Kemonotonan dan Kecekungan Penggunaan Turunan
Bukti : Andaikan fc nilai maksimum f pada I dimana c bukan titik ujung maupun titik singular. Akan cukup untuk
memperlihatkan bahwa c adalah titik stasioner. f
c nilai maksimum maka fx ≤ fc untuk semua x dalam I,
yaitu: ≤
− c f
x f
Jadi, jika x c sehingga x-c 0, maka ≥
− −
c x
c f
x f
............1 sedangkan untuk x c, maka
≤ −
− c
x c
f x
f .............2
Tetapi f’c ada karena c bukan titik singular sehingga ketika x
c
+
dalam 1 dan x c
-
dalam 2 diperoleh masing- masing f’c ≥ 0 dan f‘c ≤ 0. Perhatikan bahwa f’c ≥ 0 dan
f‘c ≤ 0, dapat disimpulkan f’c = 0. Titik ujung, titik stasioner dan titik singular merupakan
titik-titik kunci dari teori maks-min. Pada titik-titik ini nilai ekstrim seringkali terjadi.
i ii
iii titik-titik ujung
titik-titik stasioner titik singular
maks
min maks
min maks
min
Gb 2.5 : Macam-macam titik kritis: i, ii, iii.
Sebarang titik dalam dalam daerah asal fungsi f yang termasuk
salah satu dari tiga tipe ini disebut sebuah titik kritis.
Bukti Teorema Nilai Rata-rata Perhatikan gambar 2.10.
s x= fx – gx ..........1
Persamaan y = gx melalui a, fa, b, fb. Gradien gx adalah [fb-fab-a]. Maka persamaan gx diperoleh:
Gb 2.10 : Sketsa grafik fx, gx dan sx dalam
pembuktian Teorema Nilai Rata-rata.
�� − �� = �� − ��
� − � � − � … . 2
�� = �� + �� − ��
� − � � − � … . 3
Melalui persamaan 1 dan 3 dapat kita peroleh bentuk lain dari persamaan sx = fx – gx, yaitu :
�� = �� − �� − �� − ��
� − � � − � … . 4
Untuk x = a, persamaan 4 akan menjadi
a, fa b, fb
y = fx
s x
y = gx
b a
x x
y
�� = �� − �� −
��−�� �−�
� − � = 0 Untuk x = b, persamaan 4 akan menjadi
�� = �� − �� − �� − ��
� − � � − � = 0
Perhatikan bahwa sa = sb = 0 dan untuk x dalam a,b berlaku
�′� = �′� − �� − ��
� − �
Akan dibuktikan bahwa ada bilangan c diantara a,b sedemikian sehingga s’c = 0 atau
�′� = �′� − �� − ��
� − � 0 =
�′� − �� − ��
� − � �′� =
�� − �� � − �
. S
kontinu pada [a,b], karena merupakan selisih dua fungsi kontinu. Menurut Teorema Eksistensi Maks-Min, S memiliki baik nilai maksimum
maupun minimum pada [a,b]. Akibatnya s’x = 0 untuk semua x dalam a,b.
Jika salah satu nilai tersebut maksimum atau minimum bukan nol, maka nilai tersebut dicapai pada titik c karena
s a = sb = 0. Menurut
Teorema Titik Kritis s
’c = 0.
c. Kemonotonan
1 Definisi menurut PurcellVarberg 1987:193
Andaikan f terdefinisi pada selang I terbuka, tertutup, atau tak satupun. Kita katakan bahwa :
a
f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang
bilangan x
1
dan x
2
dalam I, x
1
x
2
= fx
1
fx
2
b
f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang
bilangan x
1
dan x
2
dalam I, x
1
x
2
= fx
1
fx
2
c
f adalah monoton murni pada I jika ia naik pada I
atau turun pada I. 2
Turunan Pertama dan Kemonotonan Kembali memperhatikan Teorema Nilai Rata-rata yang
sudah dibahas terdahulu. Kita andaikan bahwa f kontinu pada I dan bahwa f’x 0 di setiap titik x dalam I. Ambil
sembarang titik x
1
dan x
2
dengan x
1
x
2
. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata yang ditetapkan pada selang [x
1
, x
2
], terdapat sebuah bilangan c dalam x
1
, x
2
yang memenuhi :
f x
2
– fx
1
= f ’c x
2
– x
1
Karena f ’x 0 maka diperoleh
f x
2
fx
1
. Sesuai
dengan definisi dapat disimpulkan ketika f’x 0 maka fx naik
. Sedangkan andaikan f ’x 0 di setiap titik dalam I.
Ambil sembarang titik titik x
1
dan x
2
dengan x
1
x
2
. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata yang ditetapkan pada
selang [x
1
, x
2
], terdapat sebuah bilangan c dalam x
1
, x
2
yang memenuhi : f
x
2
– fx
1
= f ’c x
2
– x
1
Karena f ’x 0 maka diperoleh
f x
2
fx
1
. Sesuai
dengan definisi dapat disimpulkan ketika f ’x 0 maka fx
turun. Dengan ini dapat ditetapkan Teorema Kemonotonan
PurcellVarberg, 1987:194 : Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam
dari I. a
Jika f ’x 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.
b Jika f ’x 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f
turun pada I.
Contoh: Jika fx = 2x
3
-3x
2
-12x+7, cari di mana f naik dan di mana f turun.
Penyelesaian: f ’x = 6x
2
-6x-12 = 6x+1x-2 f
’x 0 = f turun, berarti untuk mengetahui di mana f turun maka 6x+1x-2 0 dan 6x+1x-2 0 perlu
dicari. Dengan mempergunakan prosedur penyelesaian pertidaksamaan diperoleh :
f ’x 0 = f turun
f ’x 0 = f naik
Gb. 2.6 : Garis bilangan f ’x = 6x
2
-6x-12.
Titik-titik pemisah adalah -1 dan 2 yang membagi sumbu –x atas 3 selang, yaitu -
∞, -1, -1,2, dan 2,∞. Dengan mempergunakan titik-titik uji -2, 0, 3 dapat dilihat
bahwa f ’x 0 pada x ≤ -1 dan x ≥ 2 dan f ’x 0 pada -1
≤ x ≤ 2. Berdasarkan teorema kemonotonan dapat disimpulkan bahwa f naik pada -
∞, -1] dan [2,∞; f turun pada [-1,2].
3 Turunan Kedua dan Kecekungan
PurcellVarberg 1987:196 menyebutkan dalam bukunya tentang turunan kedua dan kecekungan sebagai
berikut : a
Definisi : Andaikan f terdeferensial pada selang terbuka I
= a,b. Jika f ’ naik pada I, f dan grafiknya cekung ke atas di sana; jika f ’ turun pada I, f cekung ke bawah
pada I. b
Teorema Kecekungan : Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang terbuka a,b.
i. Jika f ”x 0 untuk semua x dalam a,b, maka f
cekung ke atas pada a,b. ii.
Jika f ”x 0 untuk semua x dalam a,b, maka f cekung ke bawah pada a,b.
-1 2
+ ++ + + +
- - - - f ‘
Contoh : Di mana fx = 13x
3
-x
2
-3x+4 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah?
Penyelesaian: f
’x = x
2
-2x-3= x+1 x-3 f
”x = 2x-2 = 2x-1. Akan diselidiki di mana f naik f’x0, f turun f’x0, cekung ke atas f”x0, cekung
ke bawah f”x0. Dengan mempergunakan penyelesaian pertidaksamaan diperoleh:
Gb. 2.7: Garis bilangan f ’x = x
2
-2x-3 dan f ”x = 2x-2.
Berdasarkan teorema kemonotonan, f naik pada - ∞, -1] dan
[3, ∞; f turun pada [-1,3]; cekung ke atas pada [1, ∞; cekung ke bawah pada -
∞,1]. 4
Titik Balik PurcellVarberg 1987: 198 menyebutkan
penjelasan mengenai titik balik seperti berikut ini : “Andaikan f kontinu di c. Kita sebut c,fc
suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada
sisi lainnya dari c.” Pada buku Kalkulus karangan AyresMendelson
2006:84, istilah titik balik disebut dengan titik belok inflection point.