113
Matematika
C. MATERI PEMBELAJARAN
Pada Bab 5 kelas X, kita telah mempelajari konsep relasi dan fungsi. Konsep tersebut merupakan materi prasyarat
dalam mempelajari materi pada bab ini. Kita mempelajari dan menemukan konsep fungsi komposisi dan fungsi
invers dengan melakukan pengamatan dan pemahaman pada beberapa masalah dan contoh. Pertama sekali, mari
kita memahami operasi aljabar pada fungsi.
1. Operasi Aljabar Pada Fungsi
Pada subbab ini, kita akan mempelajari operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian
pada fungsi. Perhatikan masalah berikut.
Masalah-3.1
Seorang photografer dapat menghasilkan gambar yang bagus melalui dua tahap, yaitu; tahap pemotretan
dan tahap editing. Biaya yang diperlukan pada tahap
pemotretan B
1
adalah Rp500,- per gambar, mengikuti fungsi:
B
1
g = 500g + 2500 dan biaya pada tahap editing B
2
adalah Rp100,- per gambar, mengikuti fungsi:
B
2
g = 100g + 500, dengan g adalah banyak gambar yang dihasilkan.
a Berapakah total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar dengan kualitas yang
bagus? b Tentukanlah selisih antara biaya pada tahap
pemotretan dengan biaya pada tahap editing untuk
5 gambar.
Alternatif Penyelesaian
Fungsi biaya pemotretan: B
1
g = 500g + 2500 Fungsi biaya editing:
B
2
g = 100g + 500 Untuk menemukan konsep
operasi pada fungsi, aju- kan pada siswa Masalah
3.1 untuk dipecahkan. Upayakan siswa lebih
dahulu berusaha me- mikirkan, bersusah payah
mencari ide-ide, berdisku- si dalam kelompok, men-
cari pemecahan masalah di dalam kelompok. Guru
boleh memberikan ban- tuan pada siswa, tetapi
upayakan mereka sendiri yang berusaha menuju
tingkat pemahaman dan proses berpikir yang lebih
tinggi. Masalah 3.1 diberikan
sebagai pengantar agar siswa memahami operasi
pada fungsi. Minta siswa untuk menyelesaikan
dengan caranya sendi- ri. Jika siswa mengalami
kesulitan arahkan siswa untuk memahami tentang
fungsi yang telah dipela- jari sebelumnya.
Di unduh dari : Bukupaket.com
114
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
a Untuk menghasilkan gambar yang bagus, harus dilalui 2 tahap proses yaitu pemotretan dan
editing, sehingga fungsi biaya yang dihasilkan adalah:
B
1
g + B
2
g = 500g + 2500 + 100g + 500
= 600g + 3000
Total biaya untuk menghasilkan 10 gambar g = 10 adalah:
B
1
g + B
2
g = 600g + 3000
B
1
10 + B
2
10 = 600 × 10 + 3000 =
9000 Jadi total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10
gambar dengan kualitas yang bagus adalah Rp9000,- b Selisih biaya tahap pemotretan dengan tahap
editing adalah:
B
1
g – B
2
g = 500g + 2500 – 100g + 500
= 400g + 2000
Selisih biaya pemotretan dengan biaya editing untuk 5
gambar g = 5 adalah:
B
1
g – B
2
g = 400g + 2000
B
1
5 – B
2
5 = 400 × 5 + 2000
= 4000
Jadi selisih biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 5 gambar dengan kualitas yang bagus adalah Rp4000,-
Perhatikan jumlah biaya pada bagian a dan selisih biaya pada bagian b.
B
1
g = 500g + 2500 sehingga B
1
5 = 5000 dan B
1
10 = 7500.
B
2
g = 100g + 500 sehingga B
2
5 = 1000 dan B
2
10 = 1500
B
J
g = B
1
g + B
2
g = 600g + 3000 sehingga B
J
10 = 9000 dan B
1
10 + B
2
10 = 7500 + 1500 = 9000 Demikian juga,
B
S
g = B
1
g – B
2
g = 400g + 2000 sehingga B
S
5 = 4000 dan B
1
5 – B
2
5 = 5000 – 1000 = 4000. Arahakan siswa mema-
hami proses fx + gx = f + gx berdasarkan
proses di samping
Di unduh dari : Bukupaket.com
115
Matematika
Deinisi 3.1
Jika
f
suatu fungsi dengan daerah asal
D
f
dan
g
suatu fungsi dengan daerah asal
D
g
, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian dinyatakan sebagai berikut. a Jumlah
f
dan
g
ditulis
f
+
g
dideinisikan sebagai
f g
x f x
g x +
= +
dengan daerah asal D
D D
f f
+
= ∩
g g
. b Selisih
f
dan g ditulis
f
–
g
dideinisikan sebagai f
x f x
x −
= −
g g
dengan daerah asal D
D D
f f
−
= ∩
g g
. c P e r k a l i a n
f
d a n
g
d i t u l i s
f
×
g
d i d e f i n i s i k a n sebagai
f x
f x x
× =
× g
g dengan daerah asal
D D
D
f f
×
= ∩
g g
. d Pembagian
f
dan
g
ditulis f
g dideinisikan sebagai
f x
f x x
g g
= dengan daerah asal D
D D
x g x
f g
f g
= ∩
− =
}
{
.
Contoh 3.1
Diketahui fungsi f x = x + 3 dan g x = x
2
– 9. Tentukanlah fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya
a f + g x c f × g x
b f + g x d
f g
x Guru bersama-sama
dengan siswa menemu- kan 4 aturan yang terkait
dengan operasi penjum- lahan dua fungsi, selisih
dua fungsi, perkalian dua fungsi, dan pembagian
dua fungsi seperti yang
ditulis pada Deinisi 3.1 dengan catatan jika ter-
dapat dua buah fungsi maka
Guru memberikan Contoh 3.1 pada siswa yang
bertujuan untuk mem- biasakan siswa melaku-
kan operasi aljabar pada fungsi. Guru dapat mem-
berikan contoh-contoh lain yang sesuai.
Di unduh dari : Bukupaket.com
116
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Alternatif Penyelesaian
Daerah asal fungsi fx = x + 3 adalah
D x x
R
f
= ∈
{ }
dan daerah asal fungsi gx = x
2
– 9 adalah
D x x
R
g
= ∈
{ }
a
f g
x f x
g x x
x x
x +
= +
= +
+ −
= + −
3 9
6
2 2
Daerah asal fungsi f + gx adalah:
D D
D x x
R x x
R x x
R
f+g f
g
= ∩
= ∈
{ }
∩ ∈
{ }
= ∈
{ }
b
f x
f x x
x+3 x
x x
2 2
− =
− =
− −
= − + +
g g
9 12
Daerah asal fungsi f – gx adalah:
D D
D x x
R x x
R x x
R
f g
f g
−
= ∩
= ∈
{ }
∩ ∈
{ }
= ∈
{ }
c f × gx = fx × gx =
x + 3 × x
2
– 9 = x
3
+ 3x
2
– 9x – 27 Daerah asal fungsi f × gx adalah
D D
D x x
R x x
R x x
R
f g f
g ×
= ∩
= ∈
{ }
∩ ∈
{ }
= ∈
{ }
Pandu siswa memahami proses penyelesaian di-
samping dengan meman- faatkan Deinisi 3.1
Di unduh dari : Bukupaket.com
117
Matematika
d
f g
x f x
g x x
x x
x x
x x
= =
+ −
= +
+ × −
= −
≠ − 3
9 3
3 3
1 3
2
, 3
3 3
, x ≠
D D
D dan g x x x
R x x
R dan x x x
R dan x x
f g
f g
= ∩
≠ =
∈
{ }
∩ ∈
{ }
− ≠ =
∈
{ }
+ −
9 3
2
3 3
3 3
3 3
≠ =
∈
{ }
≠ − ≠
= ∈
≠ − ≠
{ }
x x R dan x
x x x
R x x
, ,
,
Latihan
Diketahui fungsi fx =
x
2
4 -
dan gx =
x -2
. Tentukanlah fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula
daerah asalnya a f + gx
c f × gx b f – gx d
f x
g
Alternatif Penyelesaian
a f + gx = x x
2
4 2
− + −
b f – gx = x x
2
4 2
- - -
c f × gx = x x
2
4 2
− −
= x
x −
+ 2
2 d
f g
x
=
x x
2
4 2
- -
= x
x x
− +
− 2
2 2
= x + 2 Menentukan daerah asal diserahkan pada siswa; lihat
Deinisi 3.1 Berikan Latihan ini kepa-
da siswa dan minta siswa untuk menyelesaikannya
secara individual. Latihan ini bertujuan untuk me-
lihat kompetensi siswa tentang konsep operasi
fungsi yang dideinisikan di Deinisi 3.1
Pandu siswa menentu- kan daerah asal masing-
masing fungsi
Di unduh dari : Bukupaket.com
118
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
2. Menemukan Konsep Fungsi Komposisi
Kategori