Metode Kofaktor Determinan Dan Invers Matriks a. Determinan Matriks.

99 Matematika

d. Metode Kofaktor

Terlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan M ij adalah determinan matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j. Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar berordo n × n, maka minor elemen a ij yang dinotasikan dengan M ij , dideinisikan sebagai determinan dari sub matriks A berordo n- 1 × n-1 setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalkan matriks A = a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33             minor elemen a 11 adalah a a a a a a a a a 11 21 31 12 22 32 13 23 33             sehingga M 11 a a a a 22 32 23 33         M 11 , M 12 , dan M 13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke–1 dari matriks A. Matriks kofaktor matriks A dilambangkan C M c M a a a a ij i j ij ij i j i j = − = − = − + + + 1 1 1 11 22 23 32 33 dan det c c c c 11 1 1 12 1 2 13 1 3 21 1 4 7 5 4 19 1 3 5 5 4 13 1 3 5 4 7 1 = − = − = − = = − = = + + + − = + 1 3 7 5 4 23 4 5 4 3 2 1 Di unduh dari : Bukupaket.com 100 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK = − = − = − = − = − + + 1 4 5 5 4 9 1 4 5 3 7 13 22 2 2 23 2 3 31 c c c 1 1 3 4 5 5 5 1 4 3 5 5 5 1 4 3 3 4 7 3 1 32 3 2 33 3 3 + + + = − = − = − = − = c c Dari masalah di atas diperoleh matriks kofaktor A, dengan menggunakan rumus : CA= a a a a a a a a a a a a a a a a + − + − + 22 32 23 33 21 31 23 33 21 31 22 32 21 32 13 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 11 31 13 33 11 31 12 32 12 22 13 23 11 21 13 23 11 2 − + − + 1 1 12 22 19 23 5 13 9 5 1 13 7 a a                             = − − − − −             Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = C ij t , yaitu: Adj A c c c c c c c c c t =             = − 11 21 31 12 22 32 13 23 33 19 1 13 1 23 9 13 5 5 7 − − − −             Dari masalah 2.10 di atas, diperoleh inver matriks A. Dengan rumus : A A adj A − = 1 1 det Di unduh dari : Bukupaket.com 101 Matematika Sehingga: A adj A − = = − − − − − −             = 1 1 1 32 19 13 1 23 9 13 5 5 7 det A 1 19 32 13 32 1 32 23 32 9 32 13 32 5 32 5 32 7 32 − − − −                      Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok, coba tunjukkan bahwa AA - 1 = A - 1 A = I, dengan I adalah matriks identitas 3 × 3. Bentuk matriks permasalahan 2.10 adalah 4 3 5 3 4 7 5 5 4 2030000                         = x y z 1 1790000 2500000             Bentuk ini dapat kita nyatakan dalam bentuk persamaan AX = B. Untuk memperoleh matriks X yang elemen-elemennya menyatakan biaya sewa hotel, biaya transportasi dan biaya makan, kita kalikan matriks A - 1 ke ruas kiri dan ruas kanan persamaan AX = B, sehingga diperoleh X A B = =          − − − − − − 1 19 13 13 32 1 32 23 32 9 32 13 32 5 32 5 32 7 32              ×        2030000 1790000 2500000     X =             547500 592500 116875 Hasil yang diperoleh dengan menerapkan cara determinan dan cara invers, diperoleh hasil yang sama, yaitu; biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp547.500,00; biaya transportasi adalah Rp592.500,00; dan biaya makan adalah Rp116.875,00. Di unduh dari : Bukupaket.com 102 Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK Berdasarkan langkah-langkah pemecahan masalah di atas, dapat disimpulkan Sifat 2.6 Misalkan matriks A berordo n × n dengan n ∈ N. Jika det A ≠ 0, A − = 1 1 det A adj Adan AA -1 = A -1 A = I, I adalah matriks identitas perkalian matriks

e. Sifat-Sifat Invers Matriks