama dengan biayanya; dan 2 SL akan berlangsung hingga nilai penerimaan yang diperoleh dari tambahan
SL pgf
s
sama dengan biaya implisit penggunaan tanah. Rumusan Hamiltonian dari model tersebut adalah:
H = [pgfs, x, z – cz] + λ k – s
4.28
Dimana λ merupakan biaya implisit SL. Penduga besaran
biaya on-site dari erosi secara spesifik dapat ditentukan dengan persamaan 4.29d. Secara umum prinsip
[ ]
[ ]
rt T
t rt
e T
x R
dt cz
z x
s f
t pg
e
− −
− −
∫
, ,
t s
k t
x −
=
⋅
t x
⋅
λt
λT= ∂R∂xT
λ0= e
-rt
∂R∂xT
maksimal untuk memperoleh alokasi optimal per periode optimal path dari s, x, z dan
λ adalah:
1. ∂Hs, x, z
,
λ∂s = pgf
s
s, x, z
, –
λ = 0 4.29a
2. ∂Hs, x, z
,
λ∂z = pgf
z
s, x, z
, –
c = 0 4.29b
3.
λ
= r λ - ∂H∂x = r λ
–
pgf
x
s, x, z
,
4.29c 4.
4.29d 5. X 0 = X
o
, dan
4.29e 6.
λ T =∂ R[xT]∂xT 4.29f
Dari persamaan 14.29a, tampak bahwa biaya implisit erosi λ sebesar nilai
penerimaan yang diperoleh dari bertambahnya SL, yaitu pgf
s
. Biaya SL merupakan keuntungan yang akan datang yang tidak jadi diperoleh sebagai
akibat dari perubahan produktivitas dan nilai jual lahan pertanian karena berkurangnya SD.
Perubahan biaya implisit SL
λ
digambarkan pada persamaan 4.29c. Tingkat perubahan tersebut meningkat seiring dengan perkembangan tingkat
bunga r dikurangi dengan kontribusi tanah terhadap penerimaan tahun yang berjalan; pgf
x
adalah tambahan sumbangan SD pada keuntungan tahun berjalan. Apabila SD tidak mempengaruhi produksi tanaman, serta harga output,
biaya dan teknologi konstan, maka biaya SL per periode tahun menjadi: λ t = e
-rT-t
∂R[xT]∂xT 4.30
Sebaran biaya implisit SL per priode tahun dalam bentuk grafik disajikan pada gambar berikut:
t s
k t
x −
=
⋅
λ t=λ0e
-rt
T t
Gambar 5. User Cost Ketika Soil Depth Tidak Mempengaruhi Produksi McConnell, 1983
Grafik tersebut menggambarkan hubungan antara variabel costate λ
t
dan variabel waktu. Dari pola hubungan tersebut tampak bahwa tingkat bunga petani
individu menentukan harga bayangan SD antar waktu over time.
Model optimasi dinamik yang dibangun oleh Saliba 1985 didasarkan pada postulat: keterkaitan antara
pengelolaan usaha tani, erosi tanah dan produktivitas lahan. Fungsi tujuan yang dibangun adalah
memaksimalkan pendapatan usaha tani persamaan 4.31; dengan kendala transisi dan kondisi awal ketebalan lapisan
tanah sebagaimana yang diformulasikan pada persamaan 4.32.
Memaksimalkan u, m, z
[ ]
[ ] [
] {
} [
] {
}
∫
− −
+ −
− +
− −
+
T rT
rt
T s
h R
e dt
wz m
u um
c m
s h
f p
u m
s h
f up
e
2 1
2 2
2 1
1 1
1 ,
1 ,
Dengan kendala: 1. Persamaan kehilangan tanah:
] ,
[ t
z t
u g
t s
= 4.32a
4.31
2 . Kondisi awal kedalaman tanah soil depth: st=o = So
4.32b 3. Batas atas dan bawah intensitas tanaman:
≤ u t ≤ 1.0
4.32c 4. Batas atas dan bawah intensitas pengelolaan usaha tani
≤ m t ≤ m
max.
4.32d Dimana:
u = proporsi luas rotasi tanaman komoditas 1 tanaman baris
p = harga 1= tanaman baris, 2 = tanaman makanan ternak
hs = produktivitas lahan m
= penggunaan sarana produksi menurut intensitas pengelolaan 1= tanaman baris, 2 = tanaman hijauan pakan ternak
c = biaya produksi per satuan luas menurut jenis tanaman
w = biaya per unit upaya konservasi tanah
z = luas real penerapan konservasi lahan
T = horizon waktu
ρ = faktor diskonto dengan tingkat bunga tertentu
r = tingkat bunga
R{h[st]} = nilai akhir kedalaman tanah dept soil pada tahun ke-t
Dari model dinamik pada persamaan 4.31 dan 4.32 mencerminkan:
1. Hubungan fungsional, yakni menangkap dampak pilihan pengelolaan.
2. State variable, yaitu yang merefleksikan perubahan SD dan sifat tanah yang lain terhadap produktivitas.
3. Keterkaitan erosi dan produktivitas, yakni hubungan perubahan sifat tanah dengan produksi tanaman.
4. Fungsi produksi
tanaman, mempertimbangkan produktivitas tanaman dan variabel intensitas
pengelolaan. Adapun persamaan Hamiltonian dari model dinamika
dari persamaan 4.31 dan 4.32 adalah:
Hm, u, z, s, λ = up
1
f
1
[hs, m
1
] + 1–u p
2
f
2
[hs, m
2
] – c [um
1
+ 1–um
2
] – wz + λg[u,z]
4.33 Variabel
costate λt merupakan nilai marjinal yang diperoleh petani dari
tambahan satu unit SD pada tahun ke-t. Pendugaan besaran magnitude biaya on-site dari erosi diukur dengan nilai marjinal marginal value dari erosi yang
ditimbulkan oleh aktivitas rotasi tanaman u
i
; yakni sebesar manfaat benefit dari aktivitas. Besaran manfaat didekati dari selisih pendapatan antara aktivitas
rotasi yang menghasilkan erosi relatif tinggi p
1
f
1
-c.m
1
dan aktivitas rotasi yang menghasilkan erosi relatif rendah p
2
f
2
- c.m
2
pada persamaan 4.34a. Secara matematis hal tersebut ditunjukkan dengan prinsip memaksimalkan fungsi
Hamiltonian pada kondisi turunan pertama terhadap variabel kontrol aktivitas rotasi tanaman, yaitu persentase rotasi tanaman.
∂H∂u = 0 ⇒ [p
1
f
1
– cm
1
] – [p
2
f
2
– cm
2
] = – λ ∂g∂u
4.34a Dimana p
1
dan p
2
adalah harga aktivitas rotasi tanaman yang menghasilkan erosi relatif tinggi dan rendah; f
1
dan f
2
merupakan perubahan produktivitas karena perubahan persentase aktivitas rotasi tanaman; m
i
ialah intensitas input produksi; dan c merupakan harga per unit input.
Persamaan costate yang menjelaskan tingkat perubahan variabel costate atau nilai marjinal dari SD ditetapkan melalui persamaan 4.34b. Persamaan
tersebut adalah turunan pertama dari Hamiltonian terhadap kendala transisi motion equation soil depth, yakni kendala pada persamaan 4.32a.
λ
= r λ – ∂H∂s
Æ
λ
= r λ – [up
1
∂f
1
∂hs∂s+ 1–u p
2
∂f
2
∂hs∂s] 4.34b
Secara tidak langsung tingkat perubahan nilai marjinal SD
λ
tergantung pada tingkat bunga r, nilai variabel costate tahun berlaku
λt, harga komoditas p
1
p
2
, dan pengaruh produktivitas tanah terhadap produksi tanaman
[ ∂f∂hs], serta pengaruh SD terhadap produktivitas
[ ∂hs∂s]. Lebih lanjut diuraikan jika SD tidak berpengaruh
terhadap produktivitas tanah, [ ∂hs∂s = 0], sehingga laju
pertumbuhan atau perkembangan nilai marjinal SD sama dengan tingkat bunga [
λ
λ = r]. Artinya persentase perubahan
λt tidak dipengaruhi oleh SD, secara praktis akan dipengaruhi oleh faktor ekonomi, yaitu tingkat bunga.
Model optimasi dinamik untuk daerah lahan kering di Pulau Jawa yang telah dirumuskan oleh Barbier 1990
didasarkan pada fungsi produksi yang dipengaruhi oleh
dua elemen; yakni variabel SD dan input paket konservasi. Fungsi produksi yang diaplikasikan oleh Barbier 1990
adalah: qt = fz
i
t, xt
4.35
Dimana qt adalah produksi output; xt ialah ketebalan lapisan tanah soil depth, dan z
i
t merupakan vektor paket input dari pengelolaan konvensional maupun konservasi. Horizon waktu yang ditetapkan adalah tidak terbatas
infinite; formulasi fungsi tujuan dan kendala disajikan pada persamaan berikut: Fungsi tujuan:
Memaksimalkan
[ ]
dt z
c z
c x
z pf
e
T rt
∫
∞ →
−
− −
2 2
1 1
1
,
4.36 z
1
,z
2
Dengan kendala: 1. Kendala transisi soil depth:
x
= hz
1
,z
2
4.27a 2. Kendala kondisi awal soil depth:
x0 = x
o
4.27b Dimana r ialah tingkat bunga petani individu; p adalah harga output tanaman;
fz
i
,x merupakan fungsi produksi; z
1
dan z
2
berturut-turut ialah vektor input produktif dan vektor input untuk mencegah deplesi tanah; h adalah perubahan
SD; dan c
i
ialah biaya input ke-i. Perumusan fungsi tujuan dikembangkan dari postulat: bahwa rumah
tangga petani di daerah lahan kering akan memaksimalkan PV keuntungan
bersih melalui pilihan z
1
dan z
2
dengan kendala perubahan SD sebesar h dan kondisi awal ketebalan lapisan tanah X
o
.
Pendugaan biaya on-site erosi diperoleh dari fungsi kontinyu, yaitu dari turunan pertama formula Hamiltonian
yang berkenaan dengan penggunaan input produktif konvensional z
1
. Besaran pendugaan biaya on-site erosi dicerminkan oleh
λh
1
pada persamaan 4.38a. ∂H∂z
1
= pf
1
– c
1
+ λ h
1
= 0 4.38a
Persamaan 4.38a mengindikasikan bahwa nilai produk marjinal dari input produktif pf
1
harus sama dengan biaya total; dalam hal ini meliputi biaya persatuan input itu sendiri
c
1
dan biaya dalam bentuk kerugian dari erosi tanah λh
1
. Apabila dipandang dari sisi input pengendalian erosi
rehabilitasi tanah, didapatkan fenomena bahwa biaya rehabilitasi harus sama dengan nilai marjinal dari
rehabilitasi tanah persamaan 4.38b.
∂H∂z
1
= – c
2
+ λ h
2
= 0 4.38b
Dimana c
2
ialah biaya marjinal penerapan input rehabilitasi z
2
; dan λh
2
adalah tambahan nilai yang ditimbulkan oleh pengendalian erosi tanah. Variabel costate
λt dapat diinterpretasikan sebagai harga bayangan shadow price dari erosi tanah. Pada persamaan 4.38b menunjukkan bahwa biaya paket konservasi
tanah harus sama dengan tambahan nilai yang ditimbulkan oleh pengontrolan erosi tanah.
4.4. Aplikasi Pendugaan Biaya Off-Site Erosi
Pendugaan besarnya
biaya off-site erosi tanah terhadap pendangkalan
waduk di Jawa telah dilakukan oleh Magrath dan Arens 1989 dalam Barbier 1995. Analisis didasarkan pada pendekatan arus manfaat benefit yang
dikaitkan dengan volume yang tinggal di tampungan waduk. Dari Tabel 3 pada penyajian Barbier 1995 dapat diperoleh informasi hasil pendugaan biaya off-site
yang telah dilakukan oleh Magrath dan Arens. Dari sembilan waduk yang dikaji, didapatkan rata-rata volume sedimentasi
tahunan berkisar 24.8 juta m
3
. Volume tersebut dapat menurunkan kapasitas total berkisar 0.5 dan kapasitas tampungan mati 2.3. Pendugaan output
daya listrik tenaga air yang hilang sebesar antara 13.7 hingga 63 gigawatt jam GWh; serta mengurangi areal pengairan sebanyak 1.3 sampai 6.4 ribu ha.
Dengan asumsi rata-rata harga listrik sekitar Rp 70KWh, maka kehilangan daya listrik tenaga air bernilai antara Rp 958.40 juta hingga Rp 4,408.80 juta US 0.58
- 2.67 juta. Penilaian penurunan areal pengairan didasarkan pada perbedaan penerimaan bersih lahan dengan dan tanpa irigasi. Asumsi yang mendasari
adalah bahwa dulu areal irigasi dan sekarang tanpa irigasi. Perbedaan penerimaan bersih sebesar Rp 1.20 jutaha. Dengan demikian penurunan air
untuk irigasi tahunan bernilai sekitar Rp 1.73 juta hingga Rp 7.94 juta US 1.05 - 4.81 juta. Dengan demikian, estimasi nilai total kapital kombinasi kehilangan
daya listrik tenaga air dan irigasi tahunan adalah antara Rp 26.90 juta sampai Rp 123.50 juta US16.2-74.8 juta.
Walaupun telah didapatkan deskripsi pendugaan biaya off-site, namun hasil tersebut tidak dapat dipergunakan untuk menentukan hubungan yang tepat
antara kapasitas tampungan aktif tampungan efektif, tampungan mati dan kapasitas total waduk, serta dampak peningkatan sedimen pada hubungan
tersebut Barbier 1995.
4.5. Aplikasi Model