84
Kegiatan Pembelajaran 4
c. Jaring-jaring dan Luas Permukaan Limas
1 Jaring-jaring Limas
Jaring-jaring limas adalah susunan atau jajaran bidang alas dan semua bidang sisi dari suatu limas yang disajikan pada suatu bidang bidang datar. Dari
pengetahuan kita tentang limas, maka jaring-jaring limas dapat kita pikirkan sebagai bentangan atau jajaran permukaan limas tersebut. Jaring-jaring limas
yang disajikan dalam Gambar 54 adalah jaring-jaring dari limas segitiga samasisi dan limas persegi yang telah divisualisasikan dalam uraian materi tentang limas.
Gambar busur lingkaran dengan ujung-ujung digambarkan mata anak panah dimaksudkan bahwa kedua ruas garis tersebut saling kongruen dan dapat
dipertemukan untuk membentuk permukaan limas.
a b
Gambar 54. Jaring-jaring Limas Segitiga Samasisi dan Limas Persegi
Jaring-jaring suatu limas sangat berguna untuk menentukan luas permukaan limas, baik limas tegak beraturan maupun limas tegak tak beraturan. Bahkan
untuk menentukan luas permukaan limas condong pun perlu terwujud jaring- jaringnya.
2 Luas Permukaan Limas
Luas permukaan suatu limas adalah jumlah luas bidang alasnya dan luas semua bidang sisinya. Luas permukaan suatu limas dirumuskan:
�
��������� �����
= �
������ ����
+ �
������ ���� ��−1
+ �
������ ���� ��−2
+ ⋯ + �
������ ���� ��−�
dalam satuan luas
85
Matematika SMP KK G
Khusus untuk limas segi-n beraturan, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi:
�
permukaan limas segi−� beraturan
= �
segi−�
+ � × �
bidang sisi
dalam satuan luas.
4. Volume Bangun Ruang Bidang sisi Datar
a. Volume Kubus, Balok, dan Prisma
Volume kubus adalah banyak kubus satuan yang memenuhi ruang dalam kubus. Visualisasi volume sebuah kubus disajikan dalam Gambar 55.
Gambar 55. Visualisasi Volume Kubus ABCD.EFGH
Gambar 55 merupakan visualisasi susunan kubus-kubus satuan kubus kecil, kubus yang berdimensi 1, di dalam ruang kubus ABCD.EFGH. Kubus satuan
tersebut berawal di titik sudut D. Jika kubus ABCD.EFGH berdimensi s, maka di antara titik sudut D dan titik sudut C berderet sebanyak s kubus satuan. Deretan
s kubus satuan tersebut berjajar sebanyak s jajaran dari titik sudut D hingga titik sudut A atau dari titik sudut C hingga titik sudut B. Jadi, pada lapisan pertama
paling bawah terdapat s ×s kubus satuan. Lapisan s×s kubus satuan tersebut
bertumpuk rapat dari titik sudut D hingga titik sudut H. Karena kubus ABCD.EFGH berdimensi s, maka dalam ruang kubus terdapat s lapisan s
×s kubus satuan. Jadi, dalam ruang kubus ABCD.EFGH terdapat s
×s×s kubus satuan. Kubus- kubus satuan sebanyak s
×s×s tersebut merupakan volume kubus ABCD.EFGH yang berdimensi s.
Secara umum, jika sebuah kubus berdimensi s, maka volume kubus tersebut dirumuskan:
�
�����
= �
3
dalam satuan volume.
86
Kegiatan Pembelajaran 4
b. Volume Prisma dan Volume Balok
Volume suatu prisma adalah banyak kubus pejal satuan yang dapat dibentuk memenuhi ruang dalam prisma tersebut. Karena suatu prisma berupa bangun
ruang yang pejalpadat, maka dapat dikatakan volume suatu prisma adalah banyak kubus pejal satuan yang dibentuk dalam ruang suatu prisma. Adapun
contoh ilustrasinya ditunjukkan pada Gambar 56
Dengan mengikuti urutan pembentukanpenyusunan kubus-kubus-pejal satuan pada prisma tegak segitiga dalam Gambar 56, maka perhitungan volume prisma
yang diketahui ukuran bidang alas dan tingginya dapat dirumuskan: �
prisma
= �
bidang alas prisma
× �
prisma
dalam satuan volume. Karena suatu balok merupakan suatu prisma, maka perhitungan volume suatu
balok identik dengan perhitungan volume prisma. Jika suatu balok berdimensi p
×l×t, maka volume suatu balok dapat dirumuskan:
�
balok
= �
bidang alas balok
× �
balok
dalam satuan volume, atau �
balok
= � × � × � dalam satuan volume.
c. Volume Limas
Volume suatu limas dipikirkan sebagai banyak kubus satuan yang dapat memenuhi ruang dalam limas tersebut. Perhitungan volume suatu limas dapat
dilakukan pendekatan dengan bantuan sebuah kubus dengan keempat diagonal ruangnya.
a b
c
Gambar 56. Visualisasi perhitungan volume prisma tegak segitiga
87
Matematika SMP KK G
Gambar 57. Kubus dan Keempat Diagonal Ruang sebagai Pendekatan Pengukuran Volume Limas
Gambar 57 merupakan visualisasi dari sebuah kubus ABCD.EFGH dengan keempat diagonal ruangnya yang berpotongan di titik O. Dalam kubus
ABCD.EFGH tersebut terdapat 6 buah limas persegi, dalam hal ini masing-masing merupakan limas beraturan. Keenam limas tersebut, yaitu limas persegi O.ABCD,
limas persegi O.ABFE, limas persegi O.ADHE, limas persegi O.BCGF, limas persegi O.CDHG, dan limas persegi O.EFGH. Keenam bidang alas limas tersebut saling
kongruen dan semua bidang sisi dari keenam limas tersebut juga saling kongruen mengapa?.
Misalkan kubus ABCD.EFGH tersebut berdimensi s dan jarak titik O terhadap setiap bidang sisi kubus tersebut adalah t, sebagai tinggi limas. Nilai t untuk
setiap limas dari keenam limas tersebut sama mengapa?. Misalkan dihitung volume limas persegi O.ABCD, dari kubus ABCD.EFGH tersebut, maka
perhitungannya: �
kubus ����.����
= 6 �
limas �.����
⇔ �
limas �.����
= 1
6 ×
�
kubus ����.����
= 1
6 ×
��
bidang alas kubus
× �
kubus
�
⇔ V
limas �.����
= 1
6 ×
��
bidang alas ����
× ��
Karena titik O terletak tepat di tengah ruang dalam kubus ABCD.EFGH tersebut, maka s = 2t atau ukuran rusuk pada kubus ABCD.EFGH sama dengan dua kali
jarak pusat kubus titik O ke bidang sisi kubus tersebut. Selanjutnya 2t disubstitusikan ke s
pada faktor terakhir dari: “
�
limas �.����
=
1 6
× ��
bidang alas ����
× ��” diperoleh: