Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru matematika di SMA Negeri 1 Klaten terkait pengetahuan guru tentang konsepsi dan miskonsepsi yang dimiliki oleh siswa dalam pembelajaran materi fungsi naik, fungsi turun, dan titik stasioner.

(1)

PEDAGO DI SM TENTA SISWA OGICAL C MA NEGE ANG KON A DALAM P

CONTENT K ERI 1 KLA

SEPSI DAN PEMBELA TURUN, D KNOWLED TEN TERK N MISKON AJARAN M DAN TITI DGE (PCK) KAIT PEN NSEPSI YA MATERI F K STASIO

) GURU M NGETAHU ANG DIMI UNGSI NA ONER MATEMATI UAN GURU ILIKI OLE AIK, FUNG IKA U EH GSI Skripsi

Diaajukan Untuuk Memenuuhi Salah Saatu Syarat Memperoleh Gelar Saarjana Pendiidikan Program Studi Pendiddikan Matemmatika

Oleh JURUSAN PROGR N PENDIDI FAKULT FRANS N SIDHA SID : RAM STUD IKAN MAT TAS KEGU UNIVERS Y i NIM : 0814

DHARA HAADI 414030

DI PENDIDDIKAN MAATEMATIKA

TEMATIKAA DAN ILMUU PENGETTAHUAN ALLAM

URUAN DAAN ILMU PENDIDIKKAN SITAS SANNATA DHAARMA

YOGYAKAARTA 20122

(2)

(3)

iii

(4)

PInITTYATAA}T KEASLIAN KARYA \

Saya menyuakm

dryn *smggr@a

bahwa Slci!tsi _{),ang saya}hrlis ini tidak

e€mffi

kE aB

eu

bqgiffi

kys sreg

l*rn, kccrali yang t€t& disehdran dalae lcutiparr dan daftar

prska,

seUag*mm layfuya krtre ihiafu.

Yoet*arta,

gSeWUf"+g

hrlis,

Flmi&a8i&ara

Hadi

(5)

“

_Dan

Allah

mengeluarkan kamu dari perut ibumu dalam

keadaan tidak mengetahui sesuatu pun, dan

Dia

memberimu

pendengaran, penglihatan, dan hati nurani agar kamu

bersyukur.

”

(Q.S An-Nahl :78)

Sesungguhnya semangat untuk terus berbenah ketidaktahuan ini hanya dari‐MU Wahai Allah…

Segala puji bagi MU

“HANYA ADA SATU KEPASTIAN, TENTANG HIDUP. IA ADALAH KEMENANGAN.

KEMENANGAN BAGI TAK SEMBARANG ORANG.

(6)

ORANGG –ORANG IITU ADALAAH ORANGG-ORANG YAANG MEMIILIKI IMANN.”

Sebuah tapal Semoga tidak ataupun kert Melainkan m Mewajahkan

batas hitam pu k hanya terhen

as usang di sud menjadi energi y kebajikan, men

utih sejarah ya ti sebagai ongg dut gelap guda yang akan tetap nebarkan manf

vi ang telah teruki

gokan ilmu di k ang.

p tersimpan, h faat bagi sekita

untuk ir.

kolong pikiran

hanya akan beru ar.

k bapak fx.

Juga Alm n

ubah bentuk d

sudira & ibu

an tidak akan

mamaterku

terima kasih

u sri setyan hilang.

ingsih

, sanata dhharma

(7)

ABSTRAK

Fransidha Sidhara Hadi, 081414030, 2012. Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru Matematika di SMA Negeri 1 Klaten terkait Pengetahuan Guru tentang Konsepsi dan Miskonsepsi yang Dimiliki oleh Siswa dalam Pembelajaran Materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian dalam skripsi ini bertujuan untuk mengungkap pengetahuan guru terkait pengetahuan guru tentang konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran matematika di SMA Negeri 1 Klaten.

Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif deskriptif. Subjek penelitian adalah guru matematika kelas XI IPA 2 SMA N 1 Klaten dalam pembelajaran Kompetensi Dasar 3.4: Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah dengan materi pokok Turunan dan sub-pokok materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner. Pengumpulan data dilakukan dengan wawancara dengan guru dan siswa, serta observasi proses pembelajaran di kelas yang direkam dalam bentuk video. Analisis data dilakukan dengan langkah-langkah, yaitu : (i) transkripsi data, (ii) reduksi data, (iii) kategorisasi data, (iv) penarikan kesimpulan.

Hasil penelitian berupa PCK guru matematika terkait konsepsi dan miskonsepsi

siswa dalam pembelajaran Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Tiitk Stasioner. PCK dalam

penelitian ini terwujud dalam pengetahuan guru terkait konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner. Guru memiliki pengetahuan tentang mana saja bagian materi yang dimengerti dengan baik dan tidak dimengerti dengan baik oleh siswa. Melalui analisis pengenalan guru terhadap siswanya diperoleh kesimpulan bahwa guru cenderung mengenali siswa-siswinya dan melihat situasi kelas secara global, beberapa siswa yang dikenali dengan baik adalah siswa-siswi yang tergolong aktif dalam pembelajaran. Guru memperoleh pengetahuan mengenai siswanya kebanyakan ketika proses pembelajaran berlangsung, sebagian melalui rekan guru lain, dan selain itu guru mengenali konsepsi siswa ketika mengoreksi ulangan/test siswa.

PCK guru tentang konsepsi siswa yang tergolong mantap antara lain adalah pengetahuan

guru bahwa : (i) semua siswa sudah mampu menentukan turunan fungsi; (ii) semua siswa

mampu menentukan syarat fungsi naik (f ‘(x) > 0), fungsi turun (f ‘(x) < 0); (iii) ada siswa

yang mampu mengenali bahwa sifat-sifat/ karakteristik suatu fungsi dapat ditentukan melalui turunan, tidak ada siswa yang sangat kurang dalam mengerti bahwa titik stasioner

memiliki syarat f ‘(x) = 0, tidak ada siswa yang sangat kurang dalam menentukan titik

koordinat stasioner dengan benar, semua siswa sudah tahu tentang menguji titik stasioner dengan turunan pertama ataupun kedua untuk diketahui jenisnya meski terkendala pada prosedur hitungan; (iv) ada siswa yang sempat keliru dalam menyebut titik ekstrim; (v)

semua siswa sudah mengerti syarat titik belok yaitu f “(x) = 0; guru mengetahui ada hal

yang belum dipahami tentang titik belok; (vi) semua siswa sudah bisa menggambar grafik.

PCK guru tentang konsepsi siswa yang tidak mantap antara lain adalah pengetahuan guru bahwa : (i) semua siswa sudah mengerti dengan baik bahwa titik stasioner bisa berupa titik ekstrim, hanya ada satu dua siswa yang bisa memahami definisi formal pengertian titik maksimum dan minimum.

vii

(8)

viii

umumnya keliru dalam menentukan titik stasioner (karena salah mensubstitusi nilai x);

pernah ada siswa yang hanya menyebutkan x hasil hitungan f‘(x) =0 saja ketika ditanya

“maksimum di mana?”; (iii) kebanyakan para siswanya kurang memahami bahwa titik stasioner itu bisa menjadi titik belok, tidak hanya titik ekstrim; (iv) kebanyakan para siswanya sempat kesulitan pada uji turunan pertama (hanya ada beberapa siswa yang baik dalam hal ini); (v) guru mengarahkan siswa yang keliru menentukan titik potong grafik

dengan sumbu y.

Dalam penelitian kali ini tidak ditemukan adanya pengetahuan guru tentang miskonsepsi siswa yang tidak mantap.

Kata kunci : Pedagogical Content Knowledge (PCK), konsepsi siswa, miskonsepsi siswa,

fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner

(9)

ABSTRACT

Fransidha Sidhara Hadi, 081414030, 2012. The Pedagogical Content Knowledge (PCK) of Mathematics Teacher at SMA Negeri 1 Klaten Related to Her Knowledge on Students’ Conception and Misconception in the Learning Process of Increasing Functions, Decreasing Functions, and Stationery Point Learning Materials. Undergraduate Thesis. Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and Science Education, Teachers Training and Education Faculty, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This research in this undergraduate thesis was aimed to reveal the teacher’s knowledge related to students’ conception and misconception in the mathematics learning process in SMA Negeri 1 Klaten.

This was a descriptive-qualitative research. The subject of this research was the mathematics teacher of class XI IPA 2 in SMA Negeri 1 Klaten in basic competence 3.4: Using derivative to decide characteristics of an algebra function and to solve problems with main topic of Derivative and sub-topic of Increasing Functions, Decreasing Functions, and Stationery Point. Data gathering was done by interviewing the teacher and the students, also by observing the learning process in class which was recorded in video. Data analysis was done by the following steps, namely: (i) data transcription, (ii) data reduction, (iii) data categorization, (iv) conclusion.

Research result showed the teacher’s PCK on students’ conception and misconception in the learning process of Increasing Functions, Decreasing Functions, and Stationery Point. PCK in this research was showed in the form of the teacher’s knowledge about the students’ conception and misconception in the learning process of Increasing Functions, Decreasing Functions, and Stationery Point. The teacher had the knowledge about the concepts which the students understand well and the concepts which they do not understand well. From the analysis of teacher’s recognition towards her students, it could be concluded that the teacher tended to know her students and saw the class’ situation globally; some students she knew well were the active students in the learning process. The teacher had knowledge about her students mostly during the teaching-learning process, besides the teacher recognized the students’ conception from correcting their paper tests and also from the discussion with the other teachers.

The teacher’s PCK about students’ conception which was sound consisted of the following : (i) all students were able to decide the derivative of function; (ii) all students were able to decide the condition of increasing function (f ‘(x) > 0), decreasing function (f‘(x) < 0); (iii) some students were able to recognize that the characteristics of certain function could be decided using derivative, none of the students had less understanding about the f ‘(x) = 0 condition for a stationery point, none of the students had less understanding in deciding the coordinate of stationery point correctly, all students were able to test the stationery point using first or second derivative to know the type although they had problems with the calculation procedure; (iv) some students were wrong in mentioning the extreme point; (v) all students had understood the condition of inflection point, f “(x) = 0; the teacher noticed that some things were still not understood by the students concerning the inflection point; (vi) all students were able to draw graphs. The teacher’s PCK about students’ conception which was not sound consisted of: (i) all students understood well that a stationery point could be an extreme point, only one or two students understood the formal definition of maximum point and minimum point.

The teacher also had the knowledge about students’ misconception. The teacher’s PCK that was sound about students’ misconception consisted of: (i) the teacher noticed students’ misconception in deciding the interval of increasing functions and decreasing

(10)

functions procedure; (ii) students were commonly wrong in deciding the stationery point (because they were wrong in substituting the x value); at a particular time, there were some students mentioned only the x (the absis) from the calculation result of f ‘(x) =0 when they was asked, “where is the maximum point?”; (iii) most students did not understand well that stationery point could be an inflection point, not just an extreme point; (iv) most students seemed troubled with the first derivative test (only few students did it well); (v) the teacher guided the students who were wrong in deciding the intersection point of the graph with the y axis.

In this research, it was not found the teachers’ knowledge of students’ misconception that was not sound.

Keywords: Pedagogical content knowledge (PCK), students’ conception, students’ misconception, increasing function, decreasing function, stationery point.

(11)

LEMBAR PERI\TYATAAII PERSETUJUAI\I

PUBLIKASI KARYA

ILMIAH

T]NTUK KEPENTINGAI\I AKADEMIS ,I

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Narna

: Fransidha Sidhara Hadi

Nomor Matrasiswa : 081414030

Demi pengembangan ilmu pengetahuan" saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

PEDAGOGICAL CONTENT KI,IOWLEDGE (PCK) GURU MATEMATIKA DI SMA NEGERI

I

KLATEN TERKAIT PENGETAHUA}I GURU TENTANG KONSEPSI DAN MISKONSEPSI YA}.IG DIMILIKI OLEH SISWA DALAM PEMBELAJARAN MATERI FUNGSI NAtrq FI.JNGSI TURUN, DA}.I TITIK STASIONER

Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universias Sanata Dharma hak untuk menyimpan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam

bentuk

pangkalan

datq

me,lrdistibusikannya

secara

terbatas,

dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akadernis tanpa perlu meminta rjin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pemyataan ini saya buat dengan

Dibuat di Yogyakarta

Padatanggal: tg Desembc zotz

Yang menyatakan

M

(Fransidha Sidhara Hadi)

(12)

xii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Semoga keselamatan dan kesejahteraan selalu terlimpah bagi kita semua.

Segala puji bagi Allah S.W.T atas berkah dan ridhonya, skripsi dengan judul “Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru Matematika di SMA Negeri 1 Klaten terkait Pengetahuan Guru tentang Konsepsi dan Miskonsepsi yang dimiliki oleh Siswa dalam Pembelajaran Materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner” dapat terselesaikan dengan baik. Penyusunan skripsi ini merupakan salah satu syarat untuk perolehan gelar sarjana pada program studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis juga ingin menghaturkan terima kasih kepada:

1. Bapak St. Suwarsono selaku dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing dan mendukung penulis dengan sabar dalam penyusunan skripsi ini dari awal hingga akhir.

2. Bapak M. Andy Rudhito selaku Kaprodi Pendidikan Matematika segenap staff Prodi Pendidikan Matematika atas dukungan yang telah diberikan. 3. Ibu Tri Suwarni, selaku guru mata pelajaran Matematika dan Bapak

Suharjo selaku Wakasek Kurikulum SMA Negeri 1 Klaten atas pengorbanan waktu, perhatian dan dukungan demi terlaksananya penelitian.

(13)

xiii

4. Bapak Tantyo Hatmono, selaku kepala Sekolah SMA Negeri 1 Klaten yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk melaksanakan kegiatan penelitian.

5. Keluarga, Bapak, Mamah, Mas Alexander Frandy, Dek Ririn, Dek Pipit atas dorongan dan pengertiannya, lahir dan batin.

6. Teman-teman Forum Keluarga Muslim atas inspirasi semangat kebaikannya, kekokohan jiwa, dan kelapangan hati dalam menjalani hidup.

7. Para rekan BEM USD 2011-2012 atas kerjasama yang tak pernah terbayangkan, salut  dan segenap adik-adik HMPS Pendidikan Matematika USD angkatan perdana, semoga HMPS bisa terus ‘menyala’ untuk prodi tercinta.

8. Dita, Sinta, Wiwik, Titi, Ambar, Linda, yang telah berbagi rasa keluarga selama jauh dari orang tua dan segenap rekan-rekan Prodi Pendidikan Matematika yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu, atas diskusinya, saran dan dorongan moralnya dalam saling menyemangati selama berproses di Prodi hingga saat ini.

Semoga karya tulis ini dapat berguna dan menambah wawasan bagi pembacanya. Karya tulis ini tidaklah sempurna, untuk itu, kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan.

Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Yogyakarta, 17 Desember 2012 Penulis

(14)

xiv DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... iv

HALAMAN MOTTO ... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... ix

PERNYATAAN PERSETUJUAN ... xi

KATA PENGANTAR ... xii

DAFTAR ISI ... xiv

DAFTAR TABEL ... xiv

DAFTAR GAMBAR ... xvii

DAFTAR LAMPIRAN ... xviii

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Identifikasi Masalah ... 4

C. Pembatasan Masalah ... 5

D. Rumusan Masalah ... 5

E. Tujuan Penelitian ... 6

F. Batasan Istilah ... 6

G. Manfaat Penelitian ... 8

BAB II KAJIAN TEORI A. Pedagogical Content Knowledge (PCK) ... 10

B. Konsepsi Siswa ... 19

C. Miskonsepsi Siswa ... 21

D. Penggunaan Turunan ... 23

1. Maksimum dan Minimum ... 23

2. Kemonotonan dan Kecekungan ... 25

3. Maksimum Lokal dan Minimum Lokal ... 33

4. Penggambaran Grafik Canggih (Polinom) ... 35

E. Kerangka Berpikir ... 38

BAB III METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian ... 40

B. Subyek Penelitian ... 40

C. Tempat dan Waktu Penelitian ... 41

D. Metode Pengumpulan Data dan Instrumen Penelitian ... 41

E. Validitas Data ... 49

F. Metode Analisis Data ... 50

BAB IV PELAKSANAAN PENELITIAN DAN ANALISIS DATA A. Pelaksanaan Penelitian di Lapangan ... 56

B. Analisis Data ... 64

1. PCK Guru Terkait Konsepsi Siswa ... 64

(15)

3. Pengenalan Guru Terhadap Siswa ... 125

4. Sumber Pengetahuan Guru Berasal ... 131

C. Pembahasan Hasil Penelitian ... 132

BAB V PENUTUP A. Kesimpulan ... 141

B. Kelebihan dan Kekurangan Penelitian ... 147

C. Saran ... 147

DAFTAR PUSTAKA ... 149

(16)

xvi

DAFTAR TABEL

Tabel Keterangan Judul Halaman

2.1 Pengembangan kategorisasi PCK oleh Baker,dkk (2006 : 299). 12 2.2 Tabel kategorisasi PCK dari Baker,dkk. 17-19 2.3 Sebab utama dan sebab khusus miskonsepsi siswa. 21-22 2.4 Kerangka berpikir penelitian PCK guru tentang konsepsi siswa. 39 3.1 Kisi-kisi observasi proses pembelajaran-pengamatan guru. 43 3.2 Kisi-kisi wawancara awal dengan guru. 47 3.3 Kisi-kisi wawancara lanjutan dengan guru. 48-49 4.1 PCK-konsepsi menentukan turunan fungsi. 67 4.2 PCK-konsepsi materi fungsi naik dan fungsi turun. 71 4.3 PCK-konsepsi titik stasioner. 89-90 4.4 PCK-konsepsi titik ekstrim. 96-97

4.5 PCK-konsepsi titik belok. 98

4.6 PCK-konsepsi pengetahuan sketsa grafik. 101 4.7 PCK-miskonsepsi fungsi naik dan fungsi turun. 106 4.8 PCK-miskonsepsi titik stasioner. 111 4.9 PCK-miskonsepsi titik belok. 115 4.10 PCK-miskonsepsi uji turunan pertama. 119 4.11 PCK-miskonsepsi pengetahuan sketsa grafik. 121 4.12 Kategorisasi data awal penelitian. 133-136

5.1 PCK guru terkait konsepsi dan miskonsepsi siswa. 122-

125,143-146 6.1 Macam titik stasioner beserta syarat prosedur hitungannya. 264

DAFTAR GAMBAR

Gambar Keterangan Judul Halaman

2.1 Fungsi f dengan domain S. 23 2.2 Grafik fungsi y = f(x) =1/x. 24 2.3 Grafik fungsi    − = 2 ) ( x x x g y . 25

(17)

xvii

Gambar Keterangan Judul Halaman

2.5 Macam-macam Titik Kritis. 27 2.6 Garis bilangan f ’(x) = 6x2-6x-12. 32 2.7 Garis bilangan f ’(x) = x2-2x-3x dan f ’’(x) = 2x-2. 33 2.8

Garis bilangan �′(�) =15�4−60�

32 2

dan

�′′₍_�_{) =}60�3−120�

32 .

2.9

Menentukan sketsa �(�) =3�5−20�

32 3

dengan penggunaan turunan.

4.1 Ilustrasi fungsi naik & fungsi turun oleh guru. 68, 271 4.2 Kekeliruan hitungan dari ide siswa(kiri) dan koreksi

hitungan dari guru (kanan).

118 4.3 Guru menunjuk kembali titik potong dengan sumbu y

sambil berkata : “Lho kok 2? Sini kok?”.

121, 272 4.4 S14 menyadari kekeliruannya sendiri saat menentukan

titik stasioner f (x) = 2x3-3x2-12x+7.

130 4.5 Perhitungan S14 dalam menentukan ordinat titik stasioner

dari 2x3+3x2-72x+5.

130 4.6 Kategorisasi Chick et al(2006) yang diacu oleh peneliti

(lihat selengkapnya pada tabel 2.1).

132 4.7 PCK termasuk pengertian guru tentang materi spesifik

apa yang mudah dan sulit bagi siswa : konsepsi dan miskonsepsi siswa dari berbagai latar belakang dan usia (Shulman :1986).

133

6.1 Illustrasi fungsi naik, fungsi turun, dan titik stasioner oleh guru.

260 6.2 Fungsi f(x) = x2-4x+1. 262

6.3 A titik maksimum. 262

6.4 B titik minimum. 262

6.5 C dan D titik belok. 263

6.6 Sketsa letak titik ekstrim dalam interval p < x < r. 263 6.7 Uji f ’ dari f(x) =x2-4x+1. 265 6.8 Uji f ‘ dari f(x) = 2x3+3x2-72x+5. 267 6.9 Uji f ‘ dari f(x) = x3-8. 268 6.10 Guru sedang mengingatkan kembali materi dengan

menggunakan rumusan kunci.

277 6.11 Ketika guru menerangkan menggambar sket grafik f(x) =

x2-4x+1.

281

6.12 Contoh soal oleh guru. 286

6.13 Pekerjaan M di whiteboard. 290 WS_TS.1 Hasil hitungan f(x) = 2x3-3x2-12x+7 yang didiskusikan 81, 257

(18)

xviii

Gambar Keterangan Judul Halaman

siswa Y dengan peneliti.

W.III.S14.1 S14 sempat keliru mengunakan prosedur penyelesaian pertidaksaman dalam menentukan naik turunnya f(x)= x2 -4x+1.

103, 258

W.III.S14.2 S14 menyelesaikan permasalahan menentukan naik turunnya fungsif(x)= x2-4x+1.

104, 259 W.III.S14.3 Hasil akhir pekerjaan S14 dalam menentukan naik

turunnya fungsi f(x)= x2-4x+1.

105 K.I.1 Guru menuliskan hitungan untuk menentukan sketsa

grafik.

152 K.I.2 Operasi hitungan uji f ’(x) awal (yang keliru). 156 K.I.3 Operasi hitungan uji f ’(x) yang sudah dibetulkan guru. 158, 275 K.II.1 Guru mengarahkan siswa untuk menentukan titik

stasioner.

160

K.II.2 Catatan milik B. 165

K.II.3 Hitungan yang ditanyakan M. 165 K.III.1 Guru menebalkan garis untuk mempertegas penjelasan

tentang interval.

171, 288 K.III.2 Kurva cekung ke bawah yang dibuat guru. 173 K.III.3 Guru usai memperagakan sketsa grafik fungsi x2-9=0 174 K.III.4 Guru memperagakan bagaimana interval berlaku pada

sketsa grafik x2-9=0.

175 K.III.5 Soal yang diberikan kepada siswa. 176 K.IV.1 Guru mendemonstrasikan prosedur hitungan uji f ’(x). 185 K.IV.2 Pekerjaan M yang dikoreksi guru. 190 WS_M.1 Pemfaktoran f(x) = 2x3+3x2-72x+5 256

DAFTAR LAMPIRAN

Keterangan Halaman

Lampiran 1 Transkrip Data Observasi Kelas 152

Lampiran 2 Transkrip Data Wawancara dengan Guru 204

Lampiran 3 Transkrip Data Wawancara dengan Siswa 254

Lampiran 4 Ringkasan Materi Pembelajaran di Kelas 260

Lampiran 5 Deskripsi Pembelajaran di Kelas 269

Lampiran 6 Daftar Nilai Turunan dari Guru 294

Lampiran 7 Lembar Instrumen Wawancara Pengetahuan Guru Tentang Konsepsi Siswa

295

(19)

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Generasi muda merupakan tumpuan harapan bangsa. Merekalah harapan bagi suatu bangsa untuk dapat meningkatkan taraf peradaban menjadi lebih baik. Oleh karena itu, diupayakanlah pendidikan bagi generasi muda melalui sebuah sistem yang konkretnya kita lihat sebagai institusi-institusi pendidikan –baik formal maupun non formal- sebagai tempat persemaian embrio-embrio penerus bangsa yang tangguh. Dengan institusi ini potensi-potensi sumber daya manusia terus diupayakan menuju peradaban yang lebih baik.

Berbicara tentang pendidikan, tidak asing jika kita berbicara tentang guru. Sudah menjadi rahasia umum jika guru memainkan peran penting dalam dunia pendidikan. Guru merupakan ujung tombak dalam mencerdaskan anak bangsa (Pujiono, 2012). Berkaitan dengan hal ini tugas yang dihadapi oleh seorang guru tidaklah sederhana.

Guru, selain menguasai materi pelajaran yang menjadi bidang spesialisasi, juga diharapkan memiliki keterampilan pedagogis. Tidak hanya itu, subjek yang dihadapi guru adalah para siswa. Sebagai masing-masing individu, para siswa ini tentu saja memiliki cara berpikir serta latar belakang kehidupan sosial dan budaya yang berbeda-beda. Hill, Ball, dan Schilling (2008:372) mengungkapkan bahwa sudah menjadi kesepakatan bersama bahwa guru matematika yang efektif adalah guru yang memiliki

(20)

pengetahuan khusus tentang cara berpikir siswa dan ide-ide siswa dalam matematika.

Sejalan dengan pengalaman penulis pada saat melaksanakan program pengalaman lapangan. Menciptakan paduan yang harmonis antara kemampuan secara materi dengan kemampuan menyajikan materi di dalam kelas bukanlah perkara yang mudah, apalagi yang berkaitan dengan siswa. Ketika penulis mengkonsultasikannya dengan pihak terkait mengenai permasalahan tersebut, mereka menyatakan bahwa para mahasiswa calon guru harus menyadari bahwa kesulitan yang dialami tersebut salah satunya dikarenakan minimnya pengalaman, hanya sebatas itu saja, tanpa ada kejelasan solusi pada bagian mana dan harus mulai darimana jika ingin mengatasi kesulitan tersebut. Berkaitan dengan hal ini penulis secara tidak sengaja menemukan istilah Pedagogical Content

Knowledge (PCK) ketika membaca sebuah karya ilmiah di perpustakaan

universitas.

Setelah ditelusur lebih jauh, Pedagogical Content Knowledge

(PCK) merupakan salah satu istilah yang diangkat dalam menanggapi

ketidakseimbangan prioritas antara kemampuan penguasaan materi guru dengan kemampuan pedagogisnya yang berakibat ke kecenderungan pemisahan praktek antara keduanya. PCK merupakan teori yang mengkaji

tentang bagaimana bentuk-bentuk transformasi yang dilakukan guru dalam menyampaikan materi pelajaran kepada para siswanya. PCK diusulkan

pertama kali oleh Shulman yang mengungkapkan dalam tulisannya pada

(21)

tahun 1986 bahwa kesuksesan mengajar tidak akan bisa tercapai hanya dengan penguasaan materi saja atau penguasaan pedagogi saja.

Menilik PCK secara dekat lagi, PCK ini terbagi dalam beberapa

kategori. Secara umum, Shulman (1986:9) membaginya menjadi dua kategori yaitu:

1. Pengetahuan mengenai berbagai macam bentuk representasi dan bagaimana bahan ajar disampaikan agar bisa dipahami oleh orang lain.

2. Pengetahuan guru mengenai pemahaman siswa terkait materi termasuk kesulitan siswa tentang suatu topik, pra-konsepsi, konsepsi dan miskonsepsi siswa dari berbagai usia dan latar belakang.

Pembahasan mengenai PCK ini sudah cukup lama dilakukan oleh

berbagai aktivis-aktivis pendidikan di luar negeri maupun di dalam negeri. Mereka mengadakan penelitian-penelitian mengenai PCK ini tidak lain

adalah untuk meningkatkan kualitas pembelajaran di kelas-kelas dari sisi guru/pendidik, baik guru yang sudah memiliki pengalaman yang lama dalam mengajar maupun para pre-service teachers.

Berangkat dari beberapa hal tersebut di atas, penulis tertarik untuk meneliti lebih jauh tentang PCK, dan penulis akan berfokus pada

penelitian mengenai “Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru

Matematika di SMA N 1 Klaten Tentang Konsepsi dan Miskonsepsi yang Dimiliki oleh Siswa dalam Pembelajaran Materi Fungsi Naik, Fungsi

(22)

Turun, dan Titik Stasioner”. Materi fungsi naik, fungsi turun, dan titik stasioner dipilih karena bersesuaian dengan waktu penelitian ketika itu.

B. Identifikasi Masalah

Melalui pemaparan permasalahan yang telah dipaparkan dalam latar belakang, akan diperjelas mengenai permasalahan yang lebih spesifik yaitu :

1. Sebagai seorang calon guru matematika, ada kesulitan-kesulitan dalam praktek mengajar terutama berkaitan dengan pengelolaan siswa agar materi pembelajaran dapat tersampaikan dengan baik kepada mereka.

2. Masih banyak guru matematika, apalagi di kota-kota kecil, yang membutuhkan masukan untuk meningkatkan kualitas dirinya sehingga mampu mengoptimalkan perannya sebagai pendidik di instansinya masing-masing.

3. Kebijaksanaan Pengembangan Profesi Berkelanjutan bagi Guru dari pemerintah masih membutuhkan masukan-masukan positif untuk merealisasikannya agar mampu mengoptimalkan peningkatan kualitas guru.

4. Kajian PCK berpotensi memberikan andil dalam upaya

meningkatkan kualitas guru, khususnya matematika, tetapi kategori

PCK kaitannya pengetahuan guru matematika terhadap siswanya

belum banyak diteliti lebih lanjut.

(23)

C. Pembatasan Masalah

Mengingat keterbatasan waktu, tenaga, biaya dan pengetahuan peneliti, maka dalam penelitian ini perlu adanya pembatasan masalah. Pembatasan masalah dilakukan hanya untuk menyederhanakan dan menyempitkan lingkup masalah, akan tetapi tidak akan mengurangi sifat ilmiah dari suatu pembahasan. Penelitian ini membatasi subyek sebagai berikut:

1. Subyek guru adalah seorang guru Matematika SMA N 1 Klaten yang mengajar kelas XI IPA 2 Tahun Ajaran 2011/2012.

2. Kategori pengetahuan PCK yang akan diteliti adalah pengetahuan

guru mengenai konsepsi dan miskonsepsi siswa selama pembelajaran berlangsung.

3. Subyek siswa terdiri dari para siswa kelas XI IPA 2 SMA N 1 Klaten Tahun Ajaran 2011/2012.

4. Materi pembelajaran yang diteliti adalah tentang Fungsi Naik, Fungsi Turun, Titik Stasioner.

D. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang permasalahan yang ada, ditentukan rumusan masalah sebagai berikut :

1. Bagaimanakah Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru

matematika di SMA terkait pengetahuan guru tentang konsepsi yang dimiliki oleh siswa-siswinya pada materi fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner?

(24)

2. Bagaimanakah Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru

matematika di SMA terkait pengetahuan guru tentang miskonsepsi yang dimiliki oleh siswa-siswinya pada materi fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner?

E. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari tahu bagaimana

PCK guru matematika di SMA, khususnya menyangkut konsepsi dan

miskonsepsi yang ada pada siswa-siswinya dalam pembelajaran Materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner.

F. Batasan Istilah

1. Pedagogical Content Knowledge (PCK)

Pedagogical Content Knowledge (PCK) merupakan

pengetahuan yang ada dalam diri guru, yakni produk pengetahuan yang merupakan sinergi antara kedua pengetahuan guru, yakni pengetahuan tentang materi (mata pelajaran yang menjadi spesialisasi) dan pengetahuan pedagogis, yang terwujud dalam bentuk-bentuk representasi, analogi-analogi, ilustrasi, contoh-contoh, eksplanasi dan demonstrasi (dalam kata-kata) yang dipergunakan guru dalam mengupayakan pembelajaran yang efektif dan efisien.

Basis PCK adalah pengetahuan yang ada pada guru. Oleh

karena itu PCK akan diukur dengan menggali pengetahuan yang ada

pada guru melalui wawancara kemudian mengkategorikannya sesuai dengan fokus penelitian PCK kategori tertentu. Setelah itu dilakukan

(25)

verifikasi kembali pengetahuan guru melalui kenyataan di lapangan, yakni melalui pengamatan proses pembelajaran dan wawancara siswa.

2. Konsepsi yang Dimiliki Oleh Siswa

Konsepsi yang dimiliki oleh siswa adalah kumpulan-kumpulan pengertian yang dimiliki oleh siswa terhadap konsep-konsep yang terlibat dalam topik-topik tertentu dalam pembelajaran, khususnya yaitu terkait dengan mudah sulitnya topik-topik tersebut bagi siswa.

Konsepsi siswa dalam penelitian ini akan dilihat dalam kerangka PCK guru (pengetahuan yang ada pada guru). Jadi konsepsi

yang dimilki oleh siswa ini akan diukur melalui kategorisasi PCK

guru yaitu pengetahuan guru tentang konsep-konsep yang dimengerti dengan baik dan konsep-konsep yang dimengerti dengan tidak baik oleh siswa (lihat Tabel 2.3).

3. Miskonsepsi yang Dimiliki Oleh Siswa

Menurut Suparno (2005:4), miskonsepsi atau salah konsep menunjuk pada suatu konsep yang tidak sesuai dengan pengertian ilmiah atau pengertian yang diterima para pakar dalam bidang itu.

Miskonsepsi siswa dalam penelitian ini akan dilihat dalam kerangka PCK guru (pengetahuan yang ada pada guru). Jadi

miskonsepsi yang dimiliki oleh siswa akan diukur menggunakan kategorisasi yang ada dalam framework peneliti PCK sebelumnya

(lihat penjelasan lebih lanjutnya pada bab IV-C tentang pembahasan hasil penelitian) dan melalui perincian yang lebih mendalam terkait

(26)

kategorisasi PCK guru yang sudah terhimpun ke dalam kategori

“topik-topik yang tergolong sulit bagi siswa”.

4. Materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner.

Materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner ini merupakan sub materi dari materi pokok Turunan. Materi ini bagian dari K.D 3.4: Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah.

G. Manfaat Penelitian

1. Bagi Peneliti

a. Peneliti yang sekaligus calon guru dapat memperoleh kejelasan mengenai PCK guru khususnya terkait pengetahuan guru tentang

konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembahasan materi matematika di kelas. Dengan kejelasan PCK tersebut, peneliti yang

sekaligus sebagai calon guru akan memperoleh pembelajaran, salah satunya adalah memberi pencerahan terkait pengalaman yang dialami peneliti ketika PPL, juga hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai bahan referensi, kelak ketika peneliti melanjutkan pergulatan profesi di bidang pendidikan dan keguruan.

2. Bagi Guru

a. Guru dapat memperoleh kejelasan mengenai PCK khususnya

terkait pengetahuan guru tentang konsepsi dan miskonsepsi siswa. Hal ini diharapkan dapat menjadi bahan untuk pengembangan kemampuan guru dalam melaksanakan proses pembelajaran.

(27)

3. Bagi Ilmu Pengetahuan

a. Dapat memberikan salah satu bukti perwujudan PCK guru di SMA

(bahan studi kasus) yang berkaitan dengan pengetahuan guru mengenai konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran materi matematika dalam suatu kelas.

b. Dapat memperkaya kajian PCK, khususnya mengenai khazanah

bukti perwujudan PCK dalam tindakan nyata guru SMA dalam

pembelajaran matematika di kelas. Hasil identifikasi PCK ini

diharapkan bisa menjadi modal pelengkap bagi pengembangan kemampuan guru-guru matematika, terutama calon-calon guru (pre-service teachers) matematika.

(28)

BAB II

KAJIAN TEORI

Pada bab ini akan diuraikan beberapa kajian teori yang dipergunakan dalam pembahasan hasil penelitian. Teori tersebut antara lain Pedagogical Content

Knowledge , konsepsi dan miskonsepsi siswa.

A. Pedagogical Content Knowledge (PCK)

Shulman (1986:7), dalam tulisannya : Knowledge Growth in Teaching, merumuskan permasalahan pada awal penelitiannya tentang

PCK sebagai berikut:

“What are the resources of teacher knowledge? What does a teacher know and when did he or she come to know it? How is new knowledge acquired, old knowledge retrieved, and both combined to form a new knowledge base?”

Shulman (1986:9), menititikberatkan PCK pada knowledge base. Secara

lebih rinci, guru sebagai pendidik tidak hanya memiliki pengetahuan tentang mata pelajaran yang menjadi spesialisasinya, tetapi juga pengetahuan tentang pedagogi (cara mengajar) yang telah diperoleh melalui bangku perkuliahan. Untuk bisa melaksanakan pembelajaran dengan baik, dibutuhkan sinergi antara dua hal tersebut.

Pedagogical Content Knowledge (PCK) merupakan pengetahuan

yang ada pada guru, tidak sekedar melingkupi hal-hal yang berkaitan dengan pengetahuan pedagogis semata ataupun hal-hal yang berkaitan

(29)

dengan pengetahuan materi (dalam penelitian ini) matematika saja. Dalam memutuskan aspek-aspek dalam mengajar, guru mempergunakan pengetahuan pedagogis sekaligus pengetahuan isi (materi matematikanya). Perpaduan antara keduanya diistilahkan dengan PCK. Lebih tepatnya lagi

adalah tentang bagaimana guru bisa mentransformasikan pengetahuan pedagogis dan pengetahuan isi yang dimilikinya ke dalam kegiatan belajar mengajar yang sesuai bagi para siswanya tanpa mengesampingkan ketercapaian tujuan dari proses pembelajaran matematika juga situasi dan kondisi tempat belajar mengajar. Proses transformasi ini melibatkan “sebuah pemahaman mengenai bagaimana topik-topik, permasalahan, atau isu-isu tertentu dikelola, direpresentasikan, dan diadaptasikan dengan ketertarikan dan kemampuan para siswa yang berbeda-beda, menjadi instruksi yang tampak dalam pembelajaran” (Shulman, 1987 dalam Chick, Baker, Pham, dan Cheng, 2006 : 2)

Baker, Chick, Pham, dan Cheng (2006) berhasil merumuskan

framework mengenai PCK guru dalam penelitiannya. Kerangka berpikir

ini dipergunakan untuk mengidentifikasi komponen-komponen kunci

PCK, bagaimana komponen tersebut tampak dalam kegiatan belajar

mengajar, dan sejauh mana pengetahuan isi dan pedagogi saling bersinergi. Usulan Baker, Chick, Pham, dan Cheng (2006) tertuang dalam tabel sebagai berikut :

(30)

Tabel 2.1: Pengembangan Kategorisasi PCK oleh Chick, Baker, Pham dan Cheng(2006).

Mengadaptasi kategori-kategori yang diusulkan oleh Chick, Baker, Pham dan Cheng (2006) kategorisasi PCK dalam pembelajaran

(31)

1. Jelas-jelas PCK

Kategori Jelas-jelas PCK merupakan kategori dimana

pengetahuan pedagogis dan pengetahuan isi benar-benar saling terjalin(Chick et al, 2006:2). Kategori ini dijabarkan lagi ke

dalam sub-sub kategori antara lain : a. Strategi Mengajar

Sub kategori ini membahas bagaimana guru menentukan pendekatan, tujuan, bahan serta alat evaluasi dalam pembelajaran dalam rangka memfasilitasi siswa untuk mencapai tujuan pembelajaran yang sudah ditetapkan. b. Cara Berpikir Siswa

Sub kategori ini membahas bagaimana pengetahuan guru mengenai cara berpikir siswa-siswinya. Pengetahuan ini salah satunya terlihat dari cara guru mengarahkan siswanya tentang suatu konsep, juga dapat dilihat melalui pengetahuan guru tentang tipe-tipe level pemahaman siswa.

Kategori ini berangkat dari gagasan Shulman (1986:9) seperti yang sudah diungkapkan dalam bab I terdahulu (lihat pada halaman 3) sebagai berikut :

“Pedagogical content knowledge also

includes an understanding of what makes the learning of specific topics easy or difficult: the conceptions and preconceptions that students of different ages and backgrounds bring with them to the learning most frequently taught topics and lessons.”

(32)

Melalui hal ini diperoleh sebuah kejelasan peran konsepsi siswa dalam proses pembelajaran. Setiap siswa membawa konsepsi dan prakonsepsinya masing-masing. Tidak semua konsepsi dan prakonsepsi yang dimiliki oleh siswa bisa mendukung proses pembelajaran. Menghadapi hal tersebut, guru memiliki peran untuk bisa mengolah hal tersebut agar pembelajaran dapat berjalan efektif, mengarahkan siswa agar sampai pada tujuan pembelajaran. c. Cara Berpikir Siswa-Miskonsepsi

Sub kategori ini meliputi strategi guru untuk menata kembali pemahaman siswa (dari miskonsepsinya). Hal ini bisa terlihat melalui cara-cara guru mendiskusikan atau membenahi miskonsepsi siswa tentang sebuah konsep. d. Pemberian Tugas-Tugas

Sub kategori ini meliputi identifikasi guru terhadap aspek-aspek dari tugas sehingga bisa menentukan kompleksitas yang sesuai dari tugas tersebut terhadap tujuan pembelajaran pada saat tertentu.

e. Penyajian Konsep yang Detail dan Sesuai

Sub kategori ini dapat terlihat dari cara guru menyajikan sebuah konsep melalui illustrasi ataupun cara guru memberikan gambaran/demonstrasi melalui model

(33)

matematika (termasuk di dalamnya diagram, alat peraga, dan lain-lain).

f. Eksplanasi

Chick dan kawan-kawan menyebutnya sebagai

explanations. Kamus Oxford mendefinisikan kata

explanation sebagai “a statement, fact, or situation that

tells you why something happened; a reason given for

something”. Sub kategori ini menunjuk kepada PCK guru

yang tampak ketika guru memberikan keterangan/penjelasan mengenai materi pembelajaran tertentu kepada para siswanya.

g. Pengetahuan akan Contoh

PCK guru akan terlihat dari cara guru

mempergunakan contoh-contoh yang bisa membantu memperjelas konsep atau prosedur. Lebih dalam lagi, sub kategori ini membahas bagaimana guru menentukan contoh-contoh yang sesuai untuk para siswanya dalam pembelajaran materi tertentu.

h. Pengetahuan akan Sumber Belajar

Sumber belajar merupakan sarana bagi pembelajar untuk bisa mengeksplorasi pengetahuan seluas-luasnya. Dengan mengetahui berbagai macam sumber belajar, guru akan semakin memiliki banyak bahan sebagai back up atas

(34)

kondisi lapangan yang dinamis ketika mengajar. Sub kategori ini menjelaskan penggunaan sumber belajar-sumber belajar yang tersedia oleh guru untuk mendukung proses pembelajaran.

i. Pengetahuan akan Kurikulum

Kurikulum merupakan pedoman dari pemerintah dalam melaksanakan pendidikan di sekolah-sekolah dalam sebuah negara. Sub kategori PCK guru ini membahas

bagaimana suatu topik/materi pembelajaran sesuai dengan kurikulum. Pengetahuan akan kurikulum memiliki peranan strategis dalam menentukan topik/materi yang tetap pada jalur yang sudah ditetapkan oleh pemerintah.

j. Tujuan Pembelajaran

Sub kategori ini tampak dalam pembahasan yang dipaparkan guru tentang mengapa sebuah konten (materi matematika) bisa termasuk di dalam kurikulum dan bagaimana konten (materi matematika) itu bisa bermanfaat bagi para siswanya.

2. Pengetahuan Isi (Materi Matematika) dalam Konteks Pedagogis Kategori kedua ini, meliputi kemampuan guru untuk menterjemahkan pengetahuan matematika yang dimilikinya ke dalam komponen-komponen kunci, pengetahuan guru tentang

(35)

hubungan dan struktur-struktur di dalam matematika serta pengetahuan dasar matematika (Chick et all, 2006:2).

3. Pengetahuan Pedagogis dalam Konteks Isi (Materi Matematika) Kategori PCK tentang “pengetahuan pedagogis dalam

konteks isi (materi matematika) menunjukkan pengetahuan guru tentang bagaimana menerapkan pengetahuan pedagogisnya pada aspek-aspek isi (materi matematika) tertentu. Kategori ini meliputi pengetahuan guru mengenai strategi agar siswa fokus dalam pembelajaran dan pengetahuan guru tentang teknik-teknik pengelolaan pembelajaran. (Chick

et all, 2006:2)

Tabel 2.2: Tabel Kategorisasi PCK yang diadaptasi dari ide Chick, Baker, Pham& Cheng (2006).

Kategori PCK Tampak ketika guru ...

Jelas-jelas PCK

Strategi Mengajar

Cara Berpikir Siswa

Cara Berpikir Siswa-tentang Miskonsepsi

Pemilihan Tugas

Mendiskusikan atau menggunakan

strategi-strategi/pendekatan-pendekatan, baik umum atau spesifik, untuk mengajarkan konsep atau keterampilan matematika

Mendiskusikan atau mengarahkan cara berpikir siswa tentang sebuah konsep, atau mengenali tipe dari level-level pemahaman siswa

Mendiskusikan atau mengarahkan miskonsepsi siswa tentang suatu konsep

Mengidentifikasi aspek dari tugas yang berkaitan dengan kompleksitas tugas tersebut

(36)

Kategori PCK Tampak ketika guru ... Representasi Konsep yang Sesuai

dan Detail

Menjelaskan/menerangkan

Pengetahuan akan Contoh-contoh

Pengetahuan akan Sumber-sumber

Pengetahuan Kurikulum

Pengetahuan Mengenai Tujuan dari Materi/Konten

Mendeskripsikan atau

mendemonstrasikan cara-cara untuk memodelkan atau mengilustrasikan sebuah konsep (bisa mencakup materi atau diagram)

Menerangkan sebuah topik, konsep atau prosedur

Penggunaan sebuah contoh yang menggarisbawahi sebuah

konsep/prosedur

Mendiskusikan/menggunakan sumber-sumber yang tersedia untuk mendukung guru ketika mengajar

Mendiskusikan bagaimana materi/topik pelajaran sesuai dengan kurikulum Mendiskusikan alasan-alasan bagi materi yang dimasukkan ke dalam kurikulum atau bagaimana materi itu akan digunakan

Pengetahuan akan Materi dalam Konteks Pedagogis

Pemahaman yang Mendalam Tentang Matematika Dasar

Menguraikan dan Menyusun Kembali Materi Ke Dalam Komponen-Komponen Kunci

Struktur Matematika dan Hubungan-Hubungan

Pengetahuan tentang Teknik Mengajar Untuk Materi Tertentu

Menunjukkan pemahaman konseptual yang luas dan mendalam dari aspek-aspek matematika yang teridentifikasi Mengidentifikasi komponen

matematika penting ke dalam konsep dimana komponen tersebut mendasari dalam pemahaman dan penerapan konsep

Membuat hubungan antara konsep dengan topik, termasuk interdependensi antar konsep

Menampilkan keterampilan untuk memecahkan permasalahan matematika (pemahaman konseptual tidak perlu dijelaskan)

(37)

Kategori PCK Tampak ketika guru ...

Metode-metode Penyelesaian Masalah

Mendemonstrasikan sebuah metode untuk memecahkan sebuah

permasalahan matematika

Pengetahuan akan Pedagogik dalam Konteks Materi

Tujuan Pembelajaran

Menarik Perhatian Siswa dan Menjaga Fokus Siswa

Teknik-teknik Kelas

Mendeskripsikan sebuah tujuan dari pembelajaran siswa

Mendiskusikan atau menggunakan strategi untuk menarik perhatian siswa Mendiskusikan atau menggunakan hal-hal praktis dalam kelas secara umum

Seperti yang sudah disinggung dalam penjelasan sebelumnya, bahwa secara umum Shulman (1986:9) membagi PCK menjadi dua

kategori. Salah satu kategorinya adalah tentang bagaimana pengetahuan guru mengenai pemahaman siswa terkait materi termasuk kesulitan siswa tentang suatu topik, pra-konsepsi, konsepsi dan miskonsepsi siswa dari berbagai usia dan latar belakang. Kategori pengetahuan guru mengenai siswa inilah yang akan diambil peneliti sebagai fokus, terkhusus lagi mengenai konsepsi dan miskonsepsi siswa.

B. Konsepsi Siswa dalam Pembelajaran Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan

Titik Stasioner

Kamus Besar Bahasa Indonesia (2005:520) menyebutkan, konsepsi berarti pengertian, rancangan cita-cita yang telah ada di pikiran, sedangkan merujuk pada “A Comprehensive Dictionary of Psychological and

(38)

berikut : 1 kb. proses memahami (semua pengertian/rasa), 2 proses

pembentukan konsep (concept formation), 3 =konsep (dalam konteks

“konsep” yang umum, yang merupakan induk dari sub-sub konsep), 4 sebuah kelompok yang mengandung hubungan antar konsep-konsep.

Dalam sudut pandang PCK, konsepsi siswa menduduki posisi yang

strategis. Shulman (1986) dalam artikelnya “Those Who Understand : Knowledge Growth in Teaching”, menyebutkan bahwa pengetahuan guru tentang konsepsi dan prakonsepsi yang dimiliki oleh siswa dari berbagai usia dan latar belakang tercakup dalam PCK guru.

“Pedagogical content knowledge also includes an

understanding of what makes the learning of specific topics easy or difficult: the conceptions and preconceptions that students of different ages and backgrounds bring with them to the learning of those most frequently taught topics and lessons...” (Shulman, 1986:9)

Posisi konsepsi siswa dalam pembelajaran kaitannya dengan pengetahuan guru adalah tentang apa yang membuat suatu materi mudah atau sulit dipelajari di dalam suatu proses pembelajaran. Untuk mengetahui sulit mudahnya suatu materi untuk dipelajari dalam suatu proses pembelajaran tidak bisa dilepaskan dari kemampuan guru dalam mengenali para siswanya.

Mempertimbangkan beberapa informasi di atas, peneliti mendefinisikan konsepsi siswa dalam pembelajaran Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner sebagai kumpulan-kumpulan pengertian yang dimiliki oleh siswa-siswi terhadap konsep-konsep yang terlibat, khususnya konsep-konsep kunci, dalam pembelajaran Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan

(39)

Titik Stasioner. Konsep-konsep ini kemungkinan sudah dimengerti dengan baik dan mampu mendukung siswa menuju proses pembelajaran yang selanjutnya. Meskipun demikian, ada kemungkinan juga bahwa siswa belum sepenuhnya mengerti atau bahkan –dimungkinkan juga- sama sekali tidak mengerti akan materi yang sudah diajarkan. Jika siswa mengalami hal seperti ini, konsepsi akan bergeser menjadi miskonsepsi.

C. Miskonsepsi Siswa

Suparno (2005:4) menjelaskan bahwa miskonsepsi atau salah konsep menunjuk pada suatu konsep yang tidak sesuai dengan pengertian ilmiah atau pengertian yang diterima para pakar dalam bidang itu. Bentuk miskonsepsi dapat berupa konsep awal, kesalahan, hubungan yang tidak benar antara konsep-konsep, gagasan intuitif atau pandangan yang naif.

Secara lebih rinci, Fowler (1987, dalam Suparno, 2005:5) memandang miskonsepsi sebagai pengertian yang tidak akurat akan konsep, penggunaan konsep yang salah, klasifikasi contoh-contoh yang salah, kekacauan konsep-konsep yang berbeda, dan hubungan hierarkis konsep-konsep yang tidak benar.

Menurut Suparno (2005), beberapa faktor penyebab miskonsepsi siswa antara lain adalah dari siswa itu sendiri, dari guru, buku/teks, konteks, dan cara mengajar.

Tabel 2.3 : Sebab-sebab miskonsepsi siswa.

Sebab Utama Sebab Khusus

Siswa • Prakonsepsi

(40)

• Pemikiran humanistik

• Reasoning yang tidak lengkap/salah • Intuisi yang salah

• Tahap perkembangan kognitif siswa

• Kemampuan siswa

• Minat belajar siswa

Guru/Pengajar • Tidak menguasai bahan, tidak kompeten • Bukan lulusan dari bidang ilmu terkait • Tidak membiarkan siswa

mengungkapkan gagasan/ide • Relasi guru-siswa tidak baik

Buku Teks • Penjelasan keliru

• Salah tulis, terutama dalam rumus • Tingkat kesulitan penulisan buku terlalu

tinggi bagi siswa

• Siswa tidak tahu membaca buku teks • Buku fiksi sains kadang-kadang

konsepsnya menyimpang demi menarik pembaca

• Kartun sering memuat miskonsepsi

Konteks • Pengalaman siswa

• Bahasa sehari-hari berbeda • Teman diskusi yang salah • Keyakinan dan agama

• Penjelasan orangtua/orang lain yang keliru

• Konteks hidup siswa (TV, radio, film yang keliru)

• Perasaan senang/tidak senang; bebas atau tertekan

Cara Mengajar • Hanya berisi ceramah dan menulis

• Langsung ke dalam bentuk matematika • Tidak mengungkapkan miskonsepsi

siswa

• Tidak mengoreksi PR yang salah • Model analogi

• Model praktikum • Model diskusi

• Model demonstrasi yang sempit • Non-multiple Intelligences

(41)

Penyebab miskonsepsi siswa yang terurai di atas adalah penyebab miskonsepsi siswa khususnya dalam pembelajaran fisika. Meskipun berbeda konteks, yakni fisika dan matematika, tetapi dalam penggunaannya terdapat beberapa macam kemiripan. Beberapa hal di atas yang kurang relevan dengan pembelajaran matematika tidak akan dipakai dalam penelitian kali ini misalnya saja pada poin Buku fiksi sains

kadang-kadang konsepnya menyimpang demi menarik pembaca dan model

praktikum. Di sini maksudnya adalah, bahwa dalam pembelajaran

matematika buku yang utama dipakai umumnya bukan buku fiksi sains dan hampir tidak mungkin dalam pembelajaran matematika ada praktikum seperti yang ada dalam pembelajaran sains (dalam hal ini adalah fisika).

D. Penggunaan Turunan

Pembahasan teori Penggunaan Turunan berasal dari buku “Kalkulus dan Geometri Analitis” karangan Purcell&Varberg.

1. Maksimum dan Minimum

a. Definisi (Purcell&Varberg, 1987:185)

Gambar 2.1 : Fungsi f dengan domain S.

x S

y=f(x)

Perhatikan gambar 2.1.

Andaikan kita mengetahui fungsi f dengan domain S. Akan

ditentukan apakah f memiliki

nilai maksimum atau minimum pada S.

(42)

Dalam hal ini asumsikan nilai-nilai tersebut ada. Kita ingin mengetahui lebih lanjut di mana dalam S nilai-nilai itu berada. Kita mulai dengan

mendefinisikan dengan kosakata yang tepat.

Andaikan S, daerah asal f memuat titik c. Kita katakan bahwa :

(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;

(ii) f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S.

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai

maksimum atau nilai minimum.

b. Teorema Eksistensi Maks-Min (Purcell&Varberg, 1987:186)

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f

mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada selang

tersebut.

Gb. 2.2 : Grafik fungsi y= f(x) = 1/x.

Perhatikan gambar 2.2.

Apakah f memiliki nilai maksimum atau nilai minimum pada S (domain f )? Jawabannya bergantung,

pertama-tama, pada himpunan S tersebut.

- Pada (0,∞) f tidak memiliki nilai maks atau min.

- Pada [1,3] nilai maks = 1, nilai min = 1/3

- Pada (1,3] tanpa nilai maks, nilai min=1/3

(43)

Jawaban selanjutnya tergantung pada jenis fungsi. Perhatikan contoh kasus berikut ini. Fungsi

   − = 2 ) ( x x x g y

Pada S = [1,3], g tidak mempunyai nilai maksimum. Tetapi g

mempunyai nilai minimum g(2) = 0. Ilustrasi grafik g(x) dapat dilihat

pada gambar 2.3.

Gb. 2.3: Grafik fungsi

   − = 2 ) ( x x x g y

Perhatikan bahwa meskipun dalam interval tertutup suatu fungsi akan memiliki nilai maksimum dan minimum (gambar 2.2) tetapi jika diterapkan pada fungsi yang tidak kontinu (meskipun sudah dibatasi oleh selang tertutup, lihat gambar 2.3) ternyata fungsi tidak memiliki nilai maksimum dan minimum (dalam kasus ini, hanya memiliki nilai minimum).

2. Kemonotonan dan Kecekungan

a. Teorema Nilai Rata-rata

Secara geometris, jika pada grafik sebuah fungsi kontinu terdapat garis singgung tak vertikal melalui A dan B, jika 1 ≤x < 2 jika 2 ≤x≤ 3

jika 1 ≤ x < 2

(44)

maka diantara titik A dan B tersebut terdapat paling tidak satu titik C sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB.

Seperti tampak pada sketsa gambar berikut :

Bukti teorema ini akan dipaparkan kemudian (lihat pada sub poin b- Teorema Titik Kritis).

b. Teorema Titik Kritis (Purcell&Varberg, 1987:187)

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c.

Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis;

yakni c berupa salah satu :

(i) titik ujung dari I;

(ii) titik stasioner dari f (f’(c)=0);

(iii) titik singular dari f (f’(c) tidak ada). A

B C

Gb 2.4 : Garis singgung yang sejajar dengan talibusur AB.

�(�)− �(�)

� − � =�′(�) �(�)− �(�) =�′(�)(� − �)

Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensial pada titik-titik

dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b)

di mana :

atau, secara setara, dimana

(Purcell&Varberg, 1987:233 )

C2 C1

(45)

Bukti : Andaikan f(c) nilai maksimum f pada I dimana c

bukan titik ujung maupun titik singular. Akan cukup untuk memperlihatkan bahwa c adalah titik stasioner.

f(c) nilai maksimum maka f(x) ≤ f(c) untuk semua x dalam I, yaitu:

0 ) ( )

(x − f c ≤ f

Jadi, jika x < c sehingga x-c < 0, maka

0 ) ( ) ( _≥ − − c x c f x f ...(1) sedangkan untuk x > c, maka

0 ) ( ) ( _≤ − − c x c f x f ...(2)

Tetapi f’(c) ada (karena c bukan titik singular) sehingga ketika

x  c+ dalam (1) dan x  c- dalam (2) diperoleh

masing-masing f’(c) ≥ 0 dan f‘(c) ≤ 0. Perhatikan bahwa f’(c) ≥ 0 dan f‘(c) ≤ 0, dapat disimpulkan f’(c) = 0.

Titik ujung, titik stasioner dan titik singular merupakan titik-titik kunci dari teori maks-min. Pada titik-titik ini nilai ekstrim seringkali terjadi.

(i) (ii) _(iii)

titik-titik ujung titik-titik stasioner _{titik singular} maks min maks min maks min

(46)

Sebarang titik dalam dalam daerah asal fungsi f yang termasuk

salah satu dari tiga tipe ini disebut sebuah titik kritis. Bukti Teorema Nilai Rata-rata

Perhatikan gambar 2.10.

s(x)= f(x) – g(x) ...(1)

Persamaan y = g(x) melalui (a, f(a)), (b, f(b)). Gradien g(x)

adalah [f(b)-f(a)/b-a]. Maka persamaan g(x) diperoleh:

Gb 2.10 :Sketsa grafik f(x), g(x) dan s(x) dalam pembuktian Teorema Nilai Rata-rata.

�(�)− �(�) =�(�)− �(�)

� − � (� − �) … . (2) �(�) =�(�) +�(�)− �(�)

� − � (� − �) … . (3)

Melalui persamaan (1) dan (3) dapat kita peroleh bentuk lain dari persamaan s(x) = f(x) – g(x), yaitu :

�(�) =�(�)− �(�)−�(�)− �(�)

� − � (� − �) … . (4)

Untuk x = a, persamaan (4) akan menjadi

(a, f(a))

(b, f(b))

y = f(x)

s(x)

y = g(x)

a x _x

(47)

�(�) =�(�)− �(�)−�(�)−�(�)

�−� (� − �) = 0

Untuk x = b, persamaan (4) akan menjadi

�(�) =�(�)− �(�)−�(�)− �(�)

� − � (� − �) = 0

Perhatikan bahwa s(a) = s(b) = 0 dan untuk x dalam (a,b) berlaku

�′(�) =�′(�)−�(�)− �(�)

� − �

Akan dibuktikan bahwa ada bilangan c diantara (a,b) sedemikian

sehingga s’(c) = 0 atau

�′(�) =�′(�)−�(�)− �(�)

� − �

0 =�′(�)−�(�)− �(�)

� − � �′(�) =�(�)− �(�)

� − � .

S kontinu pada [a,b], karena merupakan selisih dua fungsi kontinu.

Menurut Teorema Eksistensi Maks-Min, S memiliki baik nilai maksimum

maupun minimum pada [a,b]. Akibatnya s’(x) = 0 untuk semua x dalam

(a,b).

Jika salah satu nilai tersebut (maksimum atau minimum) bukan nol, maka

nilai tersebut dicapai pada titik c (karena s(a) = s(b) = 0). Menurut

Teorema Titik Kritis s’(c) = 0.

c. Kemonotonan

1) Definisi menurut Purcell&Varberg (1987:193)

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup,

(48)

a) f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang

bilangan x1dan x2dalam I,

x1 < x2 => f(x1) < f(x2)

b) f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang

bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 > x2 => f(x1) > f(x2)

c) f adalah monoton murni pada I jika ia naik pada I

atau turun pada I.

2) Turunan Pertama dan Kemonotonan

Kembali memperhatikan Teorema Nilai Rata-rata yang sudah dibahas terdahulu. Kita andaikan bahwa f kontinu

pada I dan bahwa f’(x) > 0 di setiap titik x dalam I. Ambil

sembarang titik x1 dan x2 dengan x1 < x2. Berdasarkan

Teorema Nilai Rata-rata yang ditetapkan pada selang [x1,

x2], terdapat sebuah bilangan c dalam (x1, x2) yang

memenuhi :

f(x2) – f(x1) = f ’(c)( x2 – x1)

Karena f ’(x) > 0 maka diperoleh f(x2) > f(x1). Sesuai

dengan definisi dapat disimpulkan ketika f’(x) > 0 maka

f(x) naik.

Sedangkan andaikan f ’(x) < 0 di setiap titik dalam I.

Ambil sembarang titik titik x1 dan x2 dengan x1 < x2.

(49)

selang [x1, x2], terdapat sebuah bilangan c dalam (x1, x2)

yang memenuhi :

f(x2) – f(x1) = f ’(c)( x2 – x1)

Karena f ’(x) < 0 maka diperoleh f(x2) < f(x1). Sesuai

dengan definisi dapat disimpulkan ketika f ’(x) < 0 maka

f(x)turun.

Dengan ini dapat ditetapkan Teorema Kemonotonan

(Purcell&Varberg, 1987:194) : Andaikan f kontinu pada

selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam

dari I.

a) Jika f ’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f

naik pada I.

b) Jika f ’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f

turun pada I.

Contoh:

Jika f(x) = 2x3-3x2-12x+7, cari di mana f naik dan di mana f

turun.

Penyelesaian: f ’(x) = 6x2-6x-12 = 6(x+1)(x-2)

f ’(x) < 0 => f turun, berarti untuk mengetahui di mana f

turun maka 6(x+1)(x-2) < 0 dan 6(x+1)(x-2) > 0 perlu dicari. Dengan mempergunakan prosedur penyelesaian pertidaksamaan diperoleh :

f ’(x) < 0 => f turun

(50)

Gb. 2.6 : Garis bilangan f ’(x) = 6x2-6x-12.

Titik-titik pemisah adalah -1 dan 2 yang membagi sumbu –x atas 3 selang, yaitu (-∞, -1), (-1,2), dan (2,∞). Dengan mempergunakan titik-titik uji -2, 0, 3 dapat dilihat bahwa f ’(x) > 0 pada x≤ -1 dan x ≥ 2 dan f ’(x) < 0 pada -1

≤ x ≤ 2. Berdasarkan teorema kemonotonan dapat

disimpulkan bahwa f naik pada (-∞, -1] dan [2,∞); f turun pada [-1,2].

3) Turunan Kedua dan Kecekungan

Purcell&Varberg (1987:196) menyebutkan dalam bukunya tentang turunan kedua dan kecekungan sebagai berikut :

a) Definisi : Andaikan f terdeferensial pada selang terbuka

I = (a,b). Jika f ’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung

ke atas di sana; jika f ’ turun pada I, f cekung ke bawah

pada I.

b) Teorema Kecekungan : Andaikan f terdeferensial dua

kali pada selang terbuka (a,b).

i. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f

cekung ke atas pada (a,b).

ii. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f

cekung ke bawah pada (a,b).

-1 2

(0) (0)

+ ++ - - - - _{+ + +}

(51)

Contoh : Di mana f(x) = 1/3x3-x2-3x+4 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah?

Penyelesaian:

f ’(x) = x2-2x-3= (x+1) (x-3)

f ”(x) = 2x-2 = 2(x-1). Akan diselidiki di mana f naik (f’(x)>0), f turun (f’(x)<0), cekung ke atas (f”(x)>0), cekung ke bawah (f”(x)<0). Dengan mempergunakan penyelesaian pertidaksamaan diperoleh:

Gb. 2.7: Garis bilangan f ’(x) = x2-2x-3 dan f ”(x) = 2x-2.

Berdasarkan teorema kemonotonan, f naik pada (-∞, -1] dan

[3, ∞); f turun pada [-1,3]; cekung ke atas pada [1, ∞); cekung ke bawah pada (-∞,1].

4) Titik Balik

Purcell&Varberg (1987: 198) menyebutkan penjelasan mengenai titik balik seperti berikut ini :

“Andaikan f kontinu di c. Kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.”

Pada buku Kalkulus karangan Ayres&Mendelson (2006:84), istilah titik balik disebut dengan titik belok (inflection point).

3. Maksimum Lokal dan Minimum Lokal

a. Definisi (Purcell&Varberg, 1987:202) : Andaikan S daerah asal

f, memuat titik c. Kita katakan bahwa :

(i) f (c) nilai maksimum lokal jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S;

(0) _{+ + +} - - - -

f’’

-1 3

(0) (0)

+ ++ - - - - _{+ + +}

(52)

(ii) f (c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah minimum f pada (a,b) ∩ S ;

(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

b. Teorema Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal

Menurut Purcell&Varberg (1987:203), andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

(i) Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ‘ (x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii) Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ‘ (x) > 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.

(iii) Jika f ’(x) < 0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka

f(c) bukan nilai ekstrim lokal f. Bukti :

(i) Karena f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c), maka menurut Teorema Kemonotonan f naik pada (a,c]. Menurut teorema yang sama, karena f ’(x) < 0 untuk semua x dalam [c,b), maka f turun pada [c,b). Sehingga, f (x) < f (c) untuk semua x dalam (a,b), kecuali tentu saja di x = c. Jadi f(c) adalah maksimum lokal.

(ii) Karena f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c), maka menurut Teorema Kemonotonan f turun pada (a,c]. Menurut teorema yang sama, karena f ’(x) > 0 untuk semua x dalam [c,b), maka f naik pada [c,b). Sehingga, f (x) > f (c) untuk semua x dalam (a,b), kecuali tentu saja di x = c. Jadi f(c) adalah minimum lokal.

(53)

(iii) Karena f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c), maka menurut Teorema Kemonotonan f turun pada (a,c]. Menurut teorema yang sama, karena f ’(x) < 0 untuk semua x dalam [c,b), maka f juga turun pada [c,b). Sehingga, tidak terjadi f (x) > f (c) untuk semua x

dalam (a,b). Jadi f(c) bukan minimum lokal.

Dan karena f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c), maka menurut Teorema Kemonotonan f naik pada (a,c]. Menurut teorema yang sama, karena f ’(x) > 0 semua x dalam [c,b), maka f juga naik pada [c,b). Sehingga, tidak terjadi f (x) < f (c) untuk semua x

dalam (a,b). Jadi f(c) bukan maksimum lokal.

4. Penggambaran Grafik Canggih (Polinom)

Polinom derajat 1 atau 2 sudah tidak asing lagi untuk digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil untuk digambarkan. Jika terdapat derajat yang cukup ukurannya (katakanlah 3 sampai 6), kalkulus bisa membantu kita untuk menggambarkan. Perhatikan contoh di bawah ini.

1) Contoh : Sketsakan grafik �(�) =3�5−20�

32 3

Penyelesaian : karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh

karena itu grafikya simetri terhadap titik asal. Dengan menetapkan f(x)=0, kita temukan perpotongan sumbu x adalah

0 dan ±�20�₃ ≈ ±2,6. Kita dapat melangkah sejauh ini tanpa kalkulus. Bilamana kita differensialkan f, kita peroleh

(54)

�′(�) =15�

4 ₋₆₀_�

= 15�

2₍_�2 ₋₄₎

32 =

15�2(� −2)(�+ 2) 32

Diperoleh x1= -2, x2= 0, x3= 2.

• Untuk x=-2, y = 2 sehingga diperoleh titik (-2,2) • Untuk x = 0, y = 0 sehingga diperoleh titik (0,0) • Untuk x = 2, y = -2 sehingga diperoleh titik (2, -2)

Akan diselidiki naik turunnya grafik f(x) dan kecekungannya.

Karena f ’ (x) > 0 pada (-∞,-2) dan (2, ∞) maka f naik pada interval ini. Karena f ’ (x) < 0 pada (-2,0) dan (0,2) maka f

turun pada interval ini.

Dengan mendifferensialkan kembali diperoleh

�′′₍_�_{) =}60�3−120�

32 =

15�3 −30� 8 =

15�� − √2��+√2�

32 .

Untuk f “ (x) > 0 diperoleh himpunan penyelesaian −√2 < x < 0 dan x < √2, menurut teorema kecekungan, maka f cekung ke atas pada (−√2, 0) dan (√2 ,∞). Untuk f “ (x) < 0 diperoleh himpunan penyelesaian �< −√2 dan 0 < �<√2, menurut

teorema kecekungan, maka f cekung ke bawah pada

(−∞,−√2) dan (0,√2 ). Dengan demikian diperoleh titik-titik balik �−√2,7√2

8 � ≈(−1,4; 1,2), (0,0),�� √2,

−7_√2

8 � ≈

(55)

Pola yang sudah kita temukan melalui uji turunan pertama kita pergunakan untuk memplot di mana kurva akan menaik dan menurun beserta titik maksimum maupun minimum lokalnya. Uji turunan kedua mempertegas bentuk kurva (cekung ke atas dan atau cekung ke bawah) dan membantu kita untuk memplot dengan lebih detail yakni dengan mengetahui keberadaan titik balik.

Gb. 2.9: Menentukan sketsa �(�) =3�5−20�

32 3

dengan penggunaan turunan.

-2 2

(0) (0)

+ ++ - - - - _{+ + +}

f’

0 - - - - (0)

√-2 √2 (0) _{+ + +} (0) - - - -

f’’

0 - - - -

(0) _{+ + +}

Gb. 2.8 : Garis bilangan �′(�) =15�4−60�

32 2

dan �′′(�) =

60�3₋₁₂₀_� 32 .

(56)

E. Kerangka Berpikir

1. Pedagogical Content Knowledge (PCK)

Dalam penelitian kali ini peneliti berfokus pada PCK guru terkait

konsepsi dan miskonsepsi siswa. Pembahasan mengenai PCK berpijak

pada pengetahuan (knowledge base) yang dimiliki oleh guru. Sehingga,

bentuk-bentuk PCK yang diperoleh dan dianalisis dalam penelitian ini

akan muncul dalam rumusan pengetahuan-pengetahuan guru –yang berhasil terungkap- yang terkonfirmasi. Lebih khusus lagi, pengetahuan guru yang digali adalah tentang bagaimana para siswanya menerima pembelajaran materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner.

Dalam rangka memunculkan hasil penelitian yang menggambarkan konteks (baik materi pembelajaran maupun PCK-konsepsi dan

miskonsepsi siswa) dengan jelas, proses penggalian pengetahuan guru didasarkan dalam kerangka topik-topik pembelajaran, yaitu topik seputar Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner.

2. PCK-Konsepsi Siswa

Lebih lanjut, untuk mengupas pengetahuan guru tentang miskonsepsi siswa, peneliti mempergunakan kategori PCK Cara Berpikir

Siswa yang sudah dirinci oleh Baker dkk dalam kategori Cara Berpikir Siswa-Miskonsepsi. Melalui kategori ini, bukti PCK guru terkait dengan

miskonsepsi siswa akan terlihat ketika guru menata kembali pemahaman siswa sebagai upaya guru mengeluarkan siswa dari miskonsepsi yang dialaminya, cara-cara guru mendiskusikan miskonsepsi siswa tentang

(1)

298

18. Fungsi f(x)=2x3+3x2-72x+5 naik pada interval x < -4 dan x >3, dan turun pada interval -4 < x < 3. Oleh karena itu f(x) memiliki titik stasioner yang berupa titik ekstrim, baik titik ekstrim minimum maupun titik ekstrim maksimum.

FN.a, FN.b, TS.a

19. Pada f(x)=x3-8 , fungsi naik pada interval x<-2 dan x>2 dan tidak akan pernah turun. Oleh karena itu f(x) memiliki titik stasioner yang berupa titik belok.

FN.a, FN.b, TS.a 20. Pada fungsi f(x)=2x3+3x2-72x+5, nilai stasionernya bisa diperoleh dengan

cara : f’(x)=0 6x2+6x-72 = 0 6(x2+x-12) =0

6[(x-3)(x+4)]=0, diperoleh x1= 3 dan x2= -4 Nilai stasionernya adalah -130 dan 213

NS.b

21. Pada fungsi f(x) = x2-4x+1, nilai stasionernya bisa diperoleh dengan mensubtitusikan hasil penyelesaian f’(x) = 0 pada fungsi asal (f(x)).

NS.b

22. Prosedur menggambar sketsa grafik f(x) = x2-4x+1 a. x=0

f(x)=y= 02-4(0)+1

y= 1 diperoleh titik potong grafik dengan sumbu y pada koordinat (0,1)

b. y=0 0= x2-4x+1

x1= 2-2√3 , x2= 2+2√3 diperoleh titik potong grafik dengan sumbu x pada koordinat (2-2√3, 0 ) dan (2+2√3, 0)

c. f’(x) = 0 2x-4 = 0 2x = 4, x= 2 ,

f(2) = 22-4(2)+1=-3 . Titik stasioner (2, -3) f’’(x) = 2, 2>0

f’’(x) > 0 titik ekstrim minimum, maka grafik membuka ke atas.

(2)

(3)

ABSTRAK

Fransidha Sidhara Hadi, 081414030, 2012. Pedagogical Content Knowledge

(PCK) Guru Matematika di SMA Negeri 1 Klaten terkait Pengetahuan Guru tentang Konsepsi dan Miskonsepsi yang Dimiliki oleh Siswa dalam Pembelajaran Materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian dalam skripsi ini bertujuan untuk mengungkap pengetahuan guru terkait pengetahuan guru tentang konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran matematika di SMA Negeri 1 Klaten.

Hasil penelitian berupa PCK guru matematika terkait konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Tiitk Stasioner. PCK dalam penelitian ini terwujud dalam pengetahuan guru terkait konsepsi dan miskonsepsi siswa dalam pembelajaran materi Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner. Guru memiliki pengetahuan tentang mana saja bagian materi yang dimengerti dengan baik dan tidak dimengerti dengan baik oleh siswa. Melalui analisis pengenalan guru terhadap siswanya diperoleh kesimpulan bahwa guru cenderung mengenali siswa-siswinya dan melihat situasi kelas secara global, beberapa siswa yang dikenali dengan baik adalah siswa-siswi yang tergolong aktif dalam pembelajaran. Guru memperoleh pengetahuan mengenai siswanya kebanyakan ketika proses pembelajaran berlangsung, sebagian melalui rekan guru lain, dan selain itu guru mengenali konsepsi siswa ketika mengoreksi ulangan/test siswa.

PCK guru tentang konsepsi siswa yang tergolong mantap antara lain adalah pengetahuan guru bahwa : (i) semua siswa sudah mampu menentukan turunan fungsi; (ii) semua siswa mampu menentukan syarat fungsi naik (f ‘(x) > 0), fungsi turun (f ‘(x) < 0); (iii) ada siswa yang mampu mengenali bahwa sifat-sifat/ karakteristik suatu fungsi dapat ditentukan melalui turunan, tidak ada siswa yang sangat kurang dalam mengerti bahwa titik stasioner memiliki syarat f ‘(x) = 0, tidak ada siswa yang sangat kurang dalam menentukan titik koordinat stasioner dengan benar, semua siswa sudah tahu tentang menguji titik stasioner dengan turunan pertama ataupun kedua untuk diketahui jenisnya meski terkendala pada prosedur hitungan; (iv) ada siswa yang sempat keliru dalam menyebut titik ekstrim; (v) semua siswa sudah mengerti syarat titik belok yaitu f “(x) = 0; guru mengetahui ada hal yang belum dipahami tentang titik belok; (vi) semua siswa sudah bisa menggambar grafik.

vii

(4)

viii

Guru juga memiliki pengetahuan tentang miskonsepsi siswa. PCK guru tentang miskonsepsi siswa yang tergolong mantap antara lain : (i) guru mengetahui miskonsepsi siswa dalam prosedur menentukan interval fungsi naik dan turun; (ii) siswa pada umumnya keliru dalam menentukan titik stasioner (karena salah mensubstitusi nilai x); pernah ada siswa yang hanya menyebutkan x hasil hitungan f‘(x) =0 saja ketika ditanya “maksimum di mana?”; (iii) kebanyakan para siswanya kurang memahami bahwa titik stasioner itu bisa menjadi titik belok, tidak hanya titik ekstrim; (iv) kebanyakan para siswanya sempat kesulitan pada uji turunan pertama (hanya ada beberapa siswa yang baik dalam hal ini); (v) guru mengarahkan siswa yang keliru menentukan titik potong grafik dengan sumbu y.

Dalam penelitian kali ini tidak ditemukan adanya pengetahuan guru tentang miskonsepsi siswa yang tidak mantap.

Kata kunci : Pedagogical Content Knowledge (PCK), konsepsi siswa, miskonsepsi siswa, fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner

(5)

ix

ABSTRACT

The teacher’s PCK about students’ conception which was sound consisted of the following : (i) all students were able to decide the derivative of function; (ii) all students were able to decide the condition of increasing function (f ‘(x) > 0), decreasing function (f‘(x) < 0); (iii) some students were able to recognize that the characteristics of certain function could be decided using derivative, none of the students had less understanding about the f ‘(x) = 0 condition for a stationery point, none of the students had less understanding in deciding the coordinate of stationery point correctly, all students were able to test the stationery point using first or second derivative to know the type although they had problems with the calculation procedure; (iv) some students were wrong in mentioning the extreme point; (v) all students had understood the condition of inflection point, f “(x) = 0; the teacher noticed that some things were still not understood by the students concerning the inflection point; (vi) all students were able to draw graphs. The teacher’s PCK about students’ conception which was not sound consisted of: (i) all students understood well that a stationery point could be an extreme point, only one or two students understood the formal definition of maximum point and minimum point.

(6)

x

functions procedure; (ii) students were commonly wrong in deciding the stationery point (because they were wrong in substituting the x value); at a particular time, there were some students mentioned only the x (the absis) from the calculation result of f ‘(x) =0 when they was asked, “where is the maximum point?”; (iii) most students did not understand well that stationery point could be an inflection point, not just an extreme point; (iv) most students seemed troubled with the first derivative test (only few students did it well); (v) the teacher guided the students who were wrong in deciding the intersection point of the graph with the y axis.

In this research, it was not found the teachers’ knowledge of students’ misconception that was not sound.

Keywords: Pedagogical content knowledge (PCK), students’ conception, students’ misconception, increasing function, decreasing function, stationery point.

Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru matematika di SMA Negeri 1 Klaten terkait pengetahuan guru tentang konsepsi dan miskonsepsi yang dimiliki oleh siswa dalam pembelajaran materi fungsi naik, fungsi turun, dan titik stasioner.

dryn *smggr@a

e€mffi

eu

kys sreg

prska,

gSeWUf"+g

hrlis,

Flmi&a8i&ara

“

Dan

Allah

mengeluarkan kamu dari perut ibumu dalam

keadaan tidak mengetahui sesuatu pun, dan

Dia

memberimu

pendengaran, penglihatan, dan hati nurani agar kamu

bersyukur.

”

(Q.S An-Nahl :78)

terima kasih

ILMIAH

Narna

I

bentuk

pangkalan

datq

secara

terbatas,

M

298

vii

viii

ix

x

Parts

Dokumen yang terkait

KEMAMPUAN PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE (PCK) GURU MATEMATIKA DALAM PENYUSUNAN RPP Kemampuan Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru Matematika SMP Negeri 1 Mojogedang Dalam Penyusunan RPP.

KEMAMPUAN PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE (PCK) GURU MATEMATIKA SMP NEGERI 1 MOJOGEDANG DALAM PENYUSUNAN Kemampuan Pedagogical Content Knowledge (PCK) Guru Matematika SMP Negeri 1 Mojogedang Dalam Penyusunan RPP.

PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE (PCK) GURU BERPENGALAMAN DAN CALON GURU BIOLOGI.

PENGEMBANGAN PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE (PCK) GURU BIOLOGI SMA PADA MATERI JAMUR

Identifikasi Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru matematika khususnya terkait bentuk-bentuk representasi yang digunakan oleh guru matematika di 2 SMA di Yogyakarta - USD Repository

Identifikasi Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru matematika terkait bentuk-bentuk representasi yang digunakan oleh 2 guru matematika SMA di Yogyakarta - USD Repository

PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE (PCK) GURU MATEMATIKA DI SMA TERKAIT DENGAN PENGETAHUAN GURU MENGENAI CARA BERPIKIR SISWA DAN MISKONSEPSI SISWA Skripsi Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Ma

Identifikasi Pedagogical Content Knowledge (PCK) terkait bahan ajar dan bagaimana bahan ajar disampaikan oleh guru matematika di 2 SMA di Yogyakarta - USD Repository

Identifikasi Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru matematika terkait bentuk-bentuk representasi yang digunakan oleh seorang guru matematika di SMA Stella Duce I dan seorang guru matematika di SMA Kolese De Britto - USD Repository

Pedagogical Content Knowledge (PCK) guru matematika di SMA Negeri 1 Klaten terkait pengetahuan guru tentang konsepsi dan miskonsepsi yang dimiliki oleh siswa dalam pembelajaran materi fungsi naik, fungsi turun, dan titik stasioner - USD Repository

Dokumen yang Anda mencari sudah siap untuk unduhkan

_Dan