Matematika SMP KK E
101
�
1,2
= −� ± √�
2
− 4�� 2
� �
1
=
−�+√�
2
−4�� 2�
dan �
2
=
−�−√�
2
−4�� 2�
Contoh. Selesaikan persamaan kuadrat
�
2
– 5 � + 2 = 0 dengan menggunakan rumus.
Penyelesaian. Nilai = 1 ,
� = − 5 dan � = 2 sehingga �
12
= −−5 ± �−5
2
− 4.1.2 2.1
�
12
= 5 ±
√17 2
d. Dengan grafik. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
��
P
2
+ �� + � = 0 dengan menggunakan
grafik, sama halnya dengan mencari titik potong grafik � = ��
P
2
+ �� + � dengan
sumbu �. Cara ini dijelaskan pada bagian Fungsi Kuadrat pada modul ini.
3. Sifat Persamaan Kuadrat Berdasar Nilai Diskriminan
Pada bagian sebelumnya telah dibahas bahwa persamaan ��
2
+ �� + � = 0
mempunyai penyelesaian �
1,2
=
−�±√�
2
−4�� 2�
. Pada rumus tersebut, terlihat bahwa jenis akar persamaan kuadrat bergantung pada
nilai �
2
− 4��. Nilai ini selanjutnya disebut nilai diskriminan , ditulis � = �
2
− 4�� .
Akar-akar persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � = 0 dapat dinyatakan dengan
rumus: �
1
=
−�+√�
2
−4�� 2�
dan �
2
=
−�−√�
2
−4�� 2�
Kegiatan Pembelajaran 5
102
Contoh 1 Diketahui
��
2
– 2 �� + 3� + 9� – 6 = 0 , tentukan m bila persamaan kuadrat
mempunyai akar kembar. Penyelesaian.
��
2
– 2 �� + 3� + 9� – 6 = 0
��
2
– 2 � – 3 � + 9� – 6 = 0
Persamaan kuadrat memiliki akar kembar jika � = �
2
− 4�� = 0 2
� – 3
P
2
– 4. �. 9� – 6 = 0
4 �
P
2
– 12 � + 9 – 36�2 + 24� = 0
32 �
P
2
– 12 � − 9 = 0
8 � + 3 4� – 3 = 0
8 3
− =
m atau
4 3
= m
Contoh 2 Tunjukkan bahwa
1 �−�
+
1 �−2�
= 1mempunyai dua akar nyata berlainan. Penyelesaian.
1 � − �
+ 1
� − 2� = 1
� − 2� + � − � � − �� − 2�
= 1 Kedua ruas dikalikan dengan
� – � � – 2� � − 2� + � − � = 1� − �� − 2�
2 � − 3� = �
2
− 3�� + 2�
2
• Jika � 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan. • Jika � = 0 maka persamaan kuadrat mempunyai akar real kembar.
Matematika SMP KK E
103
�
2
− 3�� − 2� + 2�
2
+ 3 � = 0
�
2
− 3� + 2� + 2�
2
+ 3 � = 0
Merupakan persamaan kuadrat dengan � = 1, � = −3� + 2 dan � = 2�
2
+ 3 �
Sehingga nilai diskriminannya: � = 3� + 2
P
2
– 4.1. 2 �
P
2
+ 3 �
� = 9�
P
2
+ 12 � + 4 – 8�
P
2
– 12 �
� = �
P
2
+ 4 Sehingga untuk setiap nilai
� maka � = �
P
2
+ 4 selalu positif. Dengan demikian D0 sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata berlainan.
4. Jumlah dan Hasil Kali Akar- Akar Persamaan Kuadrat
Telah dibahas pada bagian sebelumnya, jika �
R
1
dan �
R
2
akar –akar persamaan kuadrat
��
2
+ �� + � = 0 , maka berlaku:
�
1
=
−�+√�
2
−4�� 2�
dan �
2
=
−�−√�
2
−4�� 2�
Dari sini dapat diturunkan :
1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah: �
1
+ �
2
= −� + √�
2
− 4�� 2
� +
−� − √�
2
− 4�� 2
� =
−� − � 2
� =
−2� 2
� =
−� �
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah �
1
. �
2
= −� + √�
2
− 4�� 2
� .
−� − √�
2
− 4�� 2
� =
�
2
− �
2
− 4�� 4
�
2
= 4
�� 4
�
2
= �
�
Bentuk homogen akar- akar persamaan kuadrat
2 1
2 2
1 2
2 2
1
. .
2 x
x x
x x
x −
+ =
+
2 1
2 1
3 2
1 3
2 3
1
. .
3 x
x x
x x
x x
x +
− +
= +
2 2
1 2
2 2
2 1
4 2
4 1
. 2
x x
x x
x x
− +
= +
Kegiatan Pembelajaran 5
104
Contoh 1 Ditentukan
�
R
1
dan �
R
2
akar – akar dari �
P
2
– 5 � + 3 = 0 , tentukan�
R
1
+ �
R
2
dan �
R
1
. �
R
2
Penyelesaian. �
1
+ �
2
= −
� �
= −
−5 1
= 5 �
1
. �
2
= �
� =
3 1
= 1 Contoh 2
Diberikan persamaan �
2
+ 3 � + � = 0. Bila�
1
��� �
2
adalah akar-aar persamaan kuadrat tersebut dan
�
1 2
− �
1
�
2
+ �
2 2
= 12 tentukan nilai p. Penyelesaian.
�
1
+ �
2
= −3 dan �
1
. �
2
= �
�
1 2
− �
1
�
2
+ �
2 2
= 12 �
1
+ �
2 2
− 3�
1
�
2
= 12 −3
2
− 3�
1
�
2
= 12 3
�
1
�
2
= −3
�
1
�
2
= −1
� = −1
5. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Jika akar – akar persamaan kuadrat telah diketahui misal m dan n maka dapat ditentukan persamaan kuadratnya dengan cara:
a Memakai faktor � − � � − � = 0
b Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar �
2
− � + � � + �� = 0
Matematika SMP KK E
105
Contoh 1 Susunlah persamaan kuadrat yang akarnya
−4 dan 5. Penyelesaian
�
2
− −4 + 5 � + −4.5 = 0 �
2
− � − 20 = 0 Contoh 2
Susunlah persamaan kuadrat yang akarnya 2 kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat
�
P
2
+ 7 � + 3 = 0.
Penyelesaian. Bila akar-akar persamaan
�
2
+ 7 � + 3 = 0 adalah � dan � maka
� + � = − 7 dan �� = 3. Andai K atau L akar-akar yang baru maka
� = � − 2 atau � = � − 2 � + � = � − 2 + � − 2 = � + � − 4 = − 7 − 4 = −11
�. � = � − 2 � − 2 = �� − 2 � + � + 4 = 3 − 2 − 7 + 4 = 3 + 14 + 4 = 21
Sehingga �
P
2
− � + � � + �� = 0 �
2
− 11� + 21 = 0 Contoh 3
Diberikan persamaan �
2
– 3 � + 1 = 0 dengan akar-akar � dan q. Susunlah
persamaan kuadrat baru yang akarnya �
P
2
+ � dan � + �
P
2
Penyelesaian. � + � = 3 dan �� = 1
Kegiatan Pembelajaran 5
106
Persamaan kuadrat baru �
P
2
– � + � � + �� = 0
Misal � = �
P
2
+ � dan � = � + �
P
2
maka � + � = �
2
+ �
2
+ � + �
= � + �
2
− 2�� + � + � = 3
2
− 2.1 + 3 = 10
�� = �
2
+ �� + �
2
= �
3
+ �
2
�
2
+ �� + �
3
= [ � + �
3
− 3�
2
� − 3��
2
] + �
2
�
2
+ ��
= [ � + �
3
− 3��� + �] + ��
2
+ ��
= [3
3
− 3.1.3] + 1
2
+ 1 = 20
Persamaan kuadrat baru �
2
– 10 � + 20 = 0 .
Contoh 4 Akar-akar persamaan kuadrat
��
2
+ �� + � = 0 adalah p dan q. Tentukan
persamaan kuadrat baru yang memenuhi: a. akar-akarnya lawan dari akar-akar persamaan kuadrat
��
2
+ �� + � = 0
b. akar-akarnya kebalikan akar-akar persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � = 0
c. akar-akarnya k kali akar-akar persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � = 0
Penyelesaian. � + � = −
� �
dan �. � =
� �
a. Misal persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya �
1
dan �
2
dengan �
1
dan �
2
lawan dari akar-akar persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � = 0 maka:
�
1
= −� dan �
2
= −�
Jumlah akar-akarnya adalah: �
1
+ �
2
= −� + −� = −� − � = −� + �
Hasil kali akar-akarnya adalah: �
1
. �
2
= −�. −� = ��
Matematika SMP KK E
107
Substitusi ke persamaan kuadrat baru �
2
− �
1
+ �
2
� + �
1
. �
2
= 0 �
2
− −� + �� + �� = 0 �
2
+ � + �� + �� = 0
�
2
+ �−
� �� �
+ �
� = 0
�
2
− �
� � +
� �
= 0 ��
2
− �� + � = 0 Jadi persamaan kuadrat baru yang terbentuk dari lawan dari kali akar-akar
persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � = 0 adalah ��
2
− �� + � = 0
b. Misal persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya �
1
dan �
2
dengan �
1
dan �
2
kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � = 0maka:
�
1
=
1 �
dan �
2
=
1 �
Jumlah akar-akarnya adalah: �
1
+ �
2
= 1
� +
1 �
= � + �
�� Hasil kali akar-akarnya adalah:
�
1
. �
2
= 1
� .
1 �
= 1
�� Substitusi ke persamaan kuadrat baru yang diminta:
�
2
− �
1
+ �
2
� + �
1
. �
2
= 0 �
2
− � + �
�� � +
1 ��
= 0
