iii Karena f ’x 0 untuk semua x dalam a,c, maka
menurut Teorema Kemonotonan f turun pada a,c]. Menurut teorema yang sama, karena f ’x 0 untuk
semua x dalam [c,b, maka f juga turun pada [c,b. Sehingga, tidak terjadi f x f c untuk semua x
dalam a,b. Jadi fc bukan minimum lokal. Dan karena f ’x 0 untuk semua x dalam a,c,
maka menurut Teorema Kemonotonan f naik pada a,c]. Menurut teorema yang sama, karena f ’x 0
semua x dalam [c,b, maka f juga naik pada [c,b. Sehingga, tidak terjadi f x f c untuk semua x
dalam a,b. Jadi fc bukan maksimum lokal.
4. Penggambaran Grafik Canggih Polinom
Polinom derajat 1 atau 2 sudah tidak asing lagi untuk digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil untuk digambarkan.
Jika terdapat derajat yang cukup ukurannya katakanlah 3 sampai 6, kalkulus bisa membantu kita untuk menggambarkan. Perhatikan
contoh di bawah ini. 1
Contoh : Sketsakan grafik �� =
3 �
5
−20� 32
3
Penyelesaian : karena f-x = -fx, f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafikya simetri terhadap titik asal. Dengan
menetapkan fx=0, kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan ±
�20 3
� ≈ ±2,6. Kita dapat melangkah sejauh ini tanpa kalkulus. Bilamana kita differensialkan f, kita peroleh
�′� = 15
�
4
− 60� 32
2
= 15
�
2
�
2
− 4 32
= 15
�
2
� − 2� + 2 32
Diperoleh x
1
= -2, x
2
= 0, x
3
= 2. • Untuk x=-2, y = 2 sehingga diperoleh titik -2,2
• Untuk x = 0, y = 0 sehingga diperoleh titik 0,0 • Untuk x = 2, y = -2 sehingga diperoleh titik 2, -2
Akan diselidiki naik turunnya grafik fx dan kecekungannya. Karena f ’ x 0 pada -
∞,-2 dan 2, ∞ maka f naik pada interval ini. Karena f ’ x 0 pada -2,0 dan 0,2 maka f
turun pada interval ini. Dengan mendifferensialkan kembali diperoleh
�
′′
� = 60
�
3
− 120� 32
= 15
�
3
− 30� 8
= 15
��� − √2��� + √2� 32
. Untuk f “ x 0 diperoleh himpunan penyelesaian
−√2 x 0 dan x
√2, menurut teorema kecekungan, maka f cekung ke atas pada
−√2, 0 dan √2 , ∞. Untuk f “ x 0 diperoleh himpunan penyelesaian
� −√2 dan 0 � √2, menurut teorema kecekungan, maka f cekung ke bawah pada
−∞, −√2 dan 0, √2 . Dengan demikian diperoleh titik-titik balik
�−√2,
7 √2
8
� ≈ −1,4; 1,2, 0,0, ��� �√2,
−7√2 8
� ≈ 1,4;
−1,2.
Pola yang sudah kita temukan melalui uji turunan pertama kita pergunakan untuk memplot di mana kurva akan menaik dan
menurun beserta titik maksimum maupun minimum lokalnya. Uji turunan kedua mempertegas bentuk kurva cekung ke atas dan atau
cekung ke bawah dan membantu kita untuk memplot dengan lebih detail yakni dengan mengetahui keberadaan titik balik.
Gb. 2.9: Menentukan sketsa
�� =
3 �
5
−20� 32
3
dengan penggunaan turunan.
-2 2
+ ++ + + +
- - - - f’
- - - -
√-2 √2
+ + + - - - -
f’’ - - - -
+ + +
Gb. 2.8
:
Garis bilangan �′� =
15 �
4
−60� 32
2
dan �
′′
� =
60 �
3
−120� 32
.
